北京版高考数学总复习专题11.3二项分布与正态分布（讲解练）教学讲练

1、11.3二项分布与正态分布数学 北京专用考点一条件概率、相互独立事件及二项分布考点清单考向基础1.条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A和B,在已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率叫做条件概率,用符号P(B|A)来表示,其公式为P(B|A)=.(2)条件概率具有的性质(i)0P(B|A)1;(ii)如果B和C是两个互斥事件,则P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A).(3)若A与B相互独立,则A与,与B,与也都相互独立.(4)若P(AB)=P(A)P(B),则A与B相互独立.3.独立重复试验及二项分布问题(1)独立重复试验概率公式:Pn(k)=pk(1-p)n-k,它是n次独立重复试验

2、中事件A恰好发生k次的概率.说明:公式中n是重复试验次数,p是一次试验中某事件A发生的概率,k是在n次独立试验中事件A恰好发生的次数,只有弄清公式中n,p,k的意义,才能正确运用公式.2.相互独立事件(1)对于事件A、B,若A的发生与B的发生互不影响,则称A、B是相互独立事件.(2)若A与B相互独立,则P(B|A)=P(B),P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B).01knPp0qnp1qn-1pkqn-kpnq0我们称这样的随机变量服从二项分布,记作B(n,p).(2)二项分布:如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(=k)=

3、pkqn-k,其中k=0,1,n,q=1-p,于是得到随机变量的概率分布列如下:考向独立重复试验及二项分布问题的求解考向突破例1(2016四川,12,5分)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是.解析同时抛掷两枚质地均匀的硬币,至少有一枚硬币正面向上的概率为1-=,且XB,均值是2=.答案 考点二正态分布及其应用考向基础1.正态曲线及其特点(1)正态曲线的定义函数,(x)=,x(-,+)(其中实数和(0)为参数)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.(2)正态曲线的特点(i)曲线位于x轴上方且与x轴不相交;(ii)曲线是单峰

4、的,它关于直线x=对称;(iii)曲线在x=处达到峰值;(iv)曲线与x轴之间的面积为1;(v)当一定时,曲线的位置由确定,曲线随着的变化而沿x轴平移;(vi)当一定时,曲线的形状由确定,越小,曲线越“瘦高”;越大,曲线越“矮胖”.2.正态分布(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a,b(ab),随机变量X满足P(aXb)=,(x)dx,则称X的分布为正态分布,记作XN(,2).(2)正态分布的三个常用数据(i)P(-X+)0.682 7;(ii)P(-2X+2)0.954 5;(iii)P(-3X+3)0.997 3.对于正态曲线对应的函数,(x)=,很显然,当=0时,(x)=是偶函数,

5、图象关于y轴对称;当0时,图象的对称轴为直线x=,所以正态曲线是一个轴对称图形,很多关于正态分布的概率问题都是根据正态曲线的对称性求解的.【知识拓展】正态曲线的对称性:考向突破考向正态分布及其应用例2某市一次高三年级数学统测,经抽样分析,成绩X近似服从正态分布N(84,2),且P(78X84)=0.3.该市某校有400人参加此次统测,估计该校数学成绩不低于90分的人数为()A.60B.80C.100D.120解析X近似服从正态分布N(84,2),P(78X84)=0.3,P(X90)=(1-20.3)=0.2,估计该校数学成绩不低于90分的人数为4000.2=80.故选B.答案B方法1独立重复

6、试验及二项分布问题的求解方法1.n次独立重复试验中事件A恰好发生k(k=0,1,2,n)次可看作是个互斥事件的和,其中每一个事件都可看作是k个A事件与n-k个事件同时发生,只是发生的次序不同,其发生的概率都是pk(1-p)n-k(p为事件A发生的概率).因此n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为pk(1-p)n-k.2.判断某随机变量是否服从二项分布的方法:(1)在每一次试验中,事件发生的概率相同.(2)各次试验中的事件是相互独立的.(3)在每一次试验中,试验的结果只有两个,即发生与不发生.方法技巧例1某次考试共有12个选择题,每个选择题的分值为5分,每个选择题四个选项且只有一个选项是正

7、确的,A学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握,最后选择题的得分为X分,B学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的,对其他三个选项都没有把握,选择题的得分为Y分,则D(Y)-D(X)的值为()A.B.C.D. 解析设A学生答对题的个数为m,得分为5m分,则mB,D(m)=12=,X=5m,D(X)=25D(m)=25=.设B学生答对题的个数为n,得分为5n分,则nB,D(n)=12=,Y=5n,D(Y)=25D(n)=25=.D(Y)-D(X)=-=. 故选A.答案A方法2正态分布及其应用方法1.在正态分布N(,2)中,的意义分别是期望和标准差,在正态曲线中确定曲线的位置,而确定曲线的形状.如果给出两条正态曲线,我们可以根据正态曲线的位置和形状判定相应的和的大小关系.2.对正态曲线的性质考查最多的是其对称性,即分布曲线关于直线x=对称,也可以推广到P(+0).例2设XN(1,1),其正态分布密度曲线如图所示,那么向正方形ABCD中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值是()(注:若XN(,2),则P(-X+)=68.26%,P(-2X+2)=95.44%)A.7 539B.6 038C.7 028D.6 587解析XN(1,1),=1,=1.P(-X+)=68.2