浙江版高考数学总复习专题8.4直线、平面垂直的判定和性质（讲解练）教学讲练

1、8.4直线、平面垂直的判定和性质高考数学 浙江专用考点直线、平面垂直的判定和性质考点清单考向基础一、线面、面面垂直的判定1.直线与平面垂直(1)定义:如果一条直线和一个平面相交,并且和这个平面内的任意一条直线都垂直,则称这条直线和这个平面互相垂直.(2)判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面;用数学符号表示为:已知m,n,mn=B,lm,ln,则l.2.点到平面的距离、线到面的距离(1)从平面外一点引平面的一条垂线,这个点和垂足间的距离,叫做这个点到这个平面的距离.(2)一条直线和一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线和这个

2、平面的距离.3.斜线在平面内的射影(1)从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足与斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影,垂足与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段在这个平面内的射影.(2)斜线上任意一点在平面内的射影一定在斜线的射影上.4.垂线段和斜线段长定理在空间内,从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中:(1)垂线段最短;(2)射影相等的两条斜线段相等,两条斜线段相等,它们的射影也相等;(3)射影较长的斜线段也较长,较长的斜线段的射影也较长.这就是垂线段和斜线段长定理,应当注意:定理中涉及的垂线段和斜线段都是从平面外同一点引出的,缺少这个条件,结论不成立.5.平面与平面垂直(1)定

3、义:一般地,平面和相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.记作.(2)判定定理:一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直.符号表示为.二、线面、面面垂直的性质1.直线与平面垂直的性质定理同垂直于一个平面的两直线平行.2.直线与平面所成的角(设为)(1)斜线与平面所成的角的定义:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.(2)当一条直线垂直于平面时,规定它们所成的角是直角;当一条直线和平面平行或在平面内时,规定它们所成的角为0的角.(3)最小角定理:斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角.3.

4、平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号表示为a.直线l和平面的位置关系l或lll和斜交的取值或范围=0=4.二面角的概念及计算(1)从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.棱为AB,面分别为、的二面角记作二面角-AB-,如果棱为l,那么这个二面角记作-l-.(2)在二面角-l-的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角.二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度

5、.平面角是直角的二面角叫做直二面角.考向突破考向空间垂直关系的判定例1(2019浙江高考模拟试卷(三),5)已知直线l平面,直线m平面,现给出以下四个命题:llm;lm;lm;lml.其中,是正确命题的是()A.B.C.D.解析考虑正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1平面ABCD,BC平面BCC1B1,AA1平面BCC1B1,但AA1BC,所以错;AA1平面ABCD,BC平面BCC1B1,AA1BC,但AA1平面BCC1B1,所以错;对于,因为l,所以l,又m,所以lm,所以正确;对于,因为l,lm,所以m,又m,所以,所以正确.故选D.答案D例2(2019浙江名校协作体联考,19)如图

6、,在三棱锥P-ABC中,PAC和ABC均为等腰三角形,且APC=BAC=90,PB=AB=4.(1)判断ABPC是否成立,并给出证明;(2)求直线PB与平面ABC所成角的正弦值. 解析(1)ABPC不成立.证明如下:假设ABPC,因为ABAC,且PCAC=C,所以AB平面PAC,所以ABPA,这与已知PB=AB=4矛盾,所以ABPC不成立.(2)解法一:取AC的中点O,BC的中点G,连接PO,OG,PG,由已知得PO=OG=PG=2,ACPO,ACOG,且POOG=O,所以AC平面POG,又AC平面ABC,所以平面ABC平面POG,取OG的中点H,连接BH,则PH平面ABC,所以PBH就是直线

7、PB与平面ABC所成的角,因为PH=,PB=4,所以sinPBH=,即直线PB与平面ACB所成角的正弦值为.解法二:以A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(4,0,0),C(0,4,0),设P(x,y,z),由即解得所以P(1,2,),则=(3,-2,-),易知平面ABC的一个法向量是n=(0,0,1),设直线PB与平面ABC所成角的大小为,所以sin =,即直线PB与平面ABC所成角的正弦值为.线面垂直的判定方法方法1方法技巧1.线面垂直的定义.2.线面垂直的判定定理(ab,ac,b,c,bc=Ma).3.平行线垂直平面的传递性(ab,ba).4.面面垂直

8、的性质(,=l,a,ala).5.面面平行的性质(a,a).6.面面垂直的性质(=l,l).7.向量法:证明直线的方向向量为平面的法向量.例1(2019浙江三校联考,19)如图,已知四棱锥A-BCDE中,AB=BC=2,ABC=120,AE=2,CDBE,BE=2CD=4,EBC=60.(1)求证:EC平面ABC;(2)求直线AD与平面ABE所成角的正弦值.解题导引(1)(2) 解析(1)证明:在ABC中,由余弦定理得AC=2,在EBC中,由余弦定理得EC=2.由CE2+CA2=EA2,CE2+CB2=EB2得ECCA,ECCB,又CACB=C,所以EC平面ABC.(7分)(2)如图,建立空间

9、直角坐标系C-xyz,则C(0,0,0),E(0,0,2),A(2,0,0),B(,1,0),所以=(-,1,0),=(-2,0,2),=(-,-1,2),=.所以D,所以=.(11分)设平面ABE的法向量为n=(x,y,z),则从而令x=1,则n=(1,1).(13分)记直线AD与平面ABE所成的角为,则sin =.(15分)方法2面面垂直的判定方法1.面面垂直的定义(作出两平面构成的二面角的平面角,计算其平面角为90).2.面面垂直的判定定理:a,a.3.向量法:证明两个平面的法向量垂直.例2(2019浙江名校新高考研究联盟联考,19)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,ABCD,CD=4,PA=AB=BC=AD=2,Q为棱PC上的一点,且PQ=PC.(1)证明:平面QBD平面ABCD;(2)求直线QD与平面PBC所成角的正弦值.(1)(2) 解题导引解析(1)证明:连接AC与BD交于点O,连接OQ,则由ABOCDO,AB=2,CD=4,得AO=AC,因为PQ=PC,所以QOPA,又PA平面ABCD,所以QO平面ABCD.(4分)又Q