微积分第2版-朱文莉第5章 不定积分习题详解

1、第五章 不定积分习题 5.1 (A)1、验证在() 内，n2x，1cos2x，s2x2解 因为 (sin 2 x) ( 1 cos2 x) ( cos2 x) sin 2x , 所以sin2 x ， 1 cos2x ， cos2 x 都22是sin 2x 的原函数。2、已知一条曲线上任意点处切线斜率与该点的横坐标成正比，又知曲线过点()，并在该点处的切线的倾角为，求该曲线方程。4解 设曲线方程为 y f (x) ，切点的横坐标为 x，比例常数为k ，从而 f (x) kx。f(22k tan4 1 ，故k 1 ，从而2f (x) 1 x2 C4又因为曲线过点(2,4)，即 f (2) 1 C

2、4 ，得C 3 ，所以曲线的方程为f (x) 1 x2 3。43、设f(x)的导函数是x，求f(x)的原函数的全体。解为f(x)x，所以f (x) f (x)dx sin xdx cos x C从而 f (x) 的原函数的全体为 f (x)dx (cos x C)dx x C1 。4 f (x 1)dx xex1 C ，求函数 f (x) 。解 由不定积分的性质有 f (x 1)dx f (x 1) xex1 ex1 (1 x)ex1所以，令t x1，有f(t) ett ，即f(x) exx。5 e3解 设曲线方程为 y f (x) ，由题设有 f (x) 1 ，即xx f (x)dx 1 d

3、x ln x Cx e3在曲线上，则有ne2 C 3，C 1yx1。(B)1、设 f (cos 2 x) sin 2 x ，且 f (0) 0 ，求 f ( x) 。解令u cos2 x，则由题设有f(u)1u ，于是f(u) u 1u2 C ，即2f ( x) x 1 x2 C ，令 f (0) 0 C ，所以 f ( x) x 1 x 2 .22x 02、符号函数f(x)sgn x 0,x 0 在(,)内是否存在原函数？为什么？1, x 0 xc,x 0解不存在假设有原函数F(x)(x) c,x 0中c 0但F(x)在x 0 x c, x 0处不可微，假设错误，故 f ( x) 在( ,

4、) 内不存在原函数.15.211xx) x x；) 3x2 6x2 9x 2x；xx(3) ( 1)dx；(4) (xx3dx ；(5)(2ex 3)dx；(6)(3)dx ；x 1 x221 x2621 x23) ex13xx；) xx；3) s2 xx；) 1x；21cos2x32 55解(1) x xdxx2dx x2 C.5111131) 3x2 6x2 9x 2x3x2x6x2x9x 2x x3 4x2 8x2 C.x11112 3x(3) (1)dx x 2 x 2 1)dx 2x 2 x2 C.x3x(x2)214442(4) x3dx ( x x2 x3 x x x2 C.x)

5、 (2ex 3xexx3xex 3ln x C.x(6)(33 dx 2dx3arctanx2arcsinxC .21 x2 21 x21x21 1 x2ex13xxexxe)xxex 1 (3e)x C ex 1(3xex)C.6x 2x2ln3e1ln32x12(8) dx2xdx( )xdx( )x C.xx3322 ln3 3(9)cos2 xdx 1x 1x 1sinx2222(10)11sec2 xdx 1 tan x C .1cos2x2cos2 x222、设某企业的边际收益是 R(Q) 100 0.01Q (其中Q 为产品的销售量). 试求收益函数R( Q ) 和平均收益函数。

6、解 由已知边际收益是 R (Q) 100 0.01Q ，则有R(Q) 0.005Q2 C将Q 0, R 0 代入上式，得C 0 ，故收益函数为R(Q) 100Q 0.005Q2平均收益函数为R(Q) 100 0.005Q 。3f(Q2Q3，其中Q是解 设所求生产成本函数为C(Q) ，则有C(Q) 2Q 3从而C(Q) (2Q 3)dQ Q 2 3Q C1又因为固定成本为 2，即Q 0, C1 2 , 则有C(0) C1 2 ，所以1、求下列不定积分。C(Q) Q 2 3Q 2 。(B)(1)cos2xdx；2cos 21cot x(csc x sin x)dx ；cos2 x 1(3) (1

