第四讲应用MATLAB解决高等代数问题课件

1、第四讲：应用MATLAB解决高等代数问题1.交换矩阵中的两个行向量的位置；2.用一个非零数乘以矩阵的某一行向量3.把矩阵的某一个行向量乘以实数并加到矩阵的另一行上一、矩阵的初等变换与方程的MATLAB求解第四讲：应用MATLAB解决高等代数问题1.交换矩阵中的两个例：求解线性方程组线性代数方法用增广矩阵初等变换即消元法过程例：求解线性方程组线性代数方法用增广矩阵初等变换即消元法过程经过初等行变换将矩阵变为矩阵 这时矩阵对应的方程组此方程组的解为经过初等行变换将矩阵变为矩阵 这时矩阵对应的方程组此方程组的A=3 -1 5 3;1 -1 2 1;1 -2 -1 2 %输入矩阵的数据A(1 3,:)

2、=A(3 1,:) %交换第一行和第三行数据A(2,:)=A(2,:)-A(1,:) %将第一行乘以-1加到第二行A(3,:)=A(3,:)-3*A(1,:)%将第一行乘以-3加到第三行A(3,:)=A(3,:)-5*A(2,:) %将第二行乘以-5加到第三行 方法之一：初等变换法A=3 -1 5 3;1 -1 2 1;1 -2 -1 2A=3 -1 5 3;1 -1 2 1;1 -2 -1 2 %输入矩阵的数据format rat %分数数据格式rref(A) %化简矩阵方法之二：Cramer法则A=3 -1 5;1 -1 2 ;1 -2 -1 %输入矩阵的数据B=3 1 2; %输入线性方

3、程组的常数项S=0 0 0; %给解向量赋初值for i=1:3 %for循环A=3 -1 5 3;1 -1 2 1;1 -2 -1 2C=A; %将矩阵A赋给临时矩阵C C(:,i)=B; %将常数项赋给矩阵C的第i列即求Ai S(i)=det(C)/det(A); %求xiendformat rat %数据格式说明为分数形式S %显示SC=A; 方法之三：利用矩阵的左除“”A=3 -1 5;1 -1 2 ;1 -2 -1 ；b=3 1 2； x=Abx = 10/7 -1/7 -2/7 二、线性方程组的解结构1。齐次方程组的解结构AX=0求解方程过程如下方法之三：利用矩阵的左除“”A=3

4、-1 5;1 -1 根据最简行阶梯形矩阵写出简化方程组确定自由求知量整理方程组为向量形式量提取方程组右端各自由求知量的系数形成的向量组即为基础解系将系数矩阵化为最简行阶梯形矩阵根据最简行阶梯形矩阵写出简化方程组确定自由求知量整理方程组为例：解线性方程组：应用MATLAB计算过程如下：A=1 1 1 1;1 1 1 1;1 1 2 2 %输入矩阵rref(A) %将矩阵化为最简阶梯形矩阵例：解线性方程组：应用MATLAB计算过程如下：A=1 运行结果为：A = 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -2 2ans = 1 -1 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0运行结果为：A

5、=由运行结果知化简的等价方程组为：取x2，x4为自由求知量，得方程组的解的向量形式为由运行结果知化简的等价方程组为：取x2，x4为自由求知量，得所以齐次方程组的通解为所以基础解系为：所以齐次方程组的通解为所以基础解系为：2.非齐次方程组的解的结构求解非齐次线性方程组的通解的步骤如下：1）、写出非次方程组的增广矩阵；2）、将增广矩阵化为最简行阶梯形矩阵；3）、观察增广矩阵与系数矩阵的秩是否相等，若相等则方程组有解，若不相等则方程组无解；4）、写出对应的简化的线性方程组；5）、确定自由求知量6）、整理方程组为向量形式。2.非齐次方程组的解的结构求解非齐次线性方程组的通解的步骤如例：求解下列非齐线性

6、方程组例：求解下列非齐线性方程组在MATLAB中输入的命令如下A=1 2 3 1;1 4 5 2;2 9 8 3;3 7 7 2;b=3;2;7;12 ；format ratc=A b；rref(c);计算结果如下在MATLAB中输入的命令如下A=1 2 3 1;1 4 ans = 1 0 0 -1/2 31/6 0 1 0 0 2/3 0 0 1 1/2 -7/6 0 0 0 0 0 所以简化方程组为：ans = 所以简化方程组为：所以原线性方程组的通解为：取x4为自由求知量所以原线性方程组的通解为：取x4为自由求知量三、向量组的线性相关性判定1.向量组线性相关与线性无关的定义：如果存在m个

