第六节线性方程组解的结构v3课件

1、主要内容齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构第六节 线性方程组解的结构主要内容齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构第六节在解决了线性方程组有解的判别条件之后，我们进一步来讨论线性方程组解的结构.在方程组的解是唯一的情况下，当然没有什么结构问题.在有多个解的情况下，所谓解的结构 就是解与解之间的关系.下面我们将证明，虽然在这时有无穷多解但是全部的解都可以用有限多个解表示出来.这就是本节要讨论的问题和要得到的主要结果.在解决了线性方程组有解的判别条件之后，我们进一步来讨论线性方一、齐次线性方程组解的结构设有齐次线性方程组它的解是一个 n 维向量，称之为解向量，所有解构成的集合，

2、称之为解集.由它的一、齐次线性方程组解的结构设有齐次线性方程组它的解是一个 n1. 解的性质方程组 (1) 有下面两个重要性质：性质 1 两个解的和还是方程组的解.性质 2 一个解的倍数还是方程组的解.1. 解的性质方程组 (1) 有下面两个重要性质：性质 12. 基础解系的定义定义 19 齐次线性方程组 (1) 的一组解 1 , 2 , , t 称为 (1) 的一个基础解系，如果1) (1) 的任一解都能表成 1 , 2 , , t 的线性组合；2) 1 , 2 , , t 线性无关.2. 基础解系的定义定义 19 齐次线性方程组 (13. 基础解系的存在性与求法齐次线性方程组的基础解系的存

3、在性由下面的定理给出.定理 8 在齐次线性方程组有非零解的情形下,它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于 n - r ，这里 r 表示系数矩阵的秩 ( 以下将看到 n - r也就是自由未知量的个数) .3. 基础解系的存在性与求法齐次线性方程组的基础解系的存在证明设方程组 (1) 的系数矩阵的秩为 r ，不妨设左上角的 r 级子式不等于零.于是按上一节最后的分析，方程组 (1) 可以改写成如果 r = n，那么方程组没有自由未知量，方程组 (3) 的右端全为零.这时方程组只有零解，当然证明设方程组 (1) 的系数矩阵的秩为 r ，不妨设左上角的也就不存在基础解系.以下设 r n .我们知道

4、，把自由未知量的任意一组值 ( cr+1 ,cr+2 , , cn ) 代入 (3) ，就唯一地决定了方程 (3)也就是方程组 (1) 的一个解.换句话说，方程组 (1)的任意两个解，只要自由未知量的值一样，这两个解就完全一样.特别地，如果在一个解中，自由未知量的值全为零，那么这个解一定是零解.因此，为了求方程组 (1) 的 n - r 个不同的解，在 (3) 中，令自由未知量 xr+1 , xr+2 , , xn 取下列n - r 组数：也就不存在基础解系.以下设 r n .我们知道，把自由未于是就得出方程组 (3) , 也就是方程组 (1) 的 n - r 个解：于是就得出方程组 (3)

5、, 也就是方程组 (1) 的 n 下面来证明，(5) 就是一个基础解系.首先证明1 , 2 , , n - r 线性无关.事实上，如果k11 + k22 + + k n - rn - r =0 ,即k11 + k22 + + k n - rn - r= ( *, , *, k1 , k2 , , kn - r )= ( 0, , 0, 0, 0, , 0 ) .比较最后 n - r 个分量，得k1 = k2 = = kn - r = 0 .因此， 1 , 2 , , n - r 线性无关.下面来证明，(5) 就是一个基础解系.首先证明1 , 2再证明方程组 (1) 的任意一个解都可以由1 ,

6、2, , n - r 线性表出.设 = ( c1 , , cr , cr+1 , cr+2 , , cn ) (6)是方程组 (1) 的一个解.由于1 , 2 , , n - r 是 (1)的解，所以线性组合cr+11 + cr+22 + + cnn - r (7)也是 (1) 的一个解.比较 (7) 和 (6) 的最后 n - r 个分量得知，自由未知量有相同的值，从而这两解完全一样，即再证明方程组 (1) 的任意一个解都可以由1 , 2, 这就是说，任意一个解 都能表成1 , 2 , , n - r 的线性组合.综合以上两点，我们就证明了1 , 2 , , n - r 确为方程组 (2)

7、的一个基础解系，因而齐次线性方程组的确有基础解系.证明中具体给出的这个基础解系是由 n - r 个解组成.至于其他的基础解系，由定义，一定与这个基础解系等价，同时它们又都是线性无关的，因而有相同个数的向量.证毕 = cr+11 + cr+22 + + cnn - r (8)这就是说，任意一个解 都能表成1 , 2 , ,由基础解系的定义，可得出下面重要结论：任何一个线性无关的与某一个基础解系等价的向量组都是基础解系. = k11 + k22 + + kn - rn - r 设 1 , 2 , , n - r 是齐次线性方程组 (1) 的基础解系，则称是齐次线性方程组 (1) 的一般解.齐次线性

8、方程组的一般解由基础解系的定义，可得出下面重要结论：任何一个线性无关的与某例 求解齐次线性方程组例 求解齐次线性方程组二、非齐次线性方程组解的结构1. 非齐次线性方程组与其导出组设有非齐次线性方程组若令 b1 = b2 = = bs =0，就得到齐次方程组 (1).方程组 (1) 称为方程组 (9) 的导出组.二、非齐次线性方程组解的结构1. 非齐次线性方程组与其导出2. 非齐次线性方程组的解与其导出组的解之间的关系方程组 (9) 的解与它的导出组 (1) 的解之间有密切的关系：1) 线性方程组 (9) 的两个解的差是它的导出组(1) 的解.2) 线性方程组 (9) 的一个解与它的导出组 (1

9、)的一个解之和还是这个线性方程组的一个解.2. 非齐次线性方程组的解与其导出组的解之间的关系方程组 3. 非齐次线性方程组解的结构定理 9 如果 0 是方程组 (9) 的一个特解，那么方程组 (9) 的任一个解 都可以表成 = 0 + ， (10)其中 是导出组 (1) 的一个解.因此，对于方程组(9) 的任一个特解 0 ，当 取遍它的导出组的全部 解时，(10) 就给出 (9) 的全部解.3. 非齐次线性方程组解的结构定理 9 如果 0 非齐次线性方程组的一般解 = 0 + k11 + k22 + + kn - rn - r 设 0 是非齐次线性方程组的一个特解， 1 , 2 , , n -

10、 r 是它的导出组的一个基础解系，则它的任一个解 可表示为称之为非齐次线性方程组的一般解 .由定理 9 容易得出以下推论：推论 在非齐次线性方程组有解的条件下，解是唯一的充分必要条件是它的导出组只有零解.非齐次线性方程组的一般解 = 0 + k11 + k2例 1 求非齐次线性方程组例 1 求非齐次线性方程组例 2 设线性方程组讨论方程组的解的情况与参数 a, b 的关系，有解时求其解.例 2 设线性方程组讨论方程组的解的情况与参数 a, 本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.

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