函数概念性质

1、.专题讲座高中数学“函数的看法与性质”授课研究李梁北京市西城区教育研修学院函数是中学数学中的重点内容，它是描述变量之间依赖关系的重要数学模型.本专题内容由四部分构成：关于函数内容的深层理解；函数看法与性质的授课建议；学生学习中常有的错误剖析与解决策略；学生学习目标检测剖析.研究函数问题平时有两条主线：一是对函数性质作一般性的研究，二是研究几种详尽的基本初等函数二次函数、指数函数、对数函数、幂函数.研究函数的问题主要围绕以下几个方面：函数的看法，函数的图象与性质，函数的相关应用等.一、关于函数内容的深层理解（一）函数看法的发展史简述数学史角度：早期函数看法（Descartes，15961650引

2、入坐标系创立剖析几何，已经关注到一个变量关于另一个变量的依赖关系）几何角度；Newton，16421727，用数流来定义流量（fluxion）的变化率，用以表示变量间的关系；Leibniz，16461716引入常量、变量、参变量等看法；Euler引入函数符号，并称变量的函数是一个剖析表达式代数角度；Dirichlet，18051859提出是与之间的一种对应的观点对应关系角度；Hausdorff在会集论纲领中用“序偶”来定义函数会集论角度.Dirichlet：认为怎样去建立与之间的关系没关紧迫，他拓广了函数看法，指出：“对于在某区间上的每一个确定的值，都有一个确定的值，那么叫做的函数.”这类函数

3、的定义，防备了过去函数定义中所有的关于依赖关系的描述，简短精确（经典函数定义）.Veblen，18801960用“会集”和“对应”的看法给出了近代函数定义，经过会集看法，把函数的对应关系、定义域及值域进一步详尽化了，且打破了“变量是数”的限制，变量能够是数，也能够是其他对象.（二）初高中函数看法的差异与联系1初中函数看法：Word文档.设在某个变化过程中有两个变量，若是关于在某个范围内的每一个值，都有唯一的值与它对应，我们就说是的函数，叫自变量，叫的函数.2高中函数看法：（1）设A，B是两个非空会集，若是依照某种对应法规f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是

4、会集A到会集B的照射.记作，其中叫原象，叫象.（2）设会集A是一个非空的数集，对A中的任意数x，依照确定的法规f，都有唯一确定的数y与它对应，则这类照射叫做会集A上的一个函数.记作.其中x叫做自变量，自变量取值的范围（数集A）叫做这个函数的定义域.所有函数值构成的会集叫做这个函数的值域.函数的值域由定义域与对应法规完好确定.3）函数是一种特其他照射.其定义域和值域都是非空的数集，值域中的每一个元素都有原象.构成函数的三要素：定义城，值域和对应法规，其中定义域和对应法规是核心.（三）函数在整个数学知识系统中的地位及作用函数是中学数学最重要的基本看法之一，其核心内涵为从非空数集到非空数集的照射；函

5、数思想也是整个高中数学最重要的数学思想之一，而函数看法是函数思想的基础；它不但对前面学习的会集知识做了牢固和发展，而且它是学好后继知识的基础和工具；函数与方程、不等式、数列、三角函数、剖析几何、导数等内容的联系也特别亲近；函数的基础知识在现实生活、社会、经济及其他学科中有宽泛的应用；函数看法及其反响的数学思想方法已宽泛浸透到数学的各个领域，是进一步学习数学的重要基础.（四）函数的看法与性质构造框图Word文档.（五）函数的看法与性质授课重点和难点授课重点：1函数的看法2函数的基本性质3基本初等函数的图象和性质授课难点：Word文档.1函数看法的理解2对函数的单调性、奇偶性、周期性实质的掌握3运

6、用基本初等函数的图象和性质解决简单问题二、函数看法与性质的授课建议：（一）怎样深入掌握函数的看法？1照射与函数的授课建议：授课中，由于照射与函数的看法比较抽象，不易掌握，故本部分内容宜采用教师引导，师生共同商议的方式来学习.在授课中，教师能够近似举以下的例子进行剖析：例1：设会集和都是自然数会集.照射把会集中的元素照射到会集中的元素,则在照射作用下,2的象是；20的原象是_.剖析：由已知，在照射作用下的象为.因此，2的象是；设象20的原象为，则的象为20，即.由于，随着的增大而增大，又，因此20的原象是4.这个例子要修业生理解照射的意义，关于给出对应关系的照射会求照射中指定元素的象与原象.能够

