高中数学创新教育中CabriGeometryⅡ的应用研究

1、高中数学创新教育中Cabri Geometry的应用研究温岭市二中课题组 郑国令当前信息技术飞速发展，知识经济已见端倪，21世纪的人们已经不可避免的进入了一个信息化的社会。怎样运用现代的教育技术，构建新型的中学数学教学模式，是当前课程改革中的重要内容。二年来，我组走过了组建、培训、研讨、观摩、研究、实践、撰写论文等过程，完成了相关的研究任务，取得了初步的研究成果。问题的提出出现代教学理理论认为为，数学学教学过过程应该该是学生生再发现现、再创创造的过过程。虽虽然教材材中的概概念、公公式、法法则、定定理等基基础知识识对人类类是已知知的，但但对于学学生来说说是未知知的，教教学中应应让学生生充分参参与

2、概念念、法则则的形成成过程，定定理、公公式的发发现和证证明过程程，使学学生经历历观察、比比较、分分析、综综合、抽抽象、概概括、归归纳、类类比等生生动的数数学思维维活动，在在其活动动过程中中学到知知识、形形成能力力、磨炼炼意志、提提高素质质。著名数学家家波利亚亚说：“数学有有两个侧侧面，一一方面它它是欧几几里德式式的严谨谨科学，从从这个方方面看，数数学是一一门系统统的演绎绎科学，但但另一方方面，创创造过程程中的数数学，看看起来却却像是一一门实验验性的归归纳科学学。”数学中中的创造造都是从从猜想开开始的，而而数学的的猜想与与数学实实验是分分不开的的。数学学猜想往往往是在在数学实实验的基基础上，通通

3、过观察察、分析析、归纳纳而获得得的。在在数学的的“再创造”过程中中，数学学猜想和和数学实实验有着着同样重重要的作作用。而而Cabbri Geoomettry的计算算、测量量、绘图图、变换换、运动动等特殊殊功能，为为开展数数学实验验提供了了有效的的工具。Cabrii Geeomeetryy在知识识形成过过程中的的应用的的研究主主要是研研究利用用Cabbri Geoomettry改进数数学知识识形成过过程的教教学，探探索把教教学过程程设计为为学生再再发现、再再创造的的过程，引引导学生生参与发发现、开开展数学学实验，加深对数学知识的理解，培养学生的创新精神和实践能力。数学知识的应用是培养学生创新精神

4、和实践能力的重要途径，而数学建模是解决实际问题的基本思路和方法。数学建模是从实际问题出发，建立相关的数学模型，把实际问题转化为一个数学问题，通过对这个数学问题的求解，最终获得实际问题的解的方法。Cabri Geometry配合CBL系统和各种传感器（俗称探头）等，可十分方便、迅速地收集现实世界和实验室中的各种数据，并进行形象、直观的分析处理，获得实验结论，因而是数学建模的有效工具。Cabri Geometry在数学知识应用过程中的研究主要是研究Cabri Geometry如何用于数学应用问题的教学及数学建模活动的开展，探索培养学生应用数学的意识和实践能力的有效途径。Cabri Geometry

5、在教学模式的研究主要是研究以现代教育理论为指导，努力发挥现代手持教育技术在教学中的作用，改进中学数学教学过程，构建新的教学模式，推进数学教学改革的深入开展。二、研究过过程 第一阶阶段：教教师技术术培训。使使全体数数学教师师掌握CCabrri GGeommetrry主要功功能。AA.掌握握图形生生成。CCabrri GGeommetrry可以用用来产生生、编辑辑、列印印各种图图形。CCabrri GGeommetrry还提供供了二十十次曲线线作图，为为解析几几何的教教学提供供便利。BB.掌握握动态图图形变换换。使用用Cabbri Geoomettry可以对对图形进进行平移移、旋转转、缩放放等几何

