二重积分概念与计算

1、关于二重积分的概念及计算1第1页，共56页，2022年，5月20日，18点7分，星期四Page 2解法: 类似定积分解决问题的思想:一、引例1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体:底： xoy 面上的闭区域 D顶: 连续曲面侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面求其体积.“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限” 第2页，共56页，2022年，5月20日，18点7分，星期四Page 31)“大化小”用任意曲线网分D为 n 个区域以它们为底把曲顶柱体分为 n 个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体第3页，共56页，2022年，5月20日，18点7分，星期四Page

2、 44)“取极限”令第4页，共56页，2022年，5月20日，18点7分，星期四Page 52. 平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D ,计算该薄片的质量 M .度为设D 的面积为 ,则若非常数 ,仍可用其面密 “大化小, 常代变,近似和, 求 极限” 解决.1)“大化小”用任意曲线网分D 为 n 个小区域相应把薄片也分为小区域 .第5页，共56页，2022年，5月20日，18点7分，星期四Page 62)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第 k 小块的质量第6页，共56页，2022年，5月20日，18点7分，星期四Page 7两个问题的共性：(1)

3、 解决问题的步骤相同(2) 所求量的结构式相同“大化小, 常代变, 近似和,取极限”曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 第7页，共56页，2022年，5月20日，18点7分，星期四Page 8二、二重积分的定义及可积性定义:将区域 D 任意分成 n 个小区域任取一点若存在一个常数 I , 使可积 , 在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域 D上的有界函数 , 第8页，共56页，2022年，5月20日，18点7分，星期四Page 9引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果 在D上可积,也常二重积分记作这时分区域D , 因此面积元素可用平行坐标轴的直线

4、来划 记作第9页，共56页，2022年，5月20日，18点7分，星期四Page 10二重积分存在定理:若函数定理2.(证明略)定理1.在D上可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续 ,积.在有界闭区域 D上连续,则若有界函数在有界闭区域 D 上除去有 例如, 在D :上二重积分存在 ;在D 上 二重积分不存在 . 第10页，共56页，2022年，5月20日，18点7分，星期四Page 11三、二重积分的性质( k 为常数) 为D 的面积, 则 第11页，共56页，2022年，5月20日，18点7分，星期四Page 12特别, 由于则5. 若在D上6. 设D 的面积为 ,则有第12页，共56页，20

5、22年，5月20日，18点7分，星期四Page 137.(二重积分的中值定理)证: 由性质6 可知,由连续函数介值定理, 至少有一点在闭区域D上 为D 的面积 ,则至少存在一点使使连续,因此第13页，共56页，2022年，5月20日，18点7分，星期四Page 14例1. 比较下列积分的大小:其中解: 积分域 D 的边界为圆周它与 x 轴交于点 (1,0) ,而域 D 位从而于直线的上方, 故在 D 上 第14页，共56页，2022年，5月20日，18点7分，星期四Page 15例2. 判断积分的正负号.解: 分积分域为则原式 =猜想结果为负但不好估计 .舍去此项第15页，共56页，2022年

6、，5月20日，18点7分，星期四Page 16例3. 判断的正负.解：当时，故又当时，于是第16页，共56页，2022年，5月20日，18点7分，星期四Page 17例4. 估计下列积分之值解: D 的面积为由于积分性质5即: 1.96 I 2D第17页，共56页，2022年，5月20日，18点7分，星期四Page 18例5. 估计 的值, 其中 D 为解: 被积函数D 的面积的最大值的最小值第18页，共56页，2022年，5月20日，18点7分，星期四Page 198. 设函数D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍在 D 上在闭区域

7、上连续,域D 关于x 轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分, 则有第19页，共56页，2022年，5月20日，18点7分，星期四Page 20四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的第20页，共56页，2022年，5月20日，18点7分，星期四Page 21同样, 曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算第21页，共56页，2022年，5月20日，18点7分，星期四Page 22例6. 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.解: 设两个直圆柱方程为利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为第22页，共56页，2022年，5月20日，

8、18点7分，星期四Page 23内容小结1. 二重积分的定义2. 二重积分的性质(与定积分性质相似)3. 曲顶柱体体积的计算二次积分法第23页，共56页，2022年，5月20日，18点7分，星期四Page 24被积函数相同, 且非负, 思考与练习解: 由它们的积分域范围可知1. 比较下列积分值的大小关系:第24页，共56页，2022年，5月20日，18点7分，星期四Page 252. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则的大小顺序为 ( )提示: 因 0 y 1, 故故在D上有第25页，共56页，2022年，5月20日，18点7分，星期四Page 263. 计算解:第26页