7、不全为零的一组数k1,k2, ,km使成立，则称向量组是线性相关的。如果仅当k1=k2= =km=0时设有m个向量三、向量组的线性相关性判定1.向量组线性相关与线性无关的定义1）将给定的m个向量组的写成列向量形式，组成一个nm阶的矩阵2.应用MATLAB进行向量组的线性相关性的判定步骤：才有上面的等式成立，则称向量组线性无关2)判定是否存在不全为零的一组数k1,k2, ,km使得1）将给定的m个向量组的写成列向量形式，组成一个nm阶的矩即判定线性方程组即判定线性方程组是否有非零解，从而有这说明向量组线性相关。如果方程组只有零解，则说明该向量组线性无关。3）用命令rref将矩阵A化为最简行阶梯形

8、矩阵；4）观察最简行阶梯形矩阵中非零行向量的数目是否小于向量组全部向量数目m,若小于m则向量组线性相关；否则线性无关。是否有非零解，从而有这说明向量组线性相关。如果方程组只有零解例 判断下列向量组的线性相关性1)、a1=4 3 1 1 1,a2=2 1 3 2 5 a3=1 3 0 1 2,a4=1 5 2 1 62）a1=1 0 0 1 4,a2=0 1 0 2 5,a3=0 0 1 3 6a4=1 2 3 14 32,a5=4 5 6 32 77(北京大学数学力学系高等代数p151 16-4）例 判断下列向量组的线性相关性1)、a1=4 3 1 解：1)先在MATLAB中将上面四个向量以行

9、向量数据形式输入，再转置为列向量组成的矩阵，然后用rref命令将其化为最简行阶梯形矩阵，命令如下A=4 3 -1 1 -1;2 1 -3 2 -5;1 -3 0 1 -2;1 5 2 -1 6A=Arref(A)解：1)先在MATLAB中将上面四个向量以行向量数据形式输入ans = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0最简行阶梯形矩阵的变量名为ans,它的不全为零为行向量数为4，而向量组中向量数也是4,所以向量组是线性无关的。ans =最简行阶梯形矩阵的变量名为ans,它的不全为零为行a1=1 0 0 1 4,a2=0 1 0 2 5,a3=0 0 1

10、 3 6a4=1 2 3 14 32,a5=4 5 6 32 77A=a1;a2;a3;a4;a5rref(A)2)可以应用矩阵拼接命令a1=1 0 0 1 4,a2=0 1 0 2 5,得非零行数为3，所以该向量组线性相关。ans = 1 0 0 1 4 0 1 0 2 5 0 0 1 3 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0得非零行数为3，所以该向量组线性相关。ans =四、向量组的最大无关组1.极大无关组的定义：对于一个相关向量组T中最多有多少个向量是线性无关的，这就是极大无关组，即一向量组的一个部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中任意添加一个向量（如果还有的话），所得的部分向

11、量组都线性相关的。四、向量组的最大无关组1.极大无关组的定义：对于一个相关向量2.秩的定义：极大线性无关组所含向量个数r称为向量组的秩。3.应用MATLAB求向量组的极大无关组的方法借助向量组线性相关性分析的方法，可得求向量组的极大无关组的步骤如下：1）.将向量组中每个向量以列的形式排成矩阵A=a1 a2am2.秩的定义：极大线性无关组所含向量个数r称为向量组的秩。32).把矩阵A化为最简行阶形矩阵3).确定最简行阶梯形矩阵中非零行向量数目r（即向量组T的秩），在最简行阶梯形矩阵中寻找r个无关的列向量4).根据所在位置确定矩阵A中列向量位置即得T的极大无关组在最简行阶梯形矩阵中寻找r个线性无关

12、的列向量2).把矩阵A化为最简行阶形矩阵3).确定最简行阶梯形矩阵中时，只须在仅有一个非零元素的列向量中寻找，非零元素不在同一位置的这类向量是线性无关的。例：求下列向量组的秩和一个极大无关组并将其余向量用极大无关组线性表出1）a1=1 2 1 3;a2=4 -1 -5 -6;a3=1 -3 -4 -7;a4=2 -1 1 0;A=a1;a2;a3;a4时，只须在仅有一个非零元素的列向量中寻找，非零元素不在同一位2) a1=1;-1;2;4; a2=0;3;1;2;a3=3;0;7;14; a4=1;-1;2;0;a5=2;1;5;6;解：1）输入向量及命令如下a1=1 2 1 3;a2=4 -

