北京版高考数学总复习专题10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列与组合（讲解练）教学讲练

1、专题十计数原理10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列与组合数学 北京专用考点计数原理、排列与组合考点清单考向基础1.两个计数原理的联系与区别原理分类加法计数原理分步乘法计数原理联系两个计数原理都是对完成一件事的方法种数而言区别一每类方法都能独立完成这件事,它是独立的、一次的,且每次得到的是最后结果,只需一种方法就可完成这件事每一步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,只有各步骤都完成了,才能完成这件事区别二各类方法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是相互依存的,并且既不能重复也不能遗漏(2)排列数:从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不同

2、元素中取出m个元素的排列数,记作.注意易混淆排列与排列数,排列是一个具体的排法,不是数而是一件事,而排列数是所有排列的个数,是一个正整数.3.组合与组合数(1)组合:从n个不同元素中取出m(mn)个元素组成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.2.排列与排列数(1)排列:从n个不同元素中取出m(mn)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.公式(1)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=;(2)=(n,mN*,且mn).特别地,=1性质(1)0!=1;=n!.(2)=;=+(2)组合数:从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数,

3、叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,记作.注意易混淆排列与组合问题,区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关,排列问题与顺序有关,组合问题与顺序无关.4.排列数、组合数的公式及性质考向突破考向计数原理、排列与组合的综合应用例(2018浙江,16,4分)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成个没有重复数字的四位数.(用数字作答)解析含有数字0的没有重复数字的四位数共有=540个,不含有数字0的没有重复数字的四位数共有=720个,故一共可以组成540+720=1 260个没有重复数字的四位数.答案1 260方法1排列问题的常见解法(1)直接法:把符合条

4、件的排列数直接列式计算.(2)优先法:优先安排特殊元素或特殊位置.(3)捆绑法:把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列,同时注意捆绑元素的内部排列.(4)插空法:对不相邻问题,先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中.(5)先整体后局部:“小集团”排列问题中,先整体后局部.(6)定序问题除法处理:对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列.方法技巧(7)间接法:正难则反,等价转化的方法.例1有4名男生、5名女生,全体排成一行,下列情形中各有多少种不同的排法?(1)甲不在中间也不在两端;(2)甲、乙两人必须排在两端;(3)男女相间.解析(1)解

5、法一(元素分析法):先排甲有6种排法,再排其余人有种排法,故共有6=241 920种排法.解法二(位置分析法):中间和两端有种排法,包括甲在内的其余6人有种排法,故共有=336720=241 920种排法.解法三(等机会法):9个人全排列有种排法,因为甲排在每一个位置的机会都是均等的,则甲不在中间及两端的排法种数是=241 920.解法四(间接法):-3=6=241 920(种).(2)先排甲、乙,再排其余7人.共有=10 080种排法.(3)插空法.先排4名男生,有种排法,再将5名女生插空,有种排法,故共有=2 880种排法.方法2组合问题的常见解法组合问题的常见类型及处理方法:(1)“含有

6、”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由另外的元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中选取.(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型:解这类题必须重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理.例2(2018北京延庆一模,11)无偿献血是践行社会主义核心价值观的具体行动.在报名的2名男教师和6名女教师中选取5人参加无偿献血,要求男、女教师都有,则不同的选取方法的种数为.(结果用数值表示)解题导引 解析解法一(间接法):不同的选取方法有-=50种.解法二:分两

7、种情况,一种情况是1名男教师,4名女教师,有=30种选取方法;另一种情况是2名男教师,3名女教师,有=20种选取方法.所以共有50种不同的选取方法.答案50方法3分组与分配问题的解题技巧分组、分配问题是排列组合的综合问题,解题思想是先分组后分配.(1)分组问题属于“组合”问题,常见的分组方法有三种:(i)完全均匀分组,每组元素的个数都相等;(ii)部分均匀分组,应注意不要重复;(iii)完全非均匀分组,这种分组方法不考虑重复现象.(2)分配问题属于“排列”问题,常见的分配方法有三种:(i)相同元素的分配问题常用“挡板法”;(ii)不同元素的分配问题利用分步乘法计数原理,先分组,后分配;(iii)有限制条件的分配问题采用分类法求解.例3(2020届北京八中10月月考,10)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观