9、，共56页，2022年，5月20日，18点7分，星期四Page 274. 证明:其中D 为解: 利用题中 x , y 位置的对称性, 有又 D 的面积为 1 , 故结论成立 .第27页，共56页，2022年，5月20日，18点7分，星期四Page 28五、利用直角坐标计算二重积分且在D上连续时, 由曲顶柱体体积的计算可知, 若D为 X 型区域 则若D为Y 型区域则第28页，共56页，2022年，5月20日，18点7分，星期四Page 29当被积函数均非负在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .由于第29页，共56页，2022年，5月20日，18点7分，星期四Page 30说明: (1

10、) 若积分区域既是X型区域又是Y 型区域 , 为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.则有(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域 , 则 第30页，共56页，2022年，5月20日，18点7分，星期四Page 31例7. 计算其中D 是直线 y1, x2, 及yx 所围的闭区域. 解法1. 将D看作X型区域, 则解法2. 将D看作Y型区域, 则第31页，共56页，2022年，5月20日，18点7分，星期四Page 32例8. 计算其中D 是抛物线所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,及直线则 第32页，共56页，2022年，5月20日，1

11、8点7分，星期四Page 33例9. 计算其中D 是直线 所围成的闭区域.解: 由被积函数可知,因此取D 为X 型域 :先对 x 积分不行, 说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.第33页，共56页，2022年，5月20日，18点7分，星期四Page 34例10. 交换下列积分顺序解: 积分域由两部分组成:视为Y型区域 , 则第34页，共56页，2022年，5月20日，18点7分，星期四Page 35例11. 计算其中D 由所围成.解: 令(如图所示)显然,第35页，共56页，2022年，5月20日，18点7分，星期四Page 36解：原式例12. 给定改变积分的次序.第36页

12、，共56页，2022年，5月20日，18点7分，星期四Page 37对应有六、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下, 用同心圆 r =常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积在内取点及射线 =常数, 分划区域D 为第37页，共56页，2022年，5月20日，18点7分，星期四Page 38即第38页，共56页，2022年，5月20日，18点7分，星期四Page 39设则特别, 对第39页，共56页，2022年，5月20日，18点7分，星期四Page 40若 f 1 则可求得D 的面积思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试答: 问 的变化范围是什么?(1)(2)第40页，

13、共56页，2022年，5月20日，18点7分，星期四Page 41例13. 计算其中解: 在极坐标系下原式的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角由于故坐标计算.第41页，共56页，2022年，5月20日，18点7分，星期四Page 42注:利用例13可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式事实上, 当D 为 R2 时,利用例7的结果, 得故式成立 .第42页，共56页，2022年，5月20日，18点7分，星期四Page 43例14. 求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解: 设由对称性可知第43页，共56页，2022年，5月20日，18点7分，星期四Page

14、 44例15. 计算其中D 为由圆所围成的及直线解：平面闭区域.第44页，共56页，2022年，5月20日，18点7分，星期四Page 45定积分换元法七、二重积分换元法 满足一阶偏导数连续;雅可比行列式(3) 变换则定理:变换:是一一对应的 ,第45页，共56页，2022年，5月20日，18点7分，星期四Page 46证: 根据定理条件(2)(3)可知变换 T 可逆. 用平行于坐标轴的 直线分割区域 任取其中一个小矩形, 其顶点为通过变换T, 在 xoy 面上得到一个四边形, 其对应顶点为则第46页，共56页，2022年，5月20日，18点7分，星期四Page 47同理得当h, k 充分小时

15、,曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四 边形, 故其面积近似为第47页，共56页，2022年，5月20日，18点7分，星期四Page 48因此面积元素的关系为从而得二重积分的换元公式: 例如, 直角坐标转化为极坐标时, 第48页，共56页，2022年，5月20日，18点7分，星期四Page 49例16. 计算其中D 是 x 轴 y 轴和直线所围成的闭域. 解: 令则第49页，共56页，2022年，5月20日，18点7分，星期四Page 50例17. 计算由所围成的闭区域 D 的面积 S .解: 令则第50页，共56页，2022年，5月20日，18点7分，星期四Page 51例18. 试计算椭球体解: 由对称性令则D 的原象为的体积V.第51页，共56页，2022年，5月20日，18点7分，星期四Page 52内容小结(1) 二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形 : 若积分区域为则 若积分区域为则第52页，共56页，2022年，5月20日，18点7分，星期四Page 53则(2) 一般换元公式且则极坐标系情形: 若积分区域为在变换下第53页，共56页，2022年，5月20日，18点7分，星期四Page 54(3) 计