衡水一轮复习第五章 平面向量和复数

1、第五章平面向量与复数第一讲平面向量的概念及其线性运算知识梳理双基自测(对应学生用书学案P104)ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CEeq x(知)eq x(识)eq x(梳)eq x(理)知识点一向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)(2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量；平行向量又叫共线向量规定：0与任一向量平行.(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量知识点二向量的线

2、性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：abba；(2)结合律：(ab)ca(bc)减法向量a加上向量b的相反向量叫做a与b的差，即a(b)ab三角形法则aba(b)数乘实数与向量a的积是一个向量记作a(1)模：|a|a| ；(2)方向：当0时，a与a的方向相同；当|b|解析解法一：利用向量加法的平行四边形法则在ABCD中，设eq o(AB,sup6()a，eq o(AD,sup6()b，由|ab|ab|知，|eq o(AC,sup6()|eq o(DB,sup6()|，从而四边形ABCD为矩形，即ABAD，故ab.解法二：|ab|

3、ab|，|ab|2|ab|2.a2b22aba2b22ab.ab0.ab.角度2向量的线性运算例3 (2022长沙模拟)如图，在梯形ABCD中，BC2AD，DEEC，设eq o(BA,sup6()a，eq o(BC,sup6()b，则eq o(BE,sup6()(D)Aeq f(1,2)aeq f(1,4)bBeq f(1,3)aeq f(5,6)bCeq f(2,3)aeq f(2,3)bDeq f(1,2)aeq f(3,4)b解析解法一：如图所示，取BC的中点F，连接AF，因为BC2AD，所以ADCF，又ADCF，所以四边形ADCF为平行四边形，则AFCD，所以eq o(CD,sup6(

4、)eq o(FA,sup6().因为DEEC，所以eq o(CE,sup6()eq f(1,2)eq o(CD,sup6()eq f(1,2)eq o(FA,sup6()，所以eq o(BE,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CE,sup6()eq o(BC,sup6()eq f(1,2)eq o(FA,sup6()eq o(BC,sup6()eq f(1,2)(eq o(BA,sup6()eq o(BF,sup6()eq o(BC,sup6()eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(o(BA,sup6()f(1,2)o(BC,sup6()eq f(1,2)

5、eq o(BA,sup6()eq f(3,4)eq o(BC,sup6()eq f(1,2)aeq f(3,4)b，故选D解法二：如图，连接BD，因为DEEC，所以eq o(BE,sup6()eq f(1,2)(eq o(BD,sup6()eq o(BC,sup6()eq f(1,2)(eq o(BA,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(o(BA,sup6()f(1,2)o(BC,sup6()o(BC,sup6()eq f(1,2)eq o(BA,sup6()eq f(3,4)eq o(BC,sup6(

6、)eq f(1,2)aeq f(3,4)b，故选D角度3根据向量线性运算求参数例4 (2021济南模拟)如图，在平行四边形ABCD中，F是BC的中点，eq o(CE,sup6()2eq o(DE,sup6()，若eq o(EF,sup6()xeq o(AB,sup6()yeq o(AD,sup6()，则xy(C)A1B6Ceq f(1,6)Deq f(1,3)解析因为四边形ABCD是平行四边形，所以eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()，eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()，因为eq o(CE,sup6()2eq o(DE,sup6()，所以eq o(ED

7、,sup6()eq f(1,3)eq o(DC,sup6()eq f(1,3)eq o(AB,sup6()，连接AF，在AEF中，所以eq o(EF,sup6()eq o(EA,sup6()eq o(AF,sup6()eq o(ED,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BF,sup6()eq f(1,3)eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,2)eq o(BC,sup6()eq f(2,3)eq o(AB,sup6()eq f(1,2)eq o(AD,sup6()，又因为eq o(EF,sup

8、6()xeq o(AB,sup6()yeq o(AD,sup6()，所以xeq f(2,3)，yeq f(1,2)，故xyeq f(1,6).名师点拨MING SHI DIAN BO平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)考查向量加法或减法的几何意义(2)求已知向量的和或差一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则；求首尾相连的向量的和用三角形法则(3)与三角形综合，求参数的值求出向量的和或差，与已知条件中的式子比较，求得参数(4)与平行四边形综合，研究向量的关系画出图形，找出图中的相等向量、共线向量，将所求向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解变式训练1(1)(角度1)(

