2021课标版理数高考总复习专题3.1导数的概念及运算（讲解练）理科数学教学讲练

1、专题三导数及其应用3.1导数的概念及运算高考理数考点导数的概念及运算考点清单考向基础1.导数的概念及几何意义(1)导数的概念一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是=,称为函数y=f(x)在x=x0处的导数.记作f (x0)或y,即f (x0)=.注意f (x)与f (x0)的区别与联系: f (x)是一个函数, f (x0)是函数f (x)在x0处的函数值(常数),所以f (x0)=0.(2)导数的几何意义函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线的斜率,过点P的切线方程为y-y0=f (x0)(x-x0).(3)导数的物理意义:

2、函数s=s(t)在点t0处的导数s(t0)是物体的运动方程s=s(t)在t0时刻的瞬时速度v,即v=s(t0);v=v(t)在点t0处的导数v(t0)是物体的运动方程v=v(t)在t0时刻的瞬时加速度a,即a=v(t0).原函数导函数f(x)=C(C为常数)f (x)=0f(x)=xn(nQ*)f (x)=nxn-1f(x)=sin xf (x)=cos xf(x)=cos xf (x)=-sin xf(x)=ax(a0,且a1)f (x)=axln af(x)=exf (x)=exf(x)=logax(a0,且a1)f (x)=2.导数的运算(1)基本初等函数的导数公式f(x)=ln xf

3、(x)=(2)导数的运算法则(3)复合函数的导数复合函数y=fg(x)的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx=yuux,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.运算法则加减f(x)g(x)=f (x)g(x)积f(x)g(x)=f (x)g(x)+f(x)g(x)商=(g(x)0)【知识拓展】1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.2.y=f(x)的导数f (x)反映了函数f(x)的瞬时变化率,其正负号反映了变化的方向,其大小|f (x)|反映了变化的快慢,|f (x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.考向突破考向一导数的运

4、算例1求下列各函数的导数.(1)y=ln(3x-2);(2)y=sin ;(3)y=+.解析(1)设y=ln u,u=3x-2.则yx=yuux=(3x-2)=.(2)y=sin=-sincos=-sin x.y=-(sin x)=-cos x.(3)y=+=.y=.考向二导数几何意义的应用例2(2019湖南郴州第三次质量检测,8)已知函数f(x)的导函数为f (x),且满足f(x)=cos x-xf ,若曲线y=f(x)在x=0处的切线为l,则下列直线中与直线l垂直的是()A.2x-y-1=0B.2x+y+1=0C.x-2y-2=0D.x+2y+1=0解析f (x)=-sin x-f ,令x

5、=,则f =-,即f(x)=cos x+x, f(0)=1, f (0)=,所以l的方程为y=x+1,所以直线2x+y+1=0与直线l垂直.选B.答案B解后反思求解析式类似f(x)=f (x0)g(x)+h(x)(x0为常数)的导函数的关键是明确f (x0)是常数,其导数值为0.方法利用导数求曲线的切线方程若已知曲线y=f(x)过点P(x0,y0),求曲线过点P的切线方程,则需分点P(x0,y0)是切点和不是切点两种情况求解.(1)当点P(x0,y0)是切点时,切线方程为y-y0=f (x0)(x-x0).(2)当点P(x0,y0)不是切点时,可分以下几步完成:第一步:设出切点坐标P(x1,

6、f(x1);第二步:写出曲线在点P(x1, f(x1)处的切线方程y-f(x1)=f (x1)(x-x1);第三步:将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程求出x1;第四步:将x1的值代入方程y-f(x1)=f (x1)(x-x1),可得过点P(x0,y0)的切线方程.注意切点(x0,y0)的三重身份的灵活应用,即切点在切线上;切点在曲线上;切线斜率k=f (x0).方法技巧例(2019江西吉安一模,7)过点P(1,1)且与曲线y=x3相切的直线的条数为()A.0B.1C.2D.3解析当点P为切点时,y=3x2,y|x=1=3,则曲线y=x3在点P处的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.当点P不是切点时,设直线与曲线切于点(x0,y0)(x01),则k=+x