6、何变换，也也可以拖拖动图中中的自由由点改变变图形形形状。这这些变换换过程是是连续表现现出来的的。这种种动态图图形变换换不仅使使作图过过程变得得生动活活泼，而而且为CCabrri GGeommetrry的一些些高级功功能如动动画、轨轨迹生成成、动态态数值验验证提供供了基础础。C.掌握几几何量测测量。CCabrri GGeommetrry可以用用来测量量一幅图图形中的的距离、角角度、面面积等几几何量，并并能够计计算这些些量的任任意代数数与初等等函数表表达式。这这一功能能可以用用来验证证几何猜猜想的正正确性，也也可以帮帮助使用用者提出出猜想。DD.掌握握用作图图形计算算机。普普通计算算机的主主要功能

7、能是可以以对给定定的数值值进行加加、减、乘乘、除、算算术运算算并计算算初等函函数的值值。而CCabrri GGeommetrry除了这这些功能能外，主主要增加加的是初初等函数数图象显显示功能能。E.掌握几几何定理理的自动动证明与与自动发发现。CCabrri GGeommetrry产生了了最具代代表性的的定理证证明方法法：吴方方法、面面积法、演演数据库库法、全全角法、向向量与复复数法与与Groobneer基法法。这些些方法可可以自动动证明定定理。CCabrri GGeommetrry不仅可可以自动动证明定定理，还还可以用用各种方方法自动动发现几几何图形形的丰富富性质（包包括定理理）：数数据库与与

8、面积法法。第二阶段：应用CCabrri GGeommetrry初步研研究阶段段。这一一阶段，教教师把CCabrri GGeommetrry的应用用全面推推向课堂堂，教会会学生使使用Caabrii Geeomeetryy，并进进行典型型引入研研究讨论论。第三阶段：应用CCabrri GGeommetrry深入研研究阶段段。这一一阶段的的研究：（1）广广泛开展展研究课课活动；（2）撰撰写论文文和课例例。第四阶段：应用CCabrri GGeommetrry，学生生领域出出成果。学学校一切切教学活活动的开开展，最最后都落落实到学学生身上上，学生生的发展展和成长长是教学学活动、课课题实验验的出发发点和落

9、落脚点，都都要体现现在学生生身上。应应用Caabrii Geeomeetryy开展数数学应用用议论文文评选，力力争浮出出有结合合数学知知识开展展研究性性学习，有有联系生生产、生生活实际际开展数数学建模模的，较较高水平平的论文文。研究成果通过二年多多来，把把Cabbri Geoomettry应用于于教学活活动中后后，有利利于对学学生进行行创新意意识的培养和和实践能能力的提提高，促促进了教教学改革革的深入入开展，主主要成果果有以下下几点：利用Cabbri Geoomettry有利于于改进数数学知识识形成过过程的教教学。在多年的数数学教学学中，存存在着重重结论、轻轻过程的的倾向，这这种倾向的的产生也

10、也有它的的客观原因和历史史背景，在在这种倾倾向下，对对数学知知识的教教学，常常常回答答的“是什么么”，“是什么么的结论论”，而对对“为什么么”确乏阐阐述，对对结论是是怎么产产生的，产产生这个个结论的的数学思思维途径径、思维维过程、思思维方法法也往往往被忽视视，这就就限制了了学生的的数学思思维水平平的提高高。从某某种意义义上，学学生获取取了获取取知识的的思维方方法比知知道的一一些知识识更为重重要，对学生生的终身身发展更更为有利利。把Cabrri GGeommetrry应用于于数学教教学过程程中，有有利于揭揭示数学学概念、公公式、定定理、法法则的形形成过程程，在解解决某些些数学问问题时，有有利于启

11、启迪学生生的思维维，让学学生去寻寻找解决决问题的的途径和和方法。案例一：函函数y=A的图图象。研究该函数数的图象象，需要要揭示AA、三个量量的取值值对该函函数图象象位置的的影响，同同时要揭揭示函数数y=ssinxx,y=sinnx,yy=Assinxx,y=sinn(x+)等不不同函数数之间的的图象变变换关系系，这就就要给AA、各个不不同的取取值，作作出其图图象，让让学生进进行比较较，利用用Cabbri Geoomettry计算，作作出各种种不同的的图象，让让学生通通过观察察、分析析、比较较得出结结论。另外，不少少老师利利用Caabrii Geeomeetryy去研究究一次函函数，二二次函数数