7、有效鉴识学生对照射、象、原象这些看法的掌握程度.同时，题目中兼顾关于函数性质的研究，拥有必然的综合程度.二、函数看法与性质的授课建议：（一）怎样深入掌握函数的看法？1照射与函数的授课建议：Word文档.授课中，由于照射与函数的看法比较抽象，不易掌握，故本部分内容宜采用教师引导，师生共同商议的方式来学习.在授课中，教师能够近似举以下的例子进行剖析：例1：设会集和都是自然数会集.照射把会集中的元素照射到会集中的元素,则在照射作用下,2的象是；20的原象是_.剖析：由已知，在照射作用下的象为.因此，2的象是；设象20的原象为，则的象为20，即.由于，随着的增大而增大，又，因此20的原象是4.这个例子

8、要修业生理解照射的意义，关于给出对应关系的照射会求照射中指定元素的象与原象.能够有效鉴识学生对照射、象、原象这些看法的掌握程度.同时，题目中兼顾关于函数性质的研究，拥有必然的综合程度.2函数的定义域问题：确定函数的定义域是研究函数问题的先决条件，因此关于一个函数问题，第一要明确自变量的取值会集.授课中，教师可经过近似下述问题明确求函数定义域的几类常有问题：例2：求以下函数的定义域：（1）；（2）；（3）；（4）；解：（1）由，得，因此或，因此或.Word文档.因此，所求函数的定义域为.（2）由得，或.因此，所求函数的定义域为.（3）由得，且，因此，所求函数的定义域为（4）由得即因此.因此，所求

9、函数定义域为.例3：如图，用长为的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形的底边长为，求此框架围成的面积与的函数关系式，并指出定义域.解:依照题意,.弧长为，因此.因此，.依照问题的实质意义.解得.因此，所求函数定义域为.Word文档.上述求函数定义域问题涵盖了确定函数定义域的两各种类问题.（1）给出函数剖析式求定义域（如例2），这类问题就是求使剖析式有意义的自变量的取值范围.正确的解不等式或不等式组在解决这类问题中是重要的.中学数学中常有的对变量有限制的运算法规有：分式中分母不为零；偶次方根下被开方数非负；零次幂的底数要求不为零；对数中的真数大于零，底数大于零且不等于1；，则.2）在实

10、责问题中求函数的定义域（如例3）.在这类问题中除了考虑剖析式对自变量的限制,还应试虑实责问题对自变量的限制.其他，在办理函数问题时要有一种随时关注定义域的意识，这是极其重要的.比方在研究函数单调性、奇偶性、最值等问题时，第一要考虑的就是函数的定义域.3函数的对应法规问题：确定函数的对应法规（即求函数的剖析式）是相关函数看法中的重要问题，授课中教师能够设置以下相关题组，和学生共同解决.例4：（1）已知，求的剖析式；（2）已知，求的值；（3）若是为二次函数，而且当时，获取最小值，求的剖析式；（4）已知函数与函数的图象关于直线对称，求的剖析式.Word文档.剖析：（1）求函数的剖析式，从照射的角度看

11、就是求对应法规，于是，我们一般有下面两种方法解决（1）这样的问题.方法一：.经过这样“凑型”的方法，我们能够明确看到法规是“原象对应于原象除以原象的平方减1”.因此，.方法二：设,则.则，因此.这样，经过“换元”的方法也能够明确看到法规是什么.（2）用“凑型”的方法，.因此，.（3）由于为二次函数，而且当时，获取最小值，因此，可设，又，因此，因此.（4）这个问题相当于已知的图象满足必然的条件，进而求函数的剖析式.所以，能够类比剖析几何中求轨迹方程的方法求的剖析式.设的图象上任意一点坐标为，则关于对称点的坐标为，由已知，点在函数的图象上，因此，点的坐标满足的剖析式，即，因此，.Word文档.由于