7、x2 ) x xdx；(4) cos2xdx ； 1) 5x2x2xx；) (cos2xcos2 x sin2 x1 x 。1 x 11 x 1 x解：(1) 22 dx xc2 xc2 x)xtxnx)C .2xsin xx sin 2cotxx)dx(cotxxxx)dxxxC .1354 71x(3) (1 2 ) x xdx (x 4 x 4 )dxx 4 4x 4 Cxcos2 x1cos2 x1111(4)dx 2dx(1sec2 x)dxxx C .cos2x12cos x222(5)5x2x2xx)xx1x11x1x1405x C.ln 4051 x1 x21 x2 1 x1

8、x2(6) (1x12dx2arcsinxC5P 2P22设某商品的需求量Q对价格P的弹性为 又知该商品价格为10时的需求Q量为 500，求需求函数Q f (P) 。解 由已知需求量Q 对价格 P 的弹性为Q5PQ ，则有 Q 52P,Q于是Q (5 2P)dP 5P P 2 C P 时，代入上式得C 故需求函数为Q 650 5P P 2 。3、求不定积分 x 1 x 1 dx2,fx) 2x,2,x x1 x 12 x C1 ,2Fx) fx)dx x2 C ,22xC x 1x 1x 13根据原函数的可导性，可知原函数必连续，由F (1 0) 2 C1 ，F (1 0) F (1) 1 C

9、 2F0) F 1C2 ，F 0) 2C3 ，2x1C,x 1可得C1 C31C，即 f ( x)dx x 2 C ,2x1Cx 1x 1习题 5.31、填空。(1) (1)d(ax),(a0)；(2) (1)d(7x；a7xdx=1 )d x2 ；(4) xdx=(1)d2x2)；24(5) x3dx(1)d(3x4 2)；(6)12x2dx(2)dx2 ) ；111x1x1(7)() d (2lnx)；(8) e 3 dx ( -3 )d ( e 3 )；x23(9) sin3(-2)d3x)；(10) 1 dx ( 1 ) d (5ln x )；232x51 1 x2(1)darcsin

10、x)；(12) d ( 1 x2 ) 。1 1 x21(1) 5 13xdx；(2) (5x 7)52 ；1(3)tan(2xcos(2xdx；x2 dx ；x3(5) 9x2dx；1(k ； kx kx(7)2x 5x2 5xdx；(8) 1dx；xxx)3ex 3ex 2dx；(10) 1dx ；111(11) 11sin12cos12cosx102arccosx x2 x x2 11 x2dx ；(13)xdx；(14) dx(15)1 1； xx xlnx3x2 3x2 21(17) (19) dx；(18)1 sin x dx；x1 x1 4 x3tan3xxdx；(20)x dx1

11、 x(21)1 ln x(x ln x)2dx；t3 x；(23)1dx；1s4xdx。115解(1)5 13xdx3x)5d3x) 3x)5 C.3(2) (5x 7)52 1 (5x 7)52 d (5x 7) 1 (5x 7)53 C .5(3)tan(2xdx tan(2 x 1)d tan(2 x 1) 1 tan 2 (2x 1) C .cos2(2x24(4)11 1 x C. x29 x23233x31 x2 9919x29(5) 2dxd (9 x )(1(9 x)x 9) C .22222229x29x29x221ekx1dekx11(6) ekx 1kx dx e2kxd

12、x ekx C.1k 2x2x2x2x 2x2x2x(7) 5 2 .1 ( x)2d xxx 5x1 ( x)2d xxxxx)1dx 2 2arctanC .ex3ex 3ex 21 d (3ex 2)23ex 2dxex3ex 2dxex33(10) 设x sect (0 t ) ，则x x2 1x1dx sec t tan tdt t C arccos 1 x x2 1x1sec t tan tsinx1 d 2cosx)1112cosxdx2cosx)2 C.112cosx(12)102arccos11 x2dx 1 102arccosxd(2arccosx)1102arccos x

13、 C.122ln101(13)x111d ln x ln ln x C .(14) dx 1 1( 3x)2 ( 2)2d ( 3x) 13x3x2 3x2 23x2 3x2 2331、求下列不定积分(1)1 1；(2)1dx ；x2xxlnxx)(3) (5) dx；(4)1 sin x dx；x1 x1 4 x3tan3xxdx；(6)x dx1 x(7)1 ln x (xlndx；t3 x；(9)1dx；1s4xdx。1 cos 1 dx cos 1 d 1 sin 1 C .1x2xxxx1(2)xxdx dx)x d x) x C .ln ln x4 x设t 4 xx1 4 x3t2

