基本不等式 教案 高中数学新湘教版必修第一册（2022-2023学年）

1、2.1.2基本不等式最新课程标准学科核心素养掌握基本不等式aba+b2(a0，b1.理解基本不等式的几何意义及其推导过程.(直观想象、逻辑推理)2.会用基本不等式解决最值问题.(逻辑推理、数学运算)新知初探教材要点要点基本不等式定理：对任意a，bR，必有a2b2_，当且仅当ab时，等号成立.推论：对任意a，b0，必有_，当且仅当ab时，等号成立.其中a+b2称为正数a，b的_，ab称为正数a，b的_状元随笔不等式a+b2ab与不等式a2b2a2b22aba+b适用范围a，bRa0，b0文字叙述两数的平方和不小于它们积的2倍两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值“”成立的条件abab基础检

2、测1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)当a，b同号时，ba+ab(2)函数yx1x的最小值为2.(3)6和8的几何平均数为23.()(4)不等式a2b22ab与aba+b2有相同的适用范围.2.已知a，bR，且ab0，则下列结论恒成立的是()A.a2b22abB.ab2abC.1a+1b2ab3.若a1，则a1a-1的最小值是A.2B.aC.2aa-14.已知x，y都是正数.(1)如果xy15，则xy的最小值是_.(2)如果xy15，则xy的最大值是_.题型探究题型1利用基本不等式比较大小例1若ab0，试比较a, a2+b2方法归纳一般地，若给出的数(式)涉及两个正数的和、积或两个

3、实数的平方和，则可考虑利用重要不等式a2b22ab(a，bR，a0，b0)和基本不等式a+b2ab(a0，b跟踪训练1(1)若0a1，0b1，且ab，则ab，2ab，2ab，a2b2中最大的一个是()A.a2b2B.2abC.2abD.ab(2)已知abc，则a-bb-题型2利用基本不等式证明不等式例2已知a，b，c0，求证：a2b+b2c+方法归纳(1)在利用ab2ab时，一定要注意是否满足条件a0，b0.(2)在利用基本不等式ab2ab或a+b2ab(a0，b(3)另外，在解题时还要注意不等式性质和函数性质的应用.跟踪训练2已知实数x，y均为正数，求证：(xy)(4x+9题型3利用基本不等

4、式求最值例3(1)对于代数式12x4x当x0时，求其最小值；当x0时，求其最大值.(2)设0 x2，求x4x-方法归纳应用基本不等式解题的关键在于“拼”、“凑”、“拆”、“合”等变形，构造出符合基本不等式的条件结构.跟踪训练3(1)若0 x1，求y4x2课堂练习1.关于命题p：a，bR，aba+b22，下列说法正确的是(A.p：a，bR，aba+bB.不能判断p的真假C.p是假命题D.p是真命题2.下列命题中正确的是()A.当a，bR时，ab+baB.当a0，b0时，(ab)1a+C.当a4时，a9a2aD.当a0，b0时，2ab3.不等式9x-2(x2)6(其中x2)中等号成立的条件是A.x

5、3B.x3C.x5D.x54.已知t0，则yt2-4t+15.设a0，b0，证明：b2a+a2参考答案新知初探要点2aba+b2基础检测1.答案：(1)(2)(3)(4)2.解析：对于A，当ab时，a2b22ab，所以A错误；对于B，C，虽然ab0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab0，所以ba0，ab0，所以ba+ab2baab(当且仅当ab答案：D3.解析：a1，所以a10，所以a1a-1a11a-11当且仅当a11a-1即a2时取等号答案：D4.解析：(1)xy2xy215，即xy的最小值是215；当且仅当xy15时取最小值.(2)xyx+y22152即

6、xy的最大值是2254当且仅当xy152时xy取最大值答案：(1)215(2)225题型探究例1解析：ab0，a2+b22a2+a22a2(a2b2)(ab)2，a2又a0，b0，则a2+b22由a0，b0，得a+b21a+1b221a+1bbba-aa2+b跟踪训练1解析：(1)方法一0a1，0b2ab，ab2ab，aa2，bb2，aba2b2，故选D.方法二取a12，b13，则a2b22ab63，2ab13，ab显然56最大，故选(2)abc，ab0，bc0，a-c2a-b+b-c2a-bb-c答案：(1)D(2)a例2证明：a，b，c，a2b，a2bb 2a2b当且仅当a2bbb2cc2

7、b2c当且仅当b2ccc2aa2c2a当且仅当c2aa相加得a2bbb2ccc2aa2aa2b+b2c+跟踪训练2证明：(xy)4x+9y494yx又因为x0，y0，所以4yx0，9xy由基本不等式得，4yx+9xy24yx9x即2y3x时取等号，所以(xy)4x+例3解析：(1)x0，12x0，4x12x4x212x4x当且仅当12x4x，即x3时取最小值83当x0时，原式的最小值为83.x0.则12x+4x12-x(4x)212-x-4x83，当且仅当12-x12x4x83当x0时，原式的最大值为83.解析：(2)0 x0，4x(32x)22x(32x)22x+3-当且仅当2x32x，即x

8、34时取等号y的最大值为92(3)x2，x20，x4x-2(x2)4x-22当且仅当x24x即x4时，x4x-跟踪训练3解析：(1)0 x0yx(12x)122x(12x)122x+1-当且仅当2x12x，即x14时取等号.(也可用二次函数配方法求解.(2)x02x12x-12x112x-1112x11-2x21-2x11-2x12x-121(3)x1，令tx1(t0)，则xt1，所以y4x2-8x+5x-14t+12-8t+1当且仅当4t1t，即t12，x3所以y4x2答案：(1)B(2)1(3)见解析课堂练习1.解析：命题p：a，bR，aba+b2p：a，bR，aba+b22，故当a，b一正一负时，ab0，a+b220，ab当a，b中至少一个为0时，ab0，a+b220，ab当a，b均为负数时，ab(ab)2ab，整理得aba+b22，当且仅当a当a，b均为正数时，ab2ab，整理得aba+b22，当且仅当ab命题p：a，bR，aba+b22是假命题，故B，D均错误，C正确.答案：C2.解析：A项中，可能ba0，1a+1b21ab0，相乘得(ab)1a+1b4，当且仅当ab时等号成立，所以正确；C项