9、2022湖北宜昌一中月考)已知a，b是两个非零向量，且|ab|a|b|，则下列说法正确的是(D)Aab0BabCa与b共线反向D存在正实数，使ab(2)(角度2) (2021西安五校联考)如图，AB是圆O的一条直径，C，D是半圆弧的两个三等分点，则eq o(AB,sup6()(D)Aeq o(AC,sup6()eq o(AD,sup6()B2eq o(AC,sup6()2eq o(AD,sup6()Ceq o(AD,sup6()eq o(AC,sup6()D2eq o(AD,sup6()2eq o(AC,sup6()(3)(角度3)在ABC中，AB2，BC3，ABC60，AD为BC边上的高，O

10、为AD的中点，若eq o(AO,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()，其中，R，则等于(D)A1Beq f(1,2)Ceq f(1,3)Deq f(2,3)解析(1)因为a，b是两个非零向量，且|ab|a|b|，所以a与b共线同向，故D正确(2)连接CD(图略)，因为C，D是半圆弧的两个三等分点，所以CDAB，且AB2CD，所以eq o(AB,sup6()2eq o(CD,sup6()2(eq o(AD,sup6()eq o(AC,sup6()2eq o(AD,sup6()2eq o(AC,sup6()，故选D(3)由题意易得eq o(AD,sup6()eq o

11、(AB,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,3)eq o(BC,sup6()，则2eq o(AO,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,3)eq o(BC,sup6()，即eq o(AO,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(1,6)eq o(BC,sup6().所以eq f(1,2)，eq f(1,6)，故eq f(1,2)eq f(1,6)eq f(2,3).考点三共线向量定理及其应用师生共研例5 设两个非零向量a与b不共线(1)若eq o(AB,sup6()ab，eq o(BC,sup6()2a8

12、b，eq o(CD,sup6()3(ab)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线分析(1)利用向量证明三点共线时，首先要证明两个非零向量共线，然后再说明两向量有公共点，这时才能说明三点共线；(2)利用共线向量定理求解解析(1)证明：eq o(AB,sup6()ab，eq o(BC,sup6()2a8b，eq o(CD,sup6()3(ab)，eq o(BD,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CD,sup6()2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5eq o(AB,sup6().eq o(AB,sup6()，eq o(BD,sup6()共线，又

13、它们有公共点B，A，B，D三点共线(2)kab与akb共线，存在实数，使kab(akb)，即kabakb.(k)a(k1)b.a，b是不共线的两个非零向量，eq blcrc (avs4alco1(k0，,k10，)解得k1.引申本例(2)中，若kab与akb反向，则k1；若kab与akb同向，则k1.解析由本例可知kab与akb反向时0，从而k1.名师点拨MING SHI DIAN BO平面向量共线的判定方法(1)向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数，使ba.要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，

14、但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线变式训练2(1)(2022济南模拟)已知向量a，b不共线，且cab，da(21)b，若c与d共线反向，则实数的值为(B)A1Beq f(1,2)C1或eq f(1,2)D1或eq f(1,2)(2)已知向量a，b，c中任意两个都不共线，并且ab与c共线，bc与a共线，那么abc等于(D)AaBbCcD0解析(1)由于c与d共线反向，则存在实数k使ckd(k0)，于是abka(21)b，整理得abka(2kk)b.由于a，b不共线，所以有eq blcrc (avs4alco1(k，,2kk1，)整理得2210，解得

15、1或eq f(1,2).又因为k0，所以0，故eq f(1,2).故选B(2)解法1：ab与c共线，ab1c.又bc与a共线，bc2a.由得：b1ca.bc1cac(11)ca2a.eq blcrc (avs4alco1(110，,21，)即eq blcrc (avs4alco1(11，,21.)abccc0.故选D解法2：得ac1c2a11、21，abc0.名师讲坛素养提升(对应学生用书学案P107)MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG易错警示都是零向量“惹的祸” 例6 下列命题正确的是(D)A向量a，b共线的充要条件是有且仅有一个实数，使baB在ABC中，