12、已知条件的不同样，求函数的剖析式的常有方法有像（1）（2）所用到的“凑形”及“换元”的方法；有像（3）所用到的待定系数法；也有像（4）所用到的剖析法.值得注意的是（4）中所用的剖析法.在求函数剖析式或求曲线的轨迹方程时都能够用这种方法，是一种通法.同时也表示函数和它的图象与曲线和它的方程之间有必然的取系.（二）授课中怎样突出函数性质的实质？函数的性质主要包括函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性等，重视点在于理解与函数性质相关的看法，掌握相关判断、证明的基本方法以及简单的应用.这部分内容常用到数形结合的思想方法.1关于基本看法的理解：（1）设函数的定义域为，若是关于内的任意一个，都有，且，则这个

13、函数叫做奇函数.设函数的定义域为，若是关于内任意一个，都有，且，则这个函数叫做偶函数.由奇函数定义可知，关于奇函数，点与点都在其图象上.又点与点关于原点对称，我们能够获取：奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；经过同样的剖析能够获取，偶函数的图象是以轴为对称轴的轴对称图形.（2）一般地，设函数的定义域为，区间.若是取区间中的任意两个值，改变量，则当时，就称函数在区间上是增函数；当时，就称函数在区间上是减函数.若是一个函数在某个区间上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间上拥有单调性，区间称为单调区间.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.Word文档.（3）

14、一般地，关于函数，若是存在一个不为零的常数，使合适取定义域中的每一个值时，都建立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数叫做这个函数的周期.（4）一般地，关于函数，若是存在一个不为零的常数，使合适取定义域中的每一个值时，都建立，则函数的图象关于直线对称.这四个看法都比较抽象，建议表达相关看法时采用数形结合的手段，不断揭穿看法的几何背景，进而完满学生对看法的认识.2关于函数的奇偶性问题：关于函数的奇偶性，要修业生会判断及简单应用.授课中可给出以下题组：例1：判断以下函数的奇偶性.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.解：（1）解，获取函数的定义域为或，关于原点不对称，因此此函数为非奇非偶函数.

15、（2）函数的定义域为，但是，由于，即，且，因此此函数为非奇非偶函数.（3）函数的定义域为，又，因此此函数为偶函数.（4）解，得，Word文档.又，因此此函数为奇函数.（5）函数的定义域为，又，因此此函数为奇函数.经过本例及函数奇偶性的定义，进一步能够获取下面几个结论：一个函数是奇（或偶）函数的必要不充分条件是定义域关于原点对称；是奇函数，而且在时有定义，则必有；既是奇函数又是偶函数的函数，其剖析式必然为，等.判断函数奇偶性依照其定义能够分为两个步骤：判断函数的定义域可否关于原点对称；察看与的关系.由此，若以奇偶性为标准能够把函数分为奇函数，偶函数，既奇又偶函数和非奇非偶函数四类.例2：已知为奇

16、函数，当时，（1）求的值；（2）当时，求的剖析式.解：（1）由于为奇函数，因此.（2）方法一:当时,.因此，.Word文档.方法二:设是在时图象上一点,则必然在在时的图象上.因此，.上述三个例子分别从详尽函数、抽象函数、以及奇偶性的应用上加深对看法的理解.3关于函数的单调性问题：例3：用函数单调性定义证明，函数在区间上为增函数.证明：设，由于，因此，又由于，因此，因此，函数在区间上为增函数.例4：设是定义域为的奇函数，且它在区间上是减函数.（1）试比较与的大小；（2）若，且，求证：.解：（1）由于是奇函数，因此，Word文档.又在区间上是减函数，因此，即.（2）由于，因此异号，不如设，由于，因

17、此，由于，在区间上是减函数，因此，由于是奇函数，因此，因此，即.总之，函数的单调性是我们研究的极为重要的函数性质，其与其他问题的联系、自己的应用都很宽泛，在授课中要予以充分注意.（三）怎样有效提升学生对基本初等函数的图象与性质的掌握？基本初等函数包括:二次函数、指数函数、对数函数和幂函数.函数的图象上直观地反响着函数的性质,学习函数的“捷径”是熟知函数的图象.熟知函数图象包括三个方面：作图，读图，用图.掌握初等函数一般包括以下一些内容：第一是函数的定义，此后是函数的图象和性质.函数的性质一般包括定义域，值域，图象特点，单调性，奇偶性，周期性，零点、最值以及值的变化特点等，研究和记忆函数性质的时

