高中数学人教A版选修2-1第二章2.1.1曲线与方程课件

1、2.1曲线与方程2.1.1 曲线与方程 2.1曲线与方程本节要求 理解曲线上的点与方程解之间的一一对应关系。 初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念。 强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。本节要求 理解曲线上的点与方程解之间的一一对复习提问 请大家回忆一下，在平面直角坐标系中，直线，圆，抛物线等曲线，我们用什么式子来表示？OxylxOy(x-a)2+(y-b)2=r2rC(a, b)Ax+By+C=0Oxyy=ax2(a0) 这些曲线和方程到底是怎样一个关系呢，这就是我们本节来探讨的内容？方程复习提问 请大家回忆一下，在平面直角坐标系中，直xy0（1）探求平分一、三象限直线l与方

2、程x-y=0之间的关系？直线 l上点的横、纵坐标相等y=x(或x-y=0)平分一、三象限的直线 l关系：x-y=0(1)直线 l上点的坐标都是方程x-y=0的解;(2)以方程x-y=0的解为坐标的点都在直线 l上.曲线条件方程l（x,y）曲线和方程之间有什么对应关系：探究新知xy0（1）探求平分一、三象限直线l与方程x-y=0之间的关（2）探求圆心为(a,b)，半径为r的圆与方程(x-a)2 +(y-b)2 =r2之间的关系？点(x,y)与圆心C(a,b)距离为r(x-a)2 +(y-b)2 =r2圆心为(a,b)，半径为r的圆C关系：(1)圆C上点的坐标都是方程(x-a)2 +(y-b)2

3、=r2的解;(2)以方程(x-a)2 +(y-b)2 =r2的解为坐标的点都在圆C上.曲线条件方程xOy(x-a)2+(y-b)2=r2rC(a, b)(x,y)曲线和方程之间到底是什么样的对应关系呢？（2）探求圆心为(a,b)，半径为r的圆与方程(x-a)2 曲线方程的定义f(x,y)=0oxy 在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： 曲线上点的坐标都是这个方程的解； 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上。 则称，这个方程f（x，y）=0叫做这条曲线C的方程，这条曲线C叫做这个方程的曲线.（纯粹性）（完备性）C(x,y)曲线方程的定义f(x,

4、y)=0oxy 在直角坐标(1)点集合与解集的对应关系：无点不是解，无解不是点 点不比解多，解不比点多(2)点（x0,y0）在曲线C: f(x，y）=0上的充要条件为：如何理解？一一对应(3)曲线的方程：图形所满足的数量关系 方程的曲线：数量关系所表示的图形f(x,y)=0oxyCP(x0,y0)曲线上点的坐标都是这个方程的解；以这个方程的解为坐标的点都在曲线上。(几何特性)(代数特性）(1)点集合与解集的对应关系：无点不是解，无解不是点 (2)例1.（1）说说过A(2，0)平行于y轴的直线m与方程|x|=2的对应关系，并判断直线m的方程是不是|x|=21）直线m上的点的坐标都满足方程|x|=

5、2；2）坐标满足方程|x|=2的点不都在直线m上结论：Oxy(2,0)A直线m的方程不是|x|=2例析m解：(2,y)(-2,y)例1.（1）说说过A(2，0)平行于y轴的直线m与方程|x|OyxAB结论：(？,？)解：OyxAB结论：(？,？)解： (3) 说说以原点为圆心，半径等于5的圆C与方程是x2 +y2 = 25,的对应关系，并判断圆C的方程是不是x2 +y2 = 25？1）圆C上点的坐标都满足即方程x2 +y2 = 25；2）点坐标满足方程x2 +y2 = 25时，即这些点都在圆C上.Oxy55结论：圆C的方程是x2 +y2 = 25.解：(x,y) (3) 说说以原点为圆心，半径

6、等于5的圆C与方(1)举出一个方程与曲线，使 它们之间的关系符合而不符合.练习(2)举出一个方程与曲线，使 它们之间的关系符合 而不符合 .(3) 举出一个方程与曲线，使 它们之间的关系既符合又符合。曲线上点的坐标都是这个方程的解（纯粹性）； 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上（完备性）。(1)举出一个方程与曲线，使 它们之间的关系符合而不符合yx82-1O（1）符合条件不符合条件 曲线上点的坐标都是这个方程的解； 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上。yx82-1O（1）符合条件不符合条件 曲线上点的坐标(-1x2)（2）符合条件不符合条件 曲线上点的坐标都是这个方程的解； 以这个方程的解为坐

7、标的点都在曲线上。yx82-1O(-1x2)（2）符合条件不符合条件 曲线上点的（3）符合条件、 曲线上点的坐标都是这个方程的解； 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上。x82-1yO（3）符合条件、 曲线上点的坐标都是这个方程的解；x 例2.求证：与两坐标轴距离之积等于常数 k(k0)的点的轨迹的方程是xy=k例析0yx M点与x轴和y轴的距离分别为1)设M(x0,y0)是轨迹上的任意一点，则|x0|和|y0|。|x0|y0|=k，即(x0,y0)是xy=k的解。即x0y0=k2)设M(x0,y0)坐标是xy=k的解，则x0y0=k|x0|y0|=k又|x0|和|y0|分别是M点与x轴和y轴的

8、距离。M点是轨迹上的点。由1)2)得，轨迹的方程是xy=k解：如图M(x0,y0) 例2.求证：与两坐标轴距离之积等于常数 k(k 第一步，设M (x0,y0)是曲线C上任一点，证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；证明已知曲线的方程的方法和步骤： 第二步，设(x0,y0)是f(x,y)=0的解，证明点M (x0,y0)在曲线C上. 第三步，由一二步得出结论。 第一步，设M (x0,y0)是曲线C上任一点1. 证明以坐标原点为圆心，半径等于2的圆的方程是x2 +y2 = 4。 (1)设M(x0,y0)是圆上任意一点.点M到坐标原点的距离等于2， (x0,y0) 是方程x2 +y2 =4的解

9、.(2)设 (x0,y0) 是方程x2 +y2 = 4的解，则 x02 +y02 = 4, 即点M (x0,y0)到坐标原点的距离等于2，点M (x0,y0)是这个圆上的一点. 由（1）、（2）可知， x2 +y2 = 4是以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方程.证明：练习1. 证明以坐标原点为圆心，半径等于2的圆的方程是x2 +2.请标出下列方程所对应的曲线 |x|y=0 xyOyOxx2y2=010 xy-11xyO0yx110yx112.请标出下列方程所对应的曲线 |x|y=0 xyOyOx曲线与方程的内在联系点M坐标 (x, y)曲线C方程F(x,y)=0按某种规律运动（几何意义）x,y的变化规律及x,y间制约关系（代数意义）?坐标系曲线与方程的内在联系对曲线方程的进一步理解轨迹图形曲线与方程的内在联系点M坐标 (x, y)曲线C方