16、eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CA,sup6()0C不等式|a|b|ab|a|b|中两个等号不可能同时成立D若向量a，b不共线，则向量ab与向量ab必不共线解析易知ABC错误对于D向量a与b不共线，向量a，b，ab与ab均不为零向量若ab与ab共线，则存在实数使ab(ab)，即(1)a(1)b，所以eq blcrc (avs4alco1(10，,10，)此时无解，故假设不成立，即ab与ab不共线故D正确名师点拨MING SHI DIAN BO在向量的有关概念中，定义长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，并且规定：0与任一向量平行由于零向量的特殊性，在两个

17、向量共线或平行问题上，如果不考虑零向量，那么往往会得到错误的判断或结论在向量的运算中，很多学生也往往忽视0与0的区别，导致结论错误变式训练3下列叙述正确的是(D)A若非零向量a与b的方向相同或相反，则ab与a，b其中之一的方向相同B|a|b|ab|a与b的方向相同Ceq o(AB,sup6()eq o(BA,sup6()0D若0，ab，则ab解析对于A，当ab0时，其方向任意，它与a，b的方向都不相同；对于B，当a，b中有一个为零向量时结论不成立；对于C，因为两个向量之和仍是一个向量，所以eq o(AB,sup6()eq o(BA,sup6()0；对于D，(ab)0时，0，此时一定有ab.故选

18、D第二讲平面向量的基本定理及坐标表示知识梳理双基自测(对应学生用书学案P107)ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CEeq x(知)eq x(识)eq x(梳)eq x(理)知识点一平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2使a1e12e2.知识点二平面向量的坐标表示在直角坐标系内，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：axiyj，(x，y)叫做向量a的直角坐标，记作a(x，y)，显然i(1,0)，j(0,1)，0(0,0).知识点三平面向

19、量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|eq r(xoal(2,1)yoal(2,1).(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq o(AB,sup6()(x2x1，y2y1)，|eq o(AB,sup6()|eq r(x2x12y2y12).知识点四向量共线的坐标表示若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10.eq x(归)eq x(纳)eq x(拓)eq x(展)两个向量

20、作为基底的条件：作为基底的两个向量必须是不共线的平面向量的基底可以有无穷多组eq x(双)eq x(基)eq x(自)eq x(测)题组一走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底()(2)若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，12.()(3)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可表示成eq f(x1,x2)eq f(y1,y2).()(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变()(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标()题组二走进教材2(必修2P30T1改编)(2021北京十五中模

21、拟)如果向量a(1,2)，b(4,3)，那么a2b(B)A(9,8)B(7，4)C(7,4)D(9，8)解析a2b(1,2)(8,6)(7，4)，故选B3(必修2P60T2(6)改编)下列各组向量中，可以作为基底的是(B)Ae1(0,0)，e2(1,2)Be1(1,2)，e2(5,7)Ce1(3,5)，e2(6,10)De1(2，3)，e2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(3,4)解析A选项中，零向量与任意向量都共线，故其不可以作为基底；B选项中，不存在实数，使得e1e2.故两向量不共线，故其可以作为基底；C选项中，e22e1，两向量共线，故其不可以作为基底；D选项中

22、，e14e2，两向量共线，故其不可以作为基底故选B4(必修2P60T6改编)若向量a(2,1)，b(1,2)，ceq blc(rc)(avs4alco1(0，f(5,2)，则c可用向量a，b表示为(A)Aeq f(1,2)abBeq f(1,2)abCeq f(3,2)aeq f(1,2)bDeq f(3,2)aeq f(1,2)b解析设cxayb，则eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(5,2)(2xy，x2y)，所以eq blcrc (avs4alco1(2xy0，,x2yf(5,2)，)解得eq blcrc (avs4alco1(xf(1,2)，,y1，)则ceq f(1,2