18、候应全面考虑.函数的定义（平时情况下是剖析式）决定着函数的性质，我们能够经过剖析式研究函数的性质，也能够经过剖析式画出函数的图象，进而直观的发现函数的性质.1关于二次函数的办理：关于二次函数，初中已有研究，但高中阶段办理二次函数的视角又和初中有所不同样.比方：设是实数，证明关于的方程有两个不相等的实数解.（初中、高中的不同样办理方法）授课中能够参照以下的题目：Word文档.例1：（1）若是二次函数在区间上是增函数，则的取值范围是_.（2）二次函数的最大值恒为负，则的取值范围是_.（3）函数关于任意均有，则，的大小关系是_.解：（1）由于此抛物线张口向上，且在上是增函数，画简图可知此抛物线对称轴

19、或与直线重合，或位于直线的左侧，于是有，解之得.（2）剖析二次函数图象可知，二次函数最大值恒为负的充要条件是“二次项系数，且鉴识式”，即解得.（3）由于关于任意均有，因此抛物线对称轴为.又抛物线张口向上，做出函数图象简图可得.例2、已知二次函数的对称轴为，且图象在轴上的截距为，被轴截得的线段长为，求的剖析式.解：解法一：设，由的对称轴为，可得；由图象在轴上的截距为，可得；由图象被轴截得的线段长为，可得均为方程的根.Word文档.因此，即，因此.解法二：由于图象被轴截得的线段长为，可得均为方程的根.因此，设，又图象在轴上的截距为，即函数图象过点.即.因此.二次函数是非常常有的一种函数模型，在高中

20、数学中地位很重.二次函数的剖析式有三种形式：一般式；极点式，其中为极点坐标；双根式，其中为函数图象与轴交点的横坐标，即二次函数所对应的一元二次方程的两个根.例1、2两个题目充分表现了数形结合思想及运动变化思想的运用.这两种数学思想在函数问题的解决中被宽泛使用.2关于指数函数、对数函数和幂函数的办理：这三种基本初等函数是在研究一般函数基础上的重要模型，授课中建议采用以下问题突出相关函数性质的应用.例3、比较以下各小题中各数的大小：（1）与；（2）；（3）与；（4）与；（5）与；（6）.剖析：（1）是减函数,.Word文档.（2）函数在区间(0,+)上是增函数，因此，函数在区间(0,+)上是减函数

21、，因此，因此.（3）由于,因此.（4）利用幂函数和指数函数单调性.（5）由于,.依照不等式的性质有.（6）由于，因此，即；比较与，只需比较与，由于是增函数，因此只需比较与的大小，由于，因此，因此，综上，.例4：已知，比较的大小.剖析：方法一（作商比较法），又，因此，因此，因此.Word文档.方法二（作差比较法），由于，因此，因此，即.方法三（构造函数）令，将看作是关于的一次函数，由于，因此此函数为减函数，又，因此，即.两个数比较大小的基本思路：若是直接比较，能够考虑用比较法（包括“作差比较”与“作商比较”，如例4的方法一与方法二），也许利用函数的单调性来比较（如例3（1）（2）（3），例4的方

22、法三）.若是用间接的方法能够试一试对要比较的两数进行合适的变形，转变为对另两个数的比较，也能够考虑借助中间量来比较（如例3（4）（5）（6）.三、学生学习中常有的错误剖析与解决策略例1：以下四组函数中，表示同一个函数的是（）（A）,（B）,（C）,（D）,易错点：定义域；对应法规；函数的看法.错因剖析：忽视函数的定义域；不清楚函数看法的实质，如（B）中表示自变量的字母不同样，就误认为不会是同一个函数.Word文档.解题策略：判断两个函数可否为同一函数，就是要看两个函数的定义域与对应法规可否完好同样.一般有两个步骤：（1）在不对剖析式进行变形的情况下求定义域，看定义域可否一致.（2）对剖析式进行