13、1 -5 -6;a3=1 -3 -4 -7;a4=2 -1 1 0;A=a1;a2;a3;a4A=Arref(A)北大高等代数P151 9-22) a1=1;-1;2;4; a2=0;3;1;2得简化的行阶梯形矩阵为ans = 1 0 -11/9 0 0 1 5/9 0 0 0 0 1 0 0 0 0 得简化的行阶梯形矩阵为ans =最简矩阵中的有三个不全为零的行向量，所以向量组的秩为3，显然第一列、第二列、第四列线性无关，所以对应于原向量一个极大无关组为a1,a2 a4，最简矩阵中第三列向量有两个非零元素-11/9，5/9，它们是方程组的解（x1=-11/9,x2=5/9)，也是方程组最简矩

14、阵中的有三个不全为零的行向量，所以向量组的秩为3，显然的解，所以线性表出被最大无关组2）输入向量及命令如下：的解，所以线性表出被最大无关组2）输入向量及命令如下：a1=1;-1;2;4;a2=0;3;1;2;a3=3;0;7;14;a4=1;-1;2;0;a5=2;1;5;6;A=a1 a2 a3 a4 a5rref(A)得最简行阶梯形矩阵ans = 1 0 3 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 a1=1;-1;2;4;a2=0;3;1;2;a3=由此可知向量组的秩为3，第1列，第2列，第4列的向量是线性无关的，所以a1,a2,a4是极大无关组。最简矩阵中第三

15、列向量有两个非零元素3,1，它们是方程组的解（x1=3,x2=1)，也是方程组由此可知向量组的秩为3，第1列，第2列，第4列的向量是线性无的解，所以线性表出被最大无关组最简矩阵中第五列向量有三个非零元素1,1,1，它们是方程组的解(x1=1,x2=1,x4=1)，也是方程组的解，所以线性表出被最大无关组最简矩阵中第五列向量有三个非零的解，所以线性表出被最大无关组注意：两个例子中输入的向量和命令有所不同，请同学们思考为什么？的解，所以线性表出被最大无关组注意：两个例子中输入的向量和命五.矩阵的特征值和特征向量1 矩阵的特征值和特征向量设A是n阶方阵，k是一个数，如果存在一非零的列向量X使得AX=

16、kX成立，则称数k为A的征值，非零列向量X称为方阵A的属于特征值K的一个特征向量。用MATLAB的命令 eig可以求出矩阵A的特征值和特征向量的方法有两种五.矩阵的特征值和特征向量1 矩阵的特征值和特征向量设A是n法一）只求A的特征值命令为eig(A)法二）同时求出特征值和特征向量用命令p d=eig(A)例求方阵特征值和特征向量。法一）只求A的特征值命令为eig(A)例求方阵特征值和特征解：先输入矩阵的数据，然后用eig的两种使用方法求解，命令如下A=3 0 4;0 6 0;4 0 3;eig(A)p d=eig(A)第一个命令eig(A)的结果为ans = -1 6 7解：先输入矩阵的数据

17、，然后用eig的两种使用方法求解，命令如p = 0.7071 0 0.7071 0 -1.0000 0 -0.7071 0 0.7071d = -1 0 0 0 6 0 0 0 7命令p d=eig(A)计算结果为p =命令p d=eig(A)计算结果为北京大学高等代数求矩阵应用eig(A)得ans = -1 -1 5 北京大学高等代数求矩阵应用eig(A)得ans 应用p d=eig(A)结果为p= 2131/3543 709/1284 780/1351 408/2299 -369/463 780/1351 -747/959 294/1201 780/1351 d = -1 0 0 0 -1

18、 0 0 0 5 应用p d=eig(A)结果为p= 矩阵的相似对角化设三阶矩阵有三个线性无关的特征向量a1,a2,a3，对应的特征值为k1,k2,k3,现定义两个矩阵a1 a2 a3Aa1=k1a1,Aa2=k2a2,Aa3=k3a3矩阵形式为AP=P或-1 矩阵的相似对角化设三阶矩阵有三个线性无关的特征向量a1说明矩阵A与对角矩阵相似。利用特征矩阵向量和特征值的方法可以求矩阵A的相似对角矩阵。矩阵的相似对角化方法可用计算一矩阵的方幂。例设矩阵求A10解：先求出A的特征值和特征向量，得A的对角相似矩阵和可逆矩阵P，由等式-1说明矩阵A与对角矩阵相似。利用特征矩阵向量和特征值的方法可以得A10