23、)ab.题组三走向高考5(2015新课标全国，2,5分)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量eq o(AC,sup6()(4，3)，则向量eq o(BC,sup6()(A)A(7，4)B(7,4)C(1,4)D(1,4)解析设C(x，y)，A(0,1)，eq o(AC,sup6()(4，3)，eq blcrc (avs4alco1(x4，,y13，)解得eq blcrc (avs4alco1(x4，,y2，)C(4，2)，又B(3,2)，eq o(BC,sup6()(7，4)，选A6(2018全国卷，13,5分)已知向量a(1,2)，b(2，2)，c(1，)若c(2ab)，则eq f(1,2

24、).解析由题意得2ab(4,2)，因为c(2ab)，c(1，)，所以42，得eq f(1,2).考点突破互动探究(对应学生用书学案P108)KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点一平面向量基本定理的应用师生共研例1 (1)在ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且eq o(BD,sup6()2eq o(DC,sup6()，eq o(CE,sup6()3eq o(EA,sup6()，若eq o(AB,sup6()a，eq o(AC,sup6()b，则eq o(DE,sup6()等于(C)Aeq f(1,3)aeq f(5,12)bBeq f(1,3)aeq f(13

25、,12)bCeq f(1,3)aeq f(5,12)bDeq f(1,3)aeq f(13,12)b(2)已知向量eq o(AC,sup6()，eq o(AD,sup6()和eq o(AB,sup6()在正方形网格中的位置如图所示，若eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()，则3.解析(1)eq o(DE,sup6()eq o(DC,sup6()eq o(CE,sup6()eq f(1,3)eq o(BC,sup6()eq f(3,4)eq o(CA,sup6()eq f(1,3)(eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(3

26、,4)eq o(AC,sup6()eq f(1,3)eq o(AB,sup6()eq f(5,12)eq o(AC,sup6()eq f(1,3)aeq f(5,12)b.(2)建立如图所示的平面直角坐标系xAy，则eq o(AC,sup6()(2，2)，eq o(AB,sup6()(1,2)，eq o(AD,sup6()(1,0)由题意可知(2，2)(1,2)(1,0)，即eq blcrc (avs4alco1(2，,22，)解得eq blcrc (avs4alco1(1，,3，)所以3.故填3.名师点拨MING SHI DIAN BO应用平面向量基本定理的关键(1)基底必须是两个不共线的向

27、量(2)选定基底后，通过构造平行四边形(或三角形)利用向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来(3)注意几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等易错提醒：在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便变式训练1(1) (2022长沙模拟)如图，在正方形ABCD中，E是DC的中点，点F满足eq o(CF,sup6()2eq o(FB,sup6()，那么eq o(EF,sup6()(C)Aeq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(1,3)eq o(AD,sup6()Beq f(1,3)eq o(AB,s

28、up6()eq f(1,2)eq o(AD,sup6()Ceq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(AD,sup6()Deq f(1,4)eq o(AB,sup6()eq f(1,2)eq o(AD,sup6()(2)已知在ABC中，点O满足eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()0，点P是OC上异于端点的任意一点，且eq o(OP,sup6()meq o(OA,sup6()neq o(OB,sup6()，则mn的取值范围是(2,0).解析(1)因为E为DC的中点，所以eq o(EC,sup6()eq f(1,2)eq

29、 o(DC,sup6().因为eq o(CF,sup6()2eq o(FB,sup6()，所以eq o(CF,sup6()eq f(2,3)eq o(CB,sup6().所以eq o(EF,sup6()eq o(EC,sup6()eq o(CF,sup6()eq f(1,2)eq o(DC,sup6()eq f(2,3)eq o(CB,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(DA,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(AD,sup6()，故选C(2)依题意，设eq o(OP,sup6()eq o(OC

30、,sup6()(01)，由eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()0，知eq o(OC,sup6()(eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()，所以eq o(OP,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()，由平面向量基本定理可知，mn2，所以mn(2,0)考点二平面向量坐标的基本运算自主练透例2 (1)已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设eq o(AB,sup6()a，eq o(BC,sup6()b，eq o(CA,sup6()c，且eq o(CM,sup6()3c，eq o(CN,sup6()2

