新高考版数学高中总复习专题8.4直线、平面垂直的判定与性质(讲解练)教学讲练

1、8.4 直线、平面垂直的判定与性质高考数学考点一直线与平面垂直的判定与性质1.直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义如果直线l和平面内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面垂直,记作l.(2)直线与平面垂直的判定和性质考点清单类别文字语言图形语言符号语言判定如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直(即线线垂直线面垂直)l如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面 b性质如果一条直线和一个平面垂直,则这条直线垂直于平面内任意一条直线(即线面垂直线线垂直)ab垂直于同一个平面的两条直线平行ab2.直线与平面所成的角(1)定义:平面的一条斜线和

2、它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是直角;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是0的角.(2)线面角的取值范围:090.常用结论(1)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.(2)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.直线l和平面的位置关系l或lll和斜交(直线l与平面所成的角)的取值范围=0=90090考点二平面与平面垂直的判定与性质1.二面角的平面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.如果记棱为l,那么两个面分别为、的二面角记作-l-.在二面角的棱上任

3、取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线,则两射线所构成的角叫做二面角的平面角.类别文字语言图形语言符号语言判定两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直AOB是二面角-l-的平面角,且AOB=90,则如果一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面互相垂直(即线面垂直面面垂直)2.面面垂直的判定和性质性质如果两个平面垂直,则其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面l如果两个相交平面同时垂直于第三个平面,那么它们的交线垂直于第三个平面l知识拓展垂直问题的转化方向图在垂直关系中,线面垂直是核心,已知线面垂直,既可为证明线线垂直提供依据,又可为利用判定定

4、理证明面面垂直做好铺垫.应用面面垂直的性质定理时,一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题,进而可转化为线线垂直问题.考法一证明直线与平面垂直的方法知能拓展例1如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证:(1)CDAE;(2)PD平面ABE. 解题导引(1)结合已知条件分析可知,欲证CDAE,只需证CD平面PAC.(2)欲证PD平面ABE,只需证PD垂直于平面ABE内的两条交线即可,结合条件分别证明PDAE,PDAB.证明(1)因为PA平面ABCD,CD平面AB

5、CD,所以PACD.因为ACCD,PAAC=A,所以CD平面PAC.又AE平面PAC,所以CDAE.(2)由AB=BC,ABC=60,可得ABC是等边三角形,所以AB=AC,所以AC=PA.因为E是PC的中点,所以AEPC.由(1)知,AECD,又PCCD=C,所以AE平面PCD.又PD平面PCD,所以AEPD.因为PA平面ABCD,AB平面ABCD,所以PAAB.又ABAD,PAAD=A,所以AB平面PAD,又PD平面PAD,所以ABPD.又AEAB=A,所以PD平面ABE.方法总结证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法:判定定理;垂直于平面的传递性(ab,ab);面

6、面平行的性质(a,a);面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直,而证明线线垂直需借助线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.考法二平面与平面垂直的判定与性质问题例2如图,在四棱锥P-ABCD中,O为AB的中点,平面POC平面ABCD,ADBC,ABBC,PA=PB=BC=AB=2,AD=3.(1)求证:平面PAB平面ABCD;(2)求二面角O-PD-C的余弦值. 解题导引(1)要证平面PAB平面ABCD,需在其中一个平面内找一条直线,证其与另一个平面垂直,结合已知,考虑证PO平面ABCD(PO平面PAB),而POAB易证,关键证POCD;再由已

7、知平面POC平面ABCD,考虑两平面垂直的性质.若用性质,需找出其交线OC,再找出与OC垂直的直线CD,此时CD平面POC,证得CDOP,OP平面ABCD即证.(2)寻找特殊点作出二面角O-PD-C的平面角,作出与PD垂直的平面是关键,取OD的中点F,过F作FGPD于G,连接CG,CF,易证PD平面CFG,则CGF即为二面角O-PD-C的平面角,求解直角三角形即得余弦值;当然本问也可用向量法求解.解析(1)证明:PA=PB,O为AB的中点,AB=2,POAB,AO=BO=1.过点C作CEAB交AD于E,ADBC,ABBC,四边形ABCE是矩形,AE=BC=2,CE=AB=2,又AD=3,DE=

8、1,CD=,ADBC,ABBC,ADAB,在RtBOC中,由勾股定理得OC=.在RtAOD中,由勾股定理得OD=,显然OD2=OC2+CD2=10,CDOC,平面POC平面ABCD,平面POC平面ABCD=OC,CD平面POC,又PO平面POC,CDPO,易知AB与CD相交,PO平面ABCD,PO平面PAB,平面PAB平面ABCD.(2)解法一:取OD的中点F,过F作FGPD于G,连接CG,CF.OC=CD=,CFOD.PO平面ABCD,CFPO,又ODPO=O,CF平面POD,CFPD,又FGPD,CFFG=F,PD平面CFG,PDCG,CGF为二面角O-PD-C的平面角.OP=,OD=,POD=90,PD=,又DF=OD=,FG=DFsinPDO=,又CF=,CG=,cosCGF=.故二面角O-PD-C的余弦值为.解法二:如图,建立空间直角坐标系O-xyz,则P(0,0,),D(-1,3,0),C(1,2,0),=(0,0,),=(-1,3,0),=(-1,-2,),=(-2,1,0).设平面OPD的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面PCD的法向量为n2=(x2,y2,z2).由可得取y1=1,得x1=3,即n1=(3,1,0).由可得取x2=,得y2=2,z2=5,即n2=(,2,5),cos=,故二面角O-PD-C的余弦值为.方法