常微分方程(第四版)A1课件(白底)4-3w

1、4.3 高阶方程的降阶和幂级数解法 可降阶方程类型 二阶线性微分方程的幂级数解第二宇宙速度计算 4.3 高阶方程的降阶和幂级数解法 可降阶方程类型 可降阶方程类型 (1) 不显含 x,x,x(k-1) (1)不显含 x,x,x(k-1) F(t, x(k), x(n) = 0 可降 k-1阶: 令 y=x(k) 方程变为F(t, y, y, y(n-k) = 0 有解 即再积分k次得原方程的通解 可降阶方程类型 (1) 不显含 x,x,x(k-1)例1 求方程 的解 解 令 方程化为 这是一阶方程，有解 即 于是 其中ci(i=1,5)为任意常数。此即为原方程的通解。例1 求方程 的解 解 令

2、可降阶方程类型 (2) 不显含t不显含t: F(x,x,x(n)=0可降一阶：令y=x，视y为新未知函数，x为新自变量，则有 用数学归纳法，可证明：x(k)可用表出。将其代入原方程，得x,y的n-1阶方程比原方程降低了一阶。 可降阶方程类型 (2) 不显含t不显含t: F(x,x, 例2 求解方程 解 令y=x ， 因有原方程化为 得积分得 即再积分之：此即为原方程的通解。其中c1,c2为任意常数。 例2 求解方程 解 令y=x ，(3) 齐次线性方程 已知k个特解齐次线性方程已知k个线性无关的非零特解， 可降k阶：设存在k个线性无关的非零特解 x1,x2,xk。先令 x=xky 逐步求 x

3、的 n 阶导数后代入原方程化为y的 n 阶方程因 xk 满足齐次线性方程，可令z=y，并用 xk 除(3) 齐次线性方程 已知k个特解(续)齐次线性方程 已知k个特解因有关系 z方程的k-1个解 仍线性无关。假设它们之间存在关系式即积分之 因 x1,x2,xk 线性无关，必有1= 2=k =0。这证明了k-1个解线性无关。仿上做法，可进一步令而得的k-2阶齐次线性方程 且有k-2个线性无关解从而使原方程降低了二阶。如此类推。因此，已知个线性无关的非零特解时可降k阶。 (续)齐次线性方程 已知k个特解因有关系二阶齐次线性方程已知非零特解时方程可解 设特解x1满足方程 经变换 后方程变为一阶线性微

4、分方程可解得因此方程的解为如取c1=0,c2=1，可得方程(69)的一个特解因它与x1之比不为常数，故它与x1线性无关于是解 是方程的通解。二阶齐次线性方程已知非零特解时方程可解 设特解x1满足方程例3 已知 是方程 的解，求方程的通解。解 这里 由 得其中c1,c为任意常数。方程的通解为例3 已知 是方程 二阶线性微分方程的幂级数解 例4 用幂级数求方程 的通解。解 设是方程的解。于是将的表达式代入方程，比较的同次幂系数，可得一般地可推得因而上式中两个幂级数的收敛半径为无限大，因此级数的和亦收敛，且是方程的通解。二阶线性微分方程的幂级数解 例4 用幂级数求方程 例5 用幂级数试求方程 的满足

5、初值条件y(0)=0,y(0)=1的解。解 设方程的解首先，利用初值条件y(0)=0,y(0)=1可得于是将y,y,y的表达式代入方程，比较的x同次幂系数，得到因而即对一切正整数成立于是方程的解为例5 用幂级数试求方程 考虑带初始条件的二阶齐线性方程这里x0=0，否则可引进新变量t=x-x0化为t0=0。定理9 若方程中系数p(x),q(x)能展成收敛区间为|x|R 的幂级数，则二阶齐线性方程有收敛区间为|x|R的幂级数解例4、例5满足定理条件，系数0,-x和-2x,-4可看成在全数轴上收敛的幂级数。故方程的幂级数解在全数轴上收敛。考虑带初始条件的二阶齐线性方程这里x0=0，否则可引进新变适合

6、贝赛尔方程的定理n阶贝赛尔方程(n不为非负常数) 系数 不满足定理10条件。 定理10 若方程中系数有性质：xp(x),x2q(x)能展成收敛区间为的幂级数，则二阶齐线性方程有收敛区间为的幂级数形式特解这里为待定常数。式中可能出现此时如令 ，则幂级数形式特解变为这里 而 仍为待定常数。适合贝赛尔方程的定理n阶贝赛尔方程(n不为非负常数) 例7 求解贝赛尔方程解 将方程改写为它满足定理11条件,且方程有收敛区间为|x|的幂级数解将其代入有归类的同幂次系数，得各x的同幂次系数分别满足方程例7 求解贝赛尔方程解 将方程改写为 （续）例7 求解贝赛尔方程因a00,上式第一个方程有解=n和=-n。当=n

7、时可进一步解得它可分奇、偶项分别有最后归结为即方程的一个特解为 （续）例7 求解贝赛尔方程因a00,上式第一个方程（续）例7 求解贝赛尔方程 当=-n同样，当=-n时方程有形如的特解。只要n非负整数，可像=n时的求解过程一样可求得即（续）例7 求解贝赛尔方程 当=-n同样，当=-n时方(s)函数如果我们定义函数 (s):(s)函数有性质(s+1) = s(s); (n)=n! (n正整数)于是如令则由函数的性质特解变为(s)函数如果我们定义函数 (s):n和-n 阶贝塞耳函数若令则有此和是由贝塞耳方程所定义的特殊函数， 称为n和-n 阶贝塞耳函数。n和-n 阶贝塞耳函数若令n阶贝塞耳方程解定理

8、 n阶贝塞耳方程 (n不为非负常数)有特解而n阶贝塞耳方程的通解为 c1,c2为任意常数。事实上，还可用达朗贝尔判别法验证y1,y2的幂级数对x的收敛性。故当n不为非负常数时， y1,y2为方程的特解。且因y1,y2分别展开为不同幂次的幂级数，故y1,y2之比不为常数，即线性无关，从而可由y1,y2表示方程的通解。n阶贝塞耳方程解定理 n阶贝塞耳方程 第二宇宙速度计算 发射人造地球卫星的最小速度称为第二宇宙速度。先建立物体垂直上抛运动的微分方程。以M和m分别表示地球和物体的质量，由牛顿万有引力定律，作用于物体的引力，当不计空气阻力时有 这里r为地球中心和物体重心之间的距离，k为万有引力常数。第二宇宙速度计算 发射人造地球卫星的最小速度称为第二宇宙速度运动微分方程因此，物体垂直上抛运动的微分方程为 这里t=0,R=63105m为地球半径，V0为发射速度，M为地球质量。上式中不含自变量t，可用降阶方法求解，令 方程降为一阶方程可分离变量再积分得利用初值条件可决定积分常数：于是有运动微分方程因此，物体垂直上抛运动的微分方程为 第二宇宙速度因物体运动速度必须为正，而上式中当r不断增大时，量V2可变为任意