31、b.求3ab3c；求满足ambnc的实数m，n；求M，N的坐标及向量eq o(MN,sup6()的坐标(2)设向量a，b满足|a|2eq r(5)，b(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为(4，2).解析(1)由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)因为mbnc(6mn，3m8n)，所以eq blcrc (avs4alco1(6mn5，,3m8n5，)解得eq blcrc (avs4alco1(m1，,n1.).设O为坐标原点，因为eq o(CM,sup6()eq o(OM,sup6()eq o(OC

32、,sup6()3c，所以eq o(OM,sup6()3ceq o(OC,sup6()(3,24)(3，4)(0,20)，所以M(0,20)又因为eq o(CN,sup6()eq o(ON,sup6()eq o(OC,sup6()2b，所以eq o(ON,sup6()2beq o(OC,sup6()(12,6)(3，4)(9,2)所以N(9,2)所以eq o(MN,sup6()(9，18)(2)设a(x，y)，x0，y0)，eq o(AP,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BP,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BN,sup6()eq o(AB,sup6()(eq

33、 o(AN,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AB,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)o(AC,sup6()o(AB,sup6()(1)eq o(AB,sup6()eq f(,4)eq o(AC,sup6()，因为eq o(AP,sup6()meq o(AB,sup6()eq f(2,9)eq o(AC,sup6()，所以eq f(2,9)eq f(,4)，得eq f(8,9)，所以m1eq f(1,9)，故选B解法二：eq o(AP,sup6()meq o(AB,sup6()eq f(2,9)eq o(AC,sup6()meq o(AB,sup

34、6()eq f(8,9)eq o(AN,sup6()，meq f(8,9)1，meq f(1,9).第三讲平面向量的数量积知识梳理双基自测(对应学生用书学案P110)ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CEeq x(知)eq x(识)eq x(梳)eq x(理)知识点一向量的夹角两个非零向量a与b，过O点作eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，则AOB叫做向量a与b的夹角；范围是0，.a与b的夹角为eq f(,2)时，则a与b垂直，记作ab.知识点二平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做a与b

35、的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0a0.(2)几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积知识点三平面向量数量积的性质及其坐标表示(1)设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量a，b的夹角数量积：ab|a|b|cos x1x2y1y2.模：|a|eq r(aa)eq r(xoal(2,1)yoal(2,1).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|eq o(AB,sup6()|eq r(x1x22y1y22).夹角：cos eq f(ab,|a|b|)eq f(x1

36、x2y1y2,r(xoal(2,1)yoal(2,1)r(xoal(2,2)yoal(2,2).已知两非零向量a与b，abab0 x1x2y1y20；abab|a|b|.(或|ab|a|b|)|ab|a|b|(当且仅当ab时等号成立)|x1x2y1y2|eq r(xoal(2,1)yoal(2,1)eq r(xoal(2,2)yoal(2,2).(2)平面向量数量积的运算律abba(交换律)ab(ab)a(b)(结合律)(ab)cacbc(分配律)eq x(归)eq x(纳)eq x(拓)eq x(展)1两个向量的数量积是一个实数0a0而0a0.2数量积不满足结合律(ab)ca(bc)3ab中

37、的“”不能省略aaa2|a|2.4两向量a与b的夹角为锐角ab0且a与b不共线；两向量a与b的夹角为钝角ab0，则a与b的夹角为锐角；ab0，则a与b的夹角为钝角()(4)若ab0，则a0或b0.()(5)(ab)ca(bc)()(6)若abac(a0)，则bc.()题组二走进教材2(必修2P36练习T2改编)向量a(2，1)，b(1,2)，则(2ab)a(A)A6B5C1D6解析由题意知2ab(3,0)，(2ab)a(3,0)(2，1)6，故选A3(必修2P20T3改编)已知向量a与b的夹角为eq f(,3)，|a|eq r(2)，则a在b方向上的投影为(C)Aeq r(3)Beq r(2)

