循环摆物理问题的实验研究和仿真模拟

1、循环摆物理问题的实验研究和仿真模拟摘要从理论力学出发，导出了循环摆物理问题的动力学方程，设计实验测量了绳与杆的动摩擦系数，探讨了循环摆中不同的轻重物 质量比和轻物下摆初始角度对重物悬停时间的影响。用matlab进行仿真模拟，仿真结果与实验结果符合较好。关键词循环摆;摩擦系数测量;数值模拟循环摆的物理模型来自于18世纪著名的数学 家欧拉，他提出这样一个有趣的问题:绳子在柱子 上绕几圈，就可以将几百吨的巨轮牢固地固定在码 头边。背后的物理原理是摩擦力的叠加，因为总的 摩擦力和绳子绕柱的圈数是呈指数递增，当绳子绕 的圈数足够多时就可以提供很大的摩擦力。欧拉 研究了摩擦力和绳索绕在柱子上的圈数之间的关

2、 系,称为欧拉缰绳原理。循环摆问题是从欧拉缰绳 原理衍生出来的物理模型。循环摆是将两个质量不同的物体通过水平杆 上的一根绳子相连，如图1所示。轻物以一个初始 角度下落，在重力作用下达到一定初速度,绕轻杆 转动数圈，最终阻止重物落地11o重物是最终悬停 还是落地取决于重物和轻物的质量比和轻物下摆 的初始角度等因素。循环摆问题可由理论力学导出理想情况下的 微分方程，借助matlab可以数值模拟出循环摆摆角 和质量比、摩擦系数和初始释放角度等因素的相关 性。其受力分析过程及动力学分析较为复杂，十分 值得探讨。本文将在建立动力学方程的基础上通 过实验和数值仿真研究循环摆的物理问题。循环 摆问题可以从以

3、下三个方面进行研究:（1）物理模型的建立:如何建立坐标系并确定 循环摆的力学方程及动力学方程；（2）影响循环摆摆动的因素很多，如何选择合 适研究的参量，并固定参量进行分析；（3）实验设计和数值模拟；1循环摆问题的物理建模1.1循环摆重物受力分析图2所示的是循环摆的剖面图，轻物（mg）释放 重物（Mg）下降并最终被拉停静止，轻物无打滑绕杆 直至撞杆结束，关于轻物体释放过程中的受力情况 如下图2所示：图1循环摆示意图图2循环摆的受力分析图根据图2的受力关系，可以得到,f .mg cos(n - ff) - T1 = m(r- rd + mRff)mg sin(n - ff) = m(2rff) +

4、 rff + RO2)FMr = Mg - T 21.2欧拉缰绳的受力分析设绳和杆的摩擦系数为缶取绳和杆接触段微 元为ds，其两端受力分别为T和T+dT，细绳整体两 端受力分别为和T，dff表示绳上长度为ds弧长对 应的圆心角3。dffTT + dT两个由同样待测材料(铁和木棒)的杆子固定作为 定滑轮，细绳与两杆接触面积各为1/4圆周,打点计 时器可以测得加速度，通过受力分析，确定摩擦系 数和加速度的关系如下：图4测量摩擦系数实验装置(10(10)(11)Mg - T1 = MaT2 - mg = ma由2 =寐叩可得：,(M(g _ a)通过打点加速器得到纸带上各点坐标，由公式不前 J=通过

5、打点加速器得到纸带上各点坐标，由公式xxxa(ms2)1.361.421.451.501.651.701.721.151.181.201.251.301.351.021.151.201.201.301.321.351.161.421.551.651.701.801.902.161.301.501.501.601.701.701.941.351.481.601.651.751.802.13受力分析可得：(T + dT) - T = df=fidN dN = 2T sin1 dff Tdff =联立，两边积分可得:绳绕杆长度为半个圆周: L = nR，因此T2 = T1/”其中Ti，T2为绳两端的