14、x1 4 x3dx 1 3 dt 4 41 3 dt 4(t2 dt 1 dt)(t3t3)C33 4 x3xx3 4 x3 ) C(4)1 sin x dx dx 2 sin xd xxx22cosxxC .x13x3n3 xcxdxn2 dcxc2)dcx c xcxC .3x x 12 xC. 1x22令x 1，则有t11( 1 )dt dtt) 1x C.( ln t)(xx( ln t)t2ttt)21ttx x2cot 3 dx cot x(csc2 x 1)dx cot xd cot x cot xdx 1 cot 2 x ln sin x C .21exdxd(ex (9)x

15、dx xx ln e x 1 C .1ee1e1(10)cos2x)211111 cos4 xs4 xdxdx 42cos2xcos22x)dxxsin2x4442 3 x 1 sin 2x 1 sin 4x C28432 f (x)dx F(x) C ，求(1) f (ax b)dx；(2) e2x f(e2x)dx；(3)cos33x)dx；(4) f (ln x)x f (ln x f (ln x) f (ax b)dx 1 f (ax b)d (ax b) 1 F(ax b) C .aa(2)e2x f(e2x)dx1f(e2x)d(e2x)1F(e2x)C22cos3xf(sin3x

16、)dx1f(sin3x)d(sin3x)1F(sin3x)Cf (ln f (ln x)(4) f dx df(lnx f (ln x) 2 f (ln x) x f (ln x)(A)1、 求下列不定积分。(1) xx1)dx ；(2) ln(1 x2 )dx；ln ln xxdx ；(4) arcsin ；x) x2 n x；) ex nexx；(7)e3 xe(ax2 bx c)dx ；ex(xnx ；) ex n2x；解(1)xx1)dx x1)dx2 x2 x222 x1111x2x1x2 x1)(x1)dxx2 x1)x1)C22x124221x2x(x2 1)ln( x1) C.

17、2422xx2 11(2) ln(1x2)dxxx2)x12dxxx2)2dx1 x2(3) x ln(1 x2 ) 2( x arctan x) Cxlnlnx lnlnxxlnlnxlnxxdx11xlnlnxxC .x11 x2arcsinxarcsinx1 x2 x arcsin x (1 x2 ) 2 C .111x2 (x3)x3 x333 1 x221112x21d x2)x3 x361 )d(x2)x3 x3661 x21x3 arctanxx12 x2)C366ex nexxnexex ex nex ex1dx ex arctan ex arctan ex C2令t23 x3

18、 xe3 xxet t2t (t2et ett)(t2et et et )C33 x2 63 x)e3 x Cex(x2 xcx(x2 xcex x2ex ex ex ex ax2 (b 2a)x (b 2a c) Cex(xn xxnex ex nx ex nxex1nx)xex n e x (x ln x 1) Cex sin2x ex sin2x2cos2xexxex sin2x(ex cos2x2ex sin2x)移项解方程可得，exex sin 2xdx 5(sin 2x 2cos2 x) C .2、 已知 f (x) 的一个原函数是e x2 ，求 xf (x)dx 。解 因为 f

19、(x) (ex2 ) 2xe x2 ，则有f(x)xf (x) f(x)f(x)x2x2ex2 ex2 C(B)1、求下列不定积分xx；(2) (x 1)2 ；x2(3) x2 cos2dx；(4) sin(ln x)dx。2解：(1)xsinx1 xsin2xdx1 (cos2x)1xcos2x2444 1 x cos2x 1 d (sin 2x) 1 x cos2x 1 sin 2x C4848 x2x2 x2x2dxxx(2)( 1) sin2(1) (cos2 )cos2 cos2x2 x2 11x2 111sin2x)cos2xxsin2xcos2x22x2 11cos2xx2x1c

20、os22 x C22224x2cos2 x1x2(xsinx) x(xsinx)dx1x2(xsinx)1x3 x2223sin 2xdx1x3 1x2 sinxxcosx cosxdx1x3 1x2 sinxxcosxsinxC6262xsin(ln x)dx x x)xcosln x1x移项得 x sin(ln x) x cos(ln x) sin(ln x)dxsin(ln x)dx xsin(ln x) cos(lnx) C2习题(A)1、 求下列不定积分。x3dx(1) x 3 ；(2)x 12x 1 dx ；(xx3 1(3) x2 2x5dx；(4) x2 1 dx；(1) dx