38、Ceq f(r(2),2)Deq f(r(3),2)解析a在b方向上的投影为|a|cos a，beq r(2)cos eq f(,3)eq f(r(2),2).选C4(必修2P24T24改编)在圆O中，长度为eq r(2)的弦AB不经过圆心，则eq o(AO,sup6()eq o(AB,sup6()的值为1.解析设向量eq o(AO,sup6()，eq o(AB,sup6()的夹角为，则eq o(AO,sup6()eq o(AB,sup6()|eq o(AO,sup6()|eq o(AB,sup6()|cos |eq o(AO,sup6()|cos |eq o(AB,sup6()|eq f(1

39、,2)|eq o(AB,sup6()|eq o(AB,sup6()|eq f(1,2)(eq r(2)21.题组三走向高考5(2021全国甲，13,5分)若向量a，b满足|a|3，|ab|5，ab1，则|b|3eq r(2).解析利用|a|eq r(a2)求解依题意可得|ab|eq r(ab2)eq r(|a|22ab|b|2)eq r(92|b|2)5，解得|b|3eq r(2).6(2021全国乙，14,5分)已知向量a(1,3)，b(3,4)，若(ab)b，则eq f(3,5).解析根据(ab)b得(ab)b0，再转化为坐标运算，得到关于的方程求解即可解法一：由a(1,3)，b(3,4)

40、，得ab(13，34)，由(ab)b得(ab)b0，故3(13)4(34)015250eq f(3,5).解法二：由(ab)b得(ab)b0，即abb20，ab133415，b2334425，则15250，eq f(3,5).7(2019全国卷，5分)已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(ab)b，则a与b的夹角为(B)Aeq f(,6)Beq f(,3)Ceq f(2,3)Deq f(5,6)解析解法一：由题意得，(ab)b0ab|b|2，|a|b|cos a，b|b|2，|a|2|b|，2|b|2cos a，b|b|2cos a，beq f(1,2)，a，beq f(,3)，故选B解法

41、二：如图所示，设eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，则eq o(BA,sup6()ab，Beq f(,2)，|eq o(OA,sup6()|2|eq o(OB,sup6()|，AOBeq f(,3)，即a，beq f(,3).考点突破互动探究(对应学生用书学案P111)KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点一平面向量数量积的运算师生共研例1 (1)已知向量e1，e2，|e1|1，e2(1，eq r(3)，e1，e2的夹角为60，则(e1e2)e2(C)Aeq f(3r(5),5)Beq f(2r(5),5)C5Deq r(5)(2)已知点A

42、，B，C满足|eq o(AB,sup6()|3，|eq o(BC,sup6()|4，|eq o(CA,sup6()|5，则eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CA,sup6()eq o(CA,sup6()eq o(AB,sup6()的值是25.解析(1)e2(1，eq r(3)|e2|2，所以(e1e2)e2e1e2eeq oal(2,2)12cos 6045.故选C(2)解法一：如图，根据题意可得ABC为直角三角形，且Beq f(,2)，cos Aeq f(3,5)，cos Ceq f(4,5)，eq o(AB,sup6()eq o(

43、BC,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CA,sup6()eq o(CA,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CA,sup6()eq o(CA,sup6()eq o(AB,sup6()45cos(C)53cos(A)20cos C15cos A20eq f(4,5)15eq f(3,5)25.解法二：如图，建立平面直角坐标系，则A(3,0)，B(0,0)，C(0,4)eq o(AB,sup6()(3,0)，eq o(BC,sup6()(0,4)，eq o(CA,sup6()(3，4)eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6(

44、)30040，eq o(BC,sup6()eq o(CA,sup6()034(4)16，eq o(CA,sup6()eq o(AB,sup6()3(3)(4)09.eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CA,sup6()eq o(CA,sup6()eq o(AB,sup6()25.解法三：eq o(CA,sup6()在eq o(CB,sup6()上的投影为向量eq o(CB,sup6()，eq o(AC,sup6()在eq o(AB,sup6()上的投影为向量eq o(BA,sup6()，因此eq o(BC,sup6()eq o(CA,s