12、，幂函函数，指指数函数数、对数数函数、以以及有关关复合函函数的图图象和性性质，函函数图象象的有关关变换等等问题时时，有利利于揭示示知识的的形成过过程，不不但提高高学生的的直觉思思维、形形象思维维能力，而而且提高高了学生生的抽象象概括能能力，同同时，让让学生在在获取知知识时，也也获得了了获取知知识的思思维途径径和方法法。当然，在中中学数学学中，凡凡是涉及及到数和和形的问问题，如如函数与与图象，复复数与几几何，曲曲线与方方程，以以及解不不等式、最最值的问问题时，都都可以显显示Caabrii Geeomeetryy的功能能，发挥挥现代技技术的优优势，部部分教师师进行了了这方面面的探索索，这对对教师的

13、的教育观观念的更更新也产产生了很很大的影影响。利用Cabbri Geoomettry有利于于学生进进行自主主学习和和探究性性学习活活动，改改变学习习方式。改变学生的的学习方方式，是是指从单单一被动动的学习习方式向向多样化化的学习习方式转转变，其其中，自主学习、合合作学习习和操作作实验都都是重要要的学习习方式。操操作性学学习活动动，在教教师教导导下，让让学生利利用已学学的知识识和方法法，去研研究解决决有关问问题，主主动获取取知识，应应用旧知知识去研研究新问问题，获获取新知知识。案例二：关关于原函函数与反反函数交交点问题题的讨论论。在以往教学学中，对对原函数数与反函函数的交交点问题题，认为为两曲线

14、线有交点点时，其其交点必必须在直直线y=x上，事事实上这这是错误误的，如如函数ff(x)=与反反函数ff-1(xx)=(7-xx2)(xx0)有三三个交点点，为AA（），BB（1，22）C（22，1），显显然只有有点A在在直线yy=x上上，而BB、C两两点关于于直线yy=x对对称，以以上结论论的获得得，只有有通过CCabrri GGeommetrry作出其其图象，通通过观察察分析得得出有三三个交点点，然后后再用初初等方法法加以求求解，因因此，CCabrri GGeommetrry在探究究问题的的解决时时，起了了重要的的作用。案例三：坐坐标轴的的旋转对函数y=x+的的图象及及性质问问题不少少资料

15、上上都是研研究该函函数的最最值及其其单调性性，在研研究上都都是其示示意图，但但不少示示意图画画的是错错误的，这这就要研研究y=x+的的图象到到底是什什么？这这是一个个探索研研究的问问题，利利用TII图形计计算器进进行坐标标轴的旋旋转，可可知该函函数的图图象是双双曲线，存存在两条条渐近线线x=00和直线线y=xx，其顶顶点不是是y=xx+的最最值点，而而是与直直线y=tg(67.50)x的的交点。学生在教师师的引导导下，利利用Caabrii Geeomeetryy进行自自主学习习，探究究性学习习，可以以调动学学生学习习的积极极性和主主动性，对对研究问问题，去去获取新新知识，对对更新教教育观念念，

16、进行行教学模模式的改改革起到到积极的的作用。利用Cabbri Geoomettry有利于于学生开开展课外外学习活活动，提提高学习习效率。学生开展课课外学习习活动是是当前教教育的薄薄弱环节节，但是是Cabbri Geoomettry引入教教学过程程后，对学生生的课外外活动的的开展起起了很大大的变化化。案例四：一一节数学学活动课课在讲到“平平均数，方方差和标标准差”这部分分内容时时，对数数据的计计算量较较大，过过去的教教学过程程中，只只是要求求学生掌掌握解决决问题的的思想和和方法，但但是利用用Cabbri Geoomettry工具可可以帮助助学生快快速、准准确地完完成数据据统计。数学中的许许多问题