23、合理变形的情况下，看对应法规可否一致.剖析：（A）（C）（D）中两个函数的定义域均不同样，因此不是同一函数.（B）中两个函数的定义域同样，化简后为及，对应法规也同样，因此选（B）.这个例子能够有效检测学生对函数看法的掌握，同时突出照射与函数看法的联系.例2：已知函数的定义域为，求函数及的定义域.易错点：对应法规定义域；定义域的看法.错因剖析：对对应法规的符号不理解；不清楚定义域的含义.解题策略：此题的题设条件中未给出函数的剖析式，这就要求我们依照函数三要素之间的相互限制关系明确两件事情：定义域是指的取值范围；受对应法规限制的量的取值范围在“已知”和“求”中间是一致的.那么由的定义域是可知法规限

24、制的量的取值范围是，而在函数中，受直接限制的是，而定义域是指的范围，因此经过解不等式得，即的定义域是.同理可得的定义域为.例3：设函数在上有定义，的值不恒为零，关于任意的，恒有建立，则函数的奇偶性为_.易错点：抽象函数；对“恒建立”的理解.错因剖析：抽象函数的相关性质；对“恒建立”的理解不清楚，不能够将其转变为所需求的构造.解题策略：关于对抽象函数“”的使用一般有以下两个思路：令为某些特其他值，如此题解法中，令获取了.自然，若是令则能够获取，等等.Word文档.令拥有某种特其他关系，如此题解法中，令.获取，在某些情况下也可令，等等.总之，函数方程的使用比较灵便，要依照详尽情况作合适办理.在不是

25、很熟悉的时候，要有试一试看的勇气.解：令，则，因此，再令，则，因此，又的值不恒为零，故是奇函数而非偶函数.例4：已知函数是定义域为的单调增函数.（1）比较与的大小；（2）若，求实数的取值范围.易错点：函数看法；增函数.错因剖析：对函数看法中的对应法规的理解不清楚；没有理解增函数看法的实质，不会将其应用于解决问题.解题策略：回顾单调增函数的定义，在，为区间任意两个值的前提下，有三个重要的问题：的符号；的符号；函数在区间上是增还是减.由定义可知：关于任取的，若，且，则函数在区间上是增函数；不但这样，若，且函数在区间上是增函数，则；若，且函数在区间上是增函数，则；于是，我们能够清楚地看到，函数的单调

26、性与不等式有着自然的联系，请结合例4加以领悟.解：（1）由于，因此，Word文档.由已知，是单调增函数，因此.（2）由于是单调增函数，且，因此，解得或.四、学生学习目标检测剖析（一）课程标准中的相关要求1函数经过丰富实例，进一步领悟函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用会集与对应的语言来刻画函数，领悟对应关系在刻画函数看法中的作用；认识构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；认识照射的看法。在实质情境中，会依照不同样的需要选择合适的方法（如，图像法、列表法、剖析法）表示函数。经过详尽实例，认识简单的分段函数，并能简单应用。经过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的

27、单调性、最大（小）值及其几何意义；结合详尽函数，认识奇偶性的含义。学会运用函数图像理解和研究函数的性质。2指数函数经过详尽实例（如，细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），认识指数函数模型的实质背景。理解有理指数幂的含义，经过详尽实例认识实数指数幂的意义，掌握幂的运算。理解指数函数的看法和意义，能借助计算器或计算机画出详尽指数函数的图像，研究并理解指数函数的单调性与特别点。在解决简单实责问题的过程中，领悟指数函数是一类重要的函数模型。3对数函数Word文档.理解对数的看法及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转变为自然对数或常用对数；经过阅读资料，认识对数的发现历

28、史以及对简化运算的作用。经过详尽实例，直观认识对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，领悟对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出详尽对数函数的图像，研究并认识对数函数的单调性与特别点。知道指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数。（a0,a1）4幂函数23经过实例，认识幂函数的看法；结合函数y=x,y=x,y=x,y=,y=的图像，认识它们的变化情况。（二）高考考试内容与要求1函数认识构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；认识照射的看法.在实质情境中，会依照不同样的需要选择合适的方法（如图像法、列表法、剖析法）表示函数.认识简单的分段函数，并能简单应用.理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合详尽函数，认识函数奇偶性的含义.会运用函数图像理解和研究函数的性质.2指数函数认识指数函数模型的实质背景.理解有理指数幂的含义，认识实数指数幂的意义，掌握幂的运算.理解指数函数的看法，理解指数函数的单调性，掌握函数图像经过的特别点.知道指数函数是一类重要的函数模型.3对数函数Word文档.理解对数的看法及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转变为自然对数或常用对数