45、up6()eq o(BC,sup6()216，eq o(CA,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AB,sup6()29，eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()0.eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CA,sup6()eq o(CA,sup6()eq o(AB,sup6()25.解法四：eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CA,sup6()eq o(CA,sup6()eq o(AB,sup6()0eq o(CA,sup6()(eq o(BC,sup

46、6()eq o(AB,sup6()eq o(CA,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(AC,sup6()225.解法五：eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CA,sup6()0，将其两边平方可得eq o(AB,sup6()2eq o(BC,sup6()2eq o(CA,sup6()22(eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(CA,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CA,sup6()0，故eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(

47、CA,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CA,sup6()eq f(1,2)(eq o(AB,sup6()2eq o(BC,sup6()2eq o(CA,sup6()2)25.名师点拨MING SHI DIAN BO向量数量积的四种计算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cos .(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.(3)转化法：当模和夹角都没给出时，即用已知模或夹角的向量作基底来表示要求数量积的向量求解(4)坐标法：结合图形特征适当建立坐标系，求出向量的坐标，进而求其数量积

48、(如本例(2)变式训练1(1)已知向量a，b满足a(ba)2，且a(1,2)，则向量b在a方向上的投影为(D)Aeq f(r(5),5)Beq f(r(5),5)Ceq f(2r(5),5)Deq f(3r(5),5)(2)(2021贵阳市第一学期监测考试)在ABC中，|eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()|eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()|，AB2，AC1，E，F为BC的三等分点，则eq o(AE,sup6()eq o(AF,sup6()(A)Aeq f(10,9)Beq f(25,9)Ceq f(26,9)Deq f(8,9)解析(1)由a(1,

49、2)，可得|a|eq r(5)，由a(ba)2，可得aba22，ab3，向量b在a方向上的投影为eq f(ab,|a|)eq f(3r(5),5).(2)解法一：因为|eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()|eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()|，所以|eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()|2|eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()|2，所以eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()0，即BAC90.所以eq o(AE,sup6()eq o(AF,sup6()eq blcrc(avs4alco1(o(AC

50、,sup6()f(1,3)o(AC,sup6()o(AE,sup6()eq blcrc(avs4alco1(o(AB,sup6()f(1,3)o(AC,sup6()o(AF,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)o(AB,sup6()f(1,3)o(AC,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)o(AC,sup6()f(1,3)o(AB,sup6()eq f(2,9)eq o(AB,sup6()2eq f(2,9)eq o(AC,sup6()2eq f(10,9)，故选A解法二：因为|eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()

51、|eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()|，所以|eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()|2|eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()|2，所以eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()0，即eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，以A为坐标原点，AB，AC所在的直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(0,1)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)，f(2,3)，Feq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)，f(1,3)，所以eq o(

52、AE,sup6()eq o(AF,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)，f(2,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)，f(1,3)eq f(8,9)eq f(2,9)eq f(10,9)，故选A考点二向量的模、夹角多维探究角度1向量的模例2 (1)(2021四川双流中学月考)若平面向量a、b的夹角为60，且a(1，eq r(3)，|b|3，则|2ab|的值为(C)A13Beq r(37)Ceq r(13)D1(2)(2022黄冈调研)已知平面向量m，n的夹角为eq f(,6)，且|m|eq r(3)，|n|2，在ABC中，eq o(AB,su

53、p6()2m2n，eq o(AC,sup6()2m6n，D为BC的中点，则|eq o(AD,sup6()|2.分析(1)求出|a|，再由|2ab|eq r(2ab2)求解；解析(1)a(1，eq r(3)，|a|2.ab|a|b|cos 603，|2ab|eq r(2ab2)eq r(4a24abb2)eq r(13).故选C(2)由题意知mneq r(3)2cos eq f(,6)3.ABC中，D为BC的中点，eq o(AD,sup6()eq f(1,2)(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq f(1,2)(2m2n2m6n)2m2n.|eq o(AD,sup6()|