19、=10-1 MATLAB命令如下A=4 6 0;-3 -5 0;-3 -6 1;p d=eig(A) p*d10*inv(p)结果为ans = -1022 -2046 0 1023 2047 0 1023 2046 1得A10=10-1 MATLAB命令如下A=4 6 为了验证这一结果也可以直接输入命令A 10也得这一结果。例 判断二次型的类型（正定型、负定型、半正定型、半负定型），将结果化为标准形式。解：首先写出二次型的矩阵，然后求特征值，由特征值的符号判断二次型的类型，根据二次型的系数得其矩阵为为了验证这一结果也可以直接输入命令A 10也得这一结果。例在MATLAB中输入矩阵A的数据并求特

20、征值，所用命令如下：A=-5 2 2;2 -6 0;2 0 -4;eig(A)在MATLAB中输入矩阵A的数据并求特征值，所用命令如下：A计算结果为：ans = -8 -5 -2 说明A有三个负特征值，所以该二次型为负定二次型，它的标准形式为：为了求得其变换矩阵C的数据，可由命令p d=eig(A)得矩阵A的特征向量矩阵计算结果为：ans =说明A有三个负特征值，所以该二次型为负p= -2/3 1/3 2/3 2/3 2/3 1/3 1/3 -2/3 2/3 显然三个列向量相互正交的单位向量，可得变量的变换关系为p=显然三个列向量相互正交的单位向量，可得变量的变换关系为由此可以用此方法求高等代

21、数二次型的变换矩阵、化简二次型及二次型的正定判断。由此可以用此方法求高等代数二次型的变换矩阵、化简二次型及六、应用线性方程组求解数学模型1.实际问题中方程组的类型：适定方程组、不定方程组、超定方程组适定方程组：方程数等于未知数个数时，这一类方程组称为适定方程组。如果其系数矩阵可逆，适定方程组有唯一的解，求解方法有克菜姆方法、消元法、矩阵分解法、迭代法。六、应用线性方程组求解数学模型1.实际问题中方程组的类型：适不定方程组：实际方程的个数小于未知数的个数，这一类方程称为不定方程组。当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时，不定方程组有无穷多组解，根据线性代数的理论和方法，可求得方程组的通解。超定方程组：

22、当方程组的数多于未知数的个数时，这一类方程组称为超定方程组。超定方程组没有准确解，但可以求广义解，例超定方程组的最小二乘解。不定方程组：实际方程的个数小于未知数的个数，这一类方程称为不1)适定方程组：对于方程组AX=b,如果A为方阵，解适定方程组可以用方阵的系数矩阵的逆来求，即x=inv(A)bA=1 -2 -3 -4;2 1 -1 1;-1 0 -1 2;3 -3 4 -5B=1 1 1 1X=inv(A)*B如果A是奇异方阵，则计算结果为INF， 则会给出警告信息。如果A为病态矩阵，也会出出警告信息。1)适定方程组：对于方程组AX=b,如果A为方阵，解适定方程此外，还可以用除法来解适定方程

23、，X=AB以上二方法区别是：算法上说，上面的两种计算方法都采用高斯消去法，但利用除法求解时，不是先对矩阵A求逆，而是直接利用高斯消法进行计算。这样可以很好地保证计算的速度，而又会节省大量的计算时间，从下例中可以看出除法的优劣。A=rand(100)+1.e10; %生成一个100阶的随机矩阵x=ones(100,1); b=A*x; %求方程右边的向量此外，还可以用除法来解适定方程，X=AB以上二方法区别是：tic %开始计时y=inv(A)*b; %用逆运算求解方程 toc %读计时时间err=norm(y-x) %结果与精确解的2范数res=norm(A*y-b) %方程的2范数误差tic

24、 %开始计时y=Ab; %除法运算求解方程toc %读计时时间err=norm(y-x) %结果与精确解的2范数res=norm(A*y-b) %方程的2范数误差tic elapsed_time = 0err = 0.0457res = 9.7113e+008elapsed_time = 0err = 0.0360res = 0.0033elapsed_time =2）超定方程对于方程Ax=b,A为n,m矩阵，如果A列满秩，且nm,则方程没有精确解的，即其精确解的空间为零。然而在实际工程计算时，求得最小二乘解也是有意义的，方程的解除了用除法运算来求（x=Ab)外，还可以用广义逆来求：x=pin