6、拉力1.3循环摆的动力学分析设细绳的总长为L,则有+ rM + S = L s = Rffs= Rff其中,rm表示和轻物m相连的绳长,rM表示和重 物M相连的绳长,s表示的绕杆绳长4。将公式(1)、 、和、(8)联立可得： em(r- Rff- rff) - e19 mg cos ff + Mg - M(r - Rff - rff) = 0 () g sin ff = 2rff + rff+Rff22确定循环摆中绳与轻杆的摩擦系数要得到微分方程(9)的数值解,先要确定对应 的杆和细绳的摩擦系数何为此我们设计如下的实 验测量方案:将小车放在气垫导轨上，通过纸带和 细线分别连接重物肱g和轻物sg

7、,用电磁打点计时 器得到各点坐标，取点用逐差法求出加速度a5，从 而确定摩擦系数M，具体如图4所示。其中电磁打 点计时器为50HZ，周期T为0.02秒。让重物下落带动纸带通过电磁打点计时器，将(12)求出等时间间隔的位移并由逐差法求出对应加速度a,并带入公式(11),即可求出对应摩擦系数冲句表1打点计时器测出各点坐标毛表示第，个时间间隔内的位移，计算出加速度 a =1.69(ms2)，其中轻物为小砝码质量m = 50.02g, 重物为小铁块质量M = 107.30g，当地重力加速度 g = 9.793mls1带入公式(11)求出木棒与绳的摩擦因 数=0.308,另同样方法测出铁棒与绳的=0.3

8、27。3探究不同参量下循环摆的静止时间和转角根据以上理论分析可知,影响循环摆的运动主 要由以下几个方面：3.1不同释放角度和质量比对静止时间的影响： 初始释放角度越大，静止时间也越短。图5为 实验中得到的数据释放角度与静止时间的关系图， 从图中可知，释放角度与静止时间基本成线性关用matlab解出公式（9）的数值解 角度时的仿真情况如下图6所示：并得到不同并得到不同、(a) e = 90(a) e = 90(a)e = 30图6不同释放角度matlab模拟情况把重物下落静止前轻物绕杆转过的圈数定义 为静止圈数,通过表3实验数据和理论分析，在一 定范围内（角度小于90度）释放角度与静止圈数呈 正

9、相关，可以看出仿真结果与实验结果较好吻合。 表2不同释放角度对静止圈数的影响3 = 0.308,e = 120，芳=110）释放角度（单位:度）306090120135150实验圈数367543仿真圈数357443以通过matlab解出公式（9）的数值解，并得到 如图7所示：质量比越大，绕杆圈数越小，重物由于质量过 重，轻物通过绕杆叠加的摩擦力不足克服重物重 力，最终达不到受力平衡状态气4结论循环摆问题涉及了静摩擦力和圆周运动等力 学、运动学的相关理论，其运动情况较为复杂，影响 运动的因素有很多，实验方案设计也较为灵活，比 如通过测量加速度得到摩擦系数就可以采取很多 实验方案，比赛中有的学校用

10、高速摄像机拍摄重物 下落过程，通过tracker软件追踪重物下落轨迹，可 以很方便地求出加速度,实验结果更加准确。由于 实验条件有限，没有高速摄像机的情况下用手机拍 摄误差过大，可以让重物下落时通过光电门测量时 间间隔，缺点是很难控制重物下落的位置，一般可以 采用打点计时器测量加速度的方法，将单杆分成双 杆（接触面仍然是单杆的）能够取得较好的效果8 由于循环摆的运动过程受多个因素的影响，在实验 中发现当质量比过小或者摩擦系数过大就会出现 二次下落的现象，有时也会出现反转的情况，这些 物理过程的理论分析都有值得探讨的空间。3.2不同质量比对静止圈数的影响把循环摆轻物静止前绕杆转过的角度可以用 静止圈数来表示，如表2所示，通过实验和理论模 拟可得到如下结论:质