54、2m2n|2eq r(mn2)2eq r(m22mnn2)2eq r(3234)2.名师点拨MING SHI DIAN BO平面向量的模的解题方法(1)若向量a是以坐标(x，y)形式出现的，求向量a的模可直接利用|a|eq r(x2y2).(2)若向量a，b是非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2a2aa，或|ab|2(ab)2a22abb2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解即“模的问题平方求解”角度2向量的夹角例3 (1)(2021新高考八省联考)已知单位向量a，b满足ab0，若向量ceq r(7)aeq r(2)b，则sin(B)Aeq f(r(7),3)Beq f(

55、r(2),3)Ceq f(r(7),9)Deq f(r(2),9)(2)(2020全国理，6)已知向量a，b满足|a|5，|b|6，ab6，则cosa，ab(D)Aeq f(31,35)Beq f(19,35)Ceq f(17,35)Deq f(19,35)分析(1)利用夹角公式求解解析(1)解法1：设a(1,0)，b(0,1)，则c(eq r(7)，eq r(2)，coseq f(ac,|a|c|)eq f(r(7),13)eq f(r(7),3)，sineq f(r(2),3)，故选B解法2：如图，sina，ceq f(r(2),3).(2)|a|5，|b|6，ab6，a(ab)|a|2a

56、b19.又|ab|eq r(a22abb2)eq r(251236)7，cosa，abeq f(aab,|a|ab|)eq f(19,57)eq f(19,35).故选D名师点拨MING SHI DIAN BO求两向量夹角的方法及注意事项(1)一般是利用夹角公式：cos eq f(ab,|a|b|).(2)注意：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角(3)a在b方向上的投影等于|a|cos eq f(ab,|b|)；b在a方向上的投影等于|b|cos eq f(ab,|a|).角度3平面向量的垂直例4 (1

57、)(2020全国，5)已知单位向量a，b的夹角为60，则在下列向量中，与b垂直的是(D)Aa2bB2abCa2bD2ab(2)(2022安徽宣城调研)已知在ABC中，A120，且AB3，AC4，若eq o(AP,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，且eq o(AP,sup6()eq o(BC,sup6()，则实数的值为(A)Aeq f(22,15)Beq f(10,3)C6Deq f(12,7)解析(1)解法1：本题考查向量的数量积由题意得ab|a|b|cos 60eq f(1,2)，b2|b|21.对于A，(a2b)bab2b2eq f(1,2)2eq f(

58、5,2)0，故A错；对于B，(2ab)b2abb21120，故B错；对于C，(a2b)bab2b2eq f(1,2)2eq f(3,2)0，故C错；对于D，(2ab)b2abb2110，所以(2ab)b，故选D解法2：可以考虑几何意义(2)因为eq o(AP,sup6()eq o(BC,sup6()，所以eq o(AP,sup6()eq o(BC,sup6()(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()(eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AB,sup6()2eq o(AC,sup6()2(1)eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()

59、0，因此3242(1)34cos 1200，所以eq f(22,15).故选A名师点拨MING SHI DIAN BO平面向量垂直问题的解题思路解决向量垂直问题一般利用向量垂直的充要条件ab0求解变式训练2(1)(角度3)(2020全国，13)已知单位向量a，b的夹角为45，kab与a垂直，则keq f(r(2),2).(2)(角度1)(2021山西康杰中学五校期中)已知向量a、b满足|b|2|a|2，a与b的夹角为120，则|a2b|(B)Aeq r(13)Beq r(21)C13D21(3)(角度2)(2021江西七校联考)已知向量a(1，eq r(3)，b(3，m)，且b在a上的投影为3

60、，则向量a与b的夹角为eq f(2,3).解析(1)本题考查平面向量的数量积运算由题意知|a|b|1，所以ab|a|b|cos 45eq f(r(2),2).因为kab与a垂直，所以(kab)a0，即ka2ab0，即keq f(r(2),2)0，得keq f(r(2),2).(2)|a|1，|b|2，ab1，|a2b|eq r(a2b2)eq r(|a|24ab4|b|2)eq r(21).故选B(3)由题意可知eq f(ab,|a|)3，eq f(3r(3)m,2)3.m3eq r(3)，|b|eq r(323r(3)2)6，记a与b的夹角为，则cos eq f(ab,|a|b|)eq f(