25、v(A),所求的解并不满足Ax=b，而x只是最小二乘意义上的解。A=3 4 5;6 1 2;4 -5 7;0 2 42）超定方程对于方程Ax=b,A为n,m矩阵，如果A列满秩， B=3 2 4 6x1=ABx1 = 0.4149 0.0448 0.3737A*x1-Bans = 0.2924 1.2815 0.0516 -1.0966 B=3 2 4 6x1=ABx1 =A*x1-Ba由此可见，x1不是方程Ax=B精确解，用x2=pinv(A)*B所得的解与x1相同，用线性代数可以证明，列满秩的方程组Ax=B最小二乘解为X=inv(C*C)*C*B,而广义逆pinv(A)=inv(C*C)*C

26、，如上例的结果可以这样计算inv(A*A)*A*Bans = 0.4149 0.0448 0.3737由此可见，x1不是方程Ax=B精确解，用x2=pinv(A)3)不定方程：理论上说有无穷多个解，如果用逆矩阵法和除法求解时，只能得到其中的一个解A= 1 -2 3;0 1 1;-1 0 1;1 -3 4B=4 -3 -4 1x=pinv(A)*Bx= 2.2549 1.2157 1.03923)不定方程：理论上说有无穷多个解，如果用逆矩阵法和除法求解x=ABWarning: Rank deficient, rank = 2 tol = 4.6151e-015.y = 3.4706 0 -0.1

27、765x和y都是方程组的解，其中x=pinv(A)*B是方程解中最小的一个，norm(x)=2.7645.而norm(y)=3.4751,y=AB是所有解中0最多的一个，也就是非零元素最多的一个。x=ABWarning: Rank deficient, 2、交通流量问题如图所示给出了某城市部分单行街道的交通流量（每小时通过的车辆数）。图中有6个路口，已有9条路口记录了当天的平均车流量，另有7处的平均车流量未知，试用每个路口的进出车流量相等关系推算7处的平均车流量1）问题提出2、交通流量问题如图所示给出了某城市部分单行街道的交通流量（x1x5200300400200300400500200300

28、 x2x3x4x6x72）问题分析与数学模型在图中的任何一个路口（十字路口或丁字路口）处，都有车辆流进和流出。当一天结束后，流进的流出的车辆数应该相等以达到平衡，x1x520030040020030040050020030在图中有的长远街道车流量有数据记录，而有的没有数据记录，我们可以理解为有数据的街道有专人（或者设备）记录了当天的车流量情况，而没有记录的街道由于人力不足（或设备的经费还没到位）造成的。为了填补空白，设在没有数据的街道处假设车流量是未知数，在每一个路口可根据进出的车流量相等关系，建立一个线性方程，如图有六个路口，可以建立六个方程的线性组，问题的答案应该是在所列的线性方程组在图中

29、有的长远街道车流量有数据记录，而有的没有数据记录，我们通解中支寻找，将方程组写成矩阵向量形式为AX=b其中通解中支寻找，将方程组写成矩阵向量形式为AX=b其中显然是一个不定方程组，因为方程组的个数少于未知数的个数。所以当方程组的系数矩阵A的秩增广矩阵A b的秩相等时，该问题有无穷多解，由于 图显然是一个不定方程组，因为方程组的个数少于未知数的个数。所以中的街道是单行道，每一街道上的车流量只能是正数或零，故应在方程组的解集合中寻找非负解，如果方程组没有解或没有非负解，说明问题所给的数据有误，求解问题分三步，第一步判断方程组是否有解，第二步，如果方程组有解则求出方程组的通解，第三步，在通解中找非负

30、特解。3）程序和计算结果 A=1 0 1 0 0 0 0;1 -1 0 1 0 0 0;0 1 0 0 -1 0 0;0 0 1 0 0 1 0; 0 0 0 1 0 1 -1; 0 0 0 0 1 0 -1 中的街道是单行道，每一街道上的车流量只能是正数或零，故应在方b=700 200 200 500 0 -200 rank(A)ans = 5 rank(A b)ans = 5b=700 200 200 500 0 -200 rref(A b)ans = 1 0 0 0 0 -1 0 200 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 1 0 500 0 0 0 1 0 1 -1 0 0 0 0 0 1 0 -1 -200 rref(A b)即有简化方程组x6、x7为自由未知量，直接可得原方程组的通解形式即有简化方程组x6、x7为自由未知量，直接可得原方程组的通解由上面所得的方程组通解表达式，取适当的k1和k2使特解为非负数即可。求非负解的程序如下：由上面所得的方程组通解表达式，取适当的k1和k2使特解为非负A=1 0 1 0 0 0 0;1 -1 0 1 0 0 0;0 1 0 0 -1 0 0;0 0 1 0 0 1 0; 0 0 0 1 0 1 -1;