课标版高考文科数学总复习专题6.4 数列的综合应用（讲解练）教学讲练

1、专题六数列6.4数列的综合应用高考文数考点一数列求和1.公式法直接用等差、等比数列的求和公式求解.2.倒序相加法在数列an中,与首末两端等“距离”的两项和相等或可构成能求和的新数列,可用倒序相加法求此数列的前n项和.如等差数列的前n项和就是用此方法推导的.考点清单3.错位相减法在数列anbn中,an是等差数列,bn是等比数列,可用错位相减法求此数列的前n项和.如等比数列的前n项和就是用此方法推导的.4.裂项相消法把数列的每一项拆成两项之差,求和时有些部分可以相互抵消,从而达到求和的目的.常见的裂项方法:数列(n为正整数)裂项方法(k为非零常数)=(k0)=-(a0,且a1)loga=loga(

2、n+1)-logan(a0且a1)6.并项求和法一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称为并项求和.形如an=(-1)nf(n)类型,可采用并项求和.5.分组转化求和法若一个数列由若干个等差数列或等比数列组成,则求和时可用分组转化法分别求和再相加减.考点二数列的综合应用数列应用题的常见模型1.等差模型:当后一个量与前一个量的差是一个固定量时,该模型是等差模型,这个固定量就是公差.2.等比模型:当后一个量与前一个量的比是一个固定的数时,该模型是等比模型,这个固定的数就是公比.3.递推模型:当题目中给出的前后两项之间的关系不固定,随项的变化而变化时,应考虑是an与an+1之间的递推关系,还是Sn

3、与Sn+1之间的递推关系.方法数列求和的方法方法技巧常见类型及方法(1)an=kn+b,利用等差数列前n项和公式直接求解;(2)an=a1qn-1,利用等比数列前n项和公式直接求解,但要注意对q分q=1与q1两种情况进行讨论;(3)an=bn+cn,数列bn、cn是可以直接求和的数列,采用分组求和法求an的前n项和;(4)an=bncn,bn是等差数列,cn是等比数列,采用错位相减法求an的前n项和;(5)可化为an=f(n)-f(n-1)形式的数列,可采用裂项相消法求an的前n项和;(6)an-k+ak=cbn,可考虑用倒序相加法求和;(7)an=(-1)nf(n),可将相邻两项合并求解,即

4、采用“并项求和法”.例1(2019全国卷高三五省优创名校联考,17)设数列an的前n项和为Sn,a1=3,且Sn=nan+1-n2-n.(1)求an的通项公式;(2)若数列bn满足bn=,求bn的前n项和Tn.解析(1)当n=1时,a2-a1=2;当n2时,由Sn=nan+1-n2-n得Sn-1=(n-1)an-(n-1)2-(n-1),两式相减得an=nan+1-(n-1)an-2n,整理得an+1-an=2.综上可知,数列an是首项为3、公差为2的等差数列,从而得an=2n+1.(2)由已知及(1)得bn=,所以Tn=-.例2(2018山西太原五中模拟,19)已知数列an的首项a1=1,前n项和为Sn,an+1=3Sn+1.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=log2,求数列的前n项和Tn.解析(1)由an+1=3Sn+1,得an=3Sn-1+1(n2), 两式相减得an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an(n2), 故an+1=4an(n2), 因为a1=1,a2=3S1+1=3a1+1=4,所以=4.所以an是首项为1,公比为4的等比数列,an=4n-1(nN*).(2)由(1)知an=4n-1,