17、题都需要要通过计计算加以以解决，有有些计算算进程中中学生必必须用笔笔加以完完成，但但是经常常也遇到到不少运运算对学学生讲是是重复的的机械操操作，对对学生的的学习和和能力的的提高并并没有多多少实际际意义，这这些计算算用Caabrii Geeomeetryy加以解解决，对对提高学学生的学学习效率率是有意意义的，把把节省出出来的时时间，让让学生去去学习新新知识。让学生利用用Cabbri Geoomettry开展数数学应用用活动。学生进行数数学应用用的活动动主要涉涉及三个个方面：在学习过程程中，结结合已学学的知识识进行新新探索，开开展研究究性学习习活动。案例五：关关于到两两点、点点线、两两线距离离存在

18、关关系的点点的轨迹迹的研究究学生在圆锥锥曲线的的学习过过程中，学学习了椭椭圆、双双曲线、抛抛物线的的定义之之后，学学生会进进行一些些联想，关关于到两两点、点点线、两两线的距距离存在在关系的的点的轨轨迹是什什么？如如：“动点到到两定点点的距离离的商（或或积）为为定值表表示什么么曲线？”；“动点到到两定点点的距离离的平方方和为定定值表示示什么曲曲线？”等等一一系列的的联想，引引起了学学生的兴兴趣，学学生利用用图形计计算器把把数与形形、曲线线与方程程有机结结合，进进行一系系列的探探索并进进行了科科学的推推理判断断，提高高了学生生的学习习能力和和数学探探究能力力。结合生产、生生活实际际问题，开开展数学

19、学应用的的建模活活动。 在数学学学习过过程中，让让学生提提出问题题，分析析和解决决问题，进进行数学学交流，发发展学生生的数学学实践能能力。 在在这方面面学生写写了不少少论文，如如：“上楼梯梯的数学学问题”；“关于电电影院座座位的安安排”；“商场选选址的奥奥妙”；“考试成成绩的优优化处理理”；“对用微微波炉爆爆米花的的研究”等，在在研究过过程中，充充分显示示Cabbui Geoomettuy的功能能应用，有有利于数数学建模模活动的的开展。（3）利用用数学和和相关学学科的联联系，开开展综合合研究，解解决有关关实际问问题。一位学生利利用TII图开计计算器为为工具“对草坪坪喷灌装装置进行行设置”的研究

20、究，写了了一篇很很有价值值的论文文，涉及及到数学学与相关关学科方方面的知知识，对对水资源源的利用用有实际际意交。因此，Caabuii Geeomeetuyy为培养养学生创创新意识识和实践践能力提提供了广广阔的思思维活动动空间，让让学生利利用已学学的数学学知识和和方法，能能够对客客观事物物中的数数量关系系和数学学模式作作出思考考和判断断，这对对人的发发展的起起了重要要的作用用。5、用Caabuii Geeomeetuyy构建高高中数学学教学模模式（1）运用用现代手手持教育育技术构构建中学学数学模模式的基基本原则则运用现代手手持教育育技术构构建中学学数学模模式，首首先要以以现代的的教育教教学观念念

21、、数学学观念、技技术观念念为指导导，探讨讨教学过过程的基基本原则则。我们认为现现代手持持教育技技术构建建教学模模式，主主体性、活活动性、情情感性、合合作性是是需要贯贯彻的一一般原则则，在教教学内容容和形式式上应当当具有开开放性、探探索性和和应用性性。结构构如下： 情感性性 开放性性主体性活动性性 探索索性 应用用性 合作性性主体性是现现代数学学教育的的核心和和灵魂。在在教学中中，学生生是认识识的主体体，知识识要靠他他们主动动思维去去获取。现现代手持持教育技技术的引引入，要要充分体体现学生生为主体体，主动动参与。因因此，新新的教学学模式的的立足点点必须由由“教”转变为为“学”。活动性是主主体性的

22、的具体体体现，是是构建新新的教学学模式的的核心。要要让学生生深层次次地参与与，在教教学过程程中，就就要引导导学生亲亲自动手手，运用用现代手手持教育育技术。通通过观察察、实验验、分析析、综合合、归纳纳、类此此、猜想想、抽象象、概括括等探索索研究性性活动，培培养学生生的创新新精神和和能力。由于数学教教育与学学生的个个性发展展紧密相相连，为为了充分分发挥创创新意识识和情感感在数学学教育中中的功能能和作用用，在教教学中必必须注意意激发学学生的学学习动机机，营造造一个民民主、平平等、和和谐、宽宽松的教教学氛围围，使学学生能够够自觉地地应用现现代手持持教育技技术，进进行创造造性的学学习。因为现代手手持教育