21、x2xx3dx(xx2 (1) dxx2x解 ( 3 9)x3x3x 3 1 x3 3 x 2 9x 27 ln x 3 C .32(2)2x1 dx1 dx 31dx 2ln x 1 3 1C .(x1)2x1x)2x1(3)x1dx12x2dx x2 2x52x2 2x5 (x1)2 4 1 ln x 2 2x 5 arctan x 1 C .22 2xx 2xxxx2x(4) ( )1.x 1x12(B)1、求下列不定积分dx(1)2sinx；(2) 1sinxx；11x1x(3) x21dx(4) 设tan x t，则323dxx 。12dt arctan 2t 1 C32sinx1

22、t2t2 t11 2332(t ) 1t224x22 tan( ) 12233arctan C.33设tan x t，则2dx12dt dt ln 1 t C ln 1 tan x C1sinxx1t2 1t21t21 1 t 2 1 t 2 2xx 2xxxx2x(3) ( )1.x 1x12(4) 设x sin t( 2 t ) ，则21 x1 xdxcos2 1 x1 x sint)sint dt sindt (csc t 1)dt ln csc t cot t t C1 x2 1 x2xx arcsin x C总复习五(A)142(2x142(2x21C；lnxx1ln2 xx1ln2

23、 xC；21313x2)3(5) 2；(4) xexC ；exC ；2、选择题(1) B； (2) C； (3) B；(4)D；(5) B。3、求下列不定积分。x2x2 1xdx；ln x 1 dx ；(ln x)252xx2dx(3) ；(4) 52xx2dx解 (1) 令x 1 ，则有tx 11 1t11t2(t ) 1dxt11t2(t ) 11 t dtx2x2 11x2x2 11t22 1 t 2 1t1t21dt2arcsint11t2arcsin1Cx2 x2 1x1dx1 xd 1 1x(ln x)2x(ln x)2ln xln x(ln x)2ln(2)x1dxx Cdx52

24、x52xx26 (x 1)2 arcsin x 1 C .6(arcsinx)2dxx(arcsinx)22 xarcsinxdx6 x(arcsin x)2 2 arcsin xd ( 1 x2 )1 x1 x21x2x(arcsinx)221x21 x2x(arcsinx)22arcsin1 x22dx 2x C .4x单位时边际成本为3x8（元0总成本函数C(x；x4PL(x；每周生产多少单位可获得最大利润？最大利润是多少？解(1) C(x) C(x)dx (0.3x8)dx0.15x2 8xC由C(0) 100 ，得C 100 ，故所求成本函数为(2) 由x4PC(x)x2 8x.R(

25、x)xx2故 L(x) 72 x 0.4x 2 100 .(3) L(x) 72 0.8x ，令 L(x) 0 ，得驻点 x 90 .由于驻点唯一，所以每周生产 90 单位时，可获得最大的利润，最大利润是L(90) 3140 (元).(B)1、求下列不定积分(1)7cosx3sinxdx；(2) 5cos x xx2 1dx ；dx(3) 1cosxdx；(4) )2 ；x2x2(5)；1dx (2 cos x)sin x 。(1)解： 7cos x 3sin xdx (5cos x 2sin x) (2cos x 5sin x)dx(2)5cosx2sinx5cos x 2sin x d(5

26、cosx2sinx) x 5cosx2sinx C5cos x 2sin x111x411 x4 1 1 x2 x2 1dx x2 (x3 )x3 x2 1dxx3 x2 1dxx2 x2 1x2 1x213 1 x3 x2 1 1 (xx2131x2 1 1 x3 x2 1 1 x2x2 1x2 x2 13333移项整理得，4x2x2 1x2 11x2 1x2 x2 1x2 1 1 x3 x2 1 xx2 1 1xx2 1所以x2366x2 1x2 1x(2x2 x2 11 xx2 188(3)x1x2cos2 x2dx xd (tan x) x tan x tan xdxxxxsinxxx2dxxxC2 tan2cos 2lncos.22令t x10