23、育技术的的运用，课课上和课课下相结结合的教教学方式式，使学学生与学学生、学学生与教教师之间间的合作作更为有有利。在在共同完完成工作作任务的的过程中中，发挥挥各自的的认知特特点，相相互争论论，相互互帮助，分分工合作作，培养养合作精精神。(2)运用用现代手手持教育育技术构构建中学学数学教教学模式式的基本本思路我们认为把把中学数数学教学学过程设设计成让让学生再再发现、再再创造的的过程，让让学生在在教师引引导下，自自主地进进行发现现与创新新，应当当成为我我们教学学设计的的基本思思路。在中学数学学教学中中，为了了实现上上述的基基本思路路，“问题解解决”应当成成为基本本模式。也也就是说说在现行行教材的的基

24、础上上，通过过典型内内容，把把教学过过程设计计成“问题解解决”的模式式，其程程序如图图所示：提出问题 分析问问题 解决问问题 理性性归纳其中，在“提出问问题”阶段要要引导学学生自己己去发现现问题，提提出问题题，问题题要结合合教材内内容和学学生实际际，具有有可接受受性、障障碍性和和探索性性。在“分析问问题”和“解决问问题”阶段，教教师要引引导学生生自主地地开展探探究活动动，亲自自动手利利用现代代手持教教育技术术，进行行必要的的数据收收集、处处理，图图象的分分析、综综合、师师生之间间、学生生之间展展开讨论论和交流流，完成成实施策策略。在在“理性归归纳”阶段，教教师要引引导学生生对问题题的解答答进行

25、检检验、评评价、反反馈、论论证，上上升为理理论，并并在形成成新的认认知结构构过和中中，进行行创新方方法的指指导。现代手持教教育技术术的运用用要遵循循上述的的原则和和思路，发发挥它特特有的优优势，体体现以学学生为主主体，自自己动手手，主动动参与，并并努力创创设一个个有利于于相互交交流，合合作学习习的氛围围。(3)运用用现代手手持教育育技术构构建中学学数学教教学的基基本模式式实验发现模模式实验发现模模式是指指教学过过程在教教师引导导下，让让学生利利用Caabuii Geeomeetuyy，结合合教材内内容，自自主地参参与实验验和发现现过程的的教学模模式。这这种教学学模式在在教学中中主要适适用于概概

26、念、法法则、公公式、定定理、例例题等知知识形成成过程的的教学，体体现学生生参与过过程的主主体地位位，注重重了发现现知识策策略和方方法的培培养。其其中“实验”可以有有测量、作作图、计计算等。在在这种教教学模式式中，加加强了创创新思维维和能力力的培养养，在整整体结构构上突出出了“猜想”的环节节，而这这正是数数学发现现中的基基本策略略和途径径。在这这两个环环节中把把形象思思维、直直觉思维维、逻辑辑思维的的训练与与培养结结合起来来，体现现了数学学的两重重性。根根据教学学内容和和条件它它可以采采用多种种教学设设计，教教学形式式可以一一人一机机，两人人一机，也也可以利利用计算算器网络络分合结结合地教教学。

27、它它为学生生知识、能能力、个个性的充充分发展展，培养养创新精精神和实实践能力力开拓了了广阔的的天地。开放探索模模式开放探索模模式是指指在教学学过程中中，引导导学生利利用Caabuii Geeomeetuyy，在一一个数学学问题解解决以后后，进行行发散思思维，在在一个开开放的环环境中，变变化条件件、变化化结论、寻寻求一题题多解，一一题多变变，发现现共同的的规律或或新的结结论自主主探索的的教学模模式。根根据教学学条件它它可以采采用多种种形式，它它是培养养学生创创新精神神和能力力的重要要途径。这这种教学学活动可可以引导导学生之之间、师师生之间间开展讨讨论，把把课上教教学和课课外活动动结合起起来，进进行研究究