数值模拟软件在振动力学教学中的应用

1、数值模拟软件在振动力学教学中的应用摘要 振动力学课程教学过程偏重理论知识的讲解，教学中涉及大量的公式推导，学生理解起来有一 定难度。本文将数值模拟软件引入振动力学教学过程，首先分析了振动力学教学过程中存在的主要问题，然 后列举了多个典型振动力学数值模拟实例，将振动力学中的现象、概念等通过软件直观地模拟出来。通过问 卷调查及应用前后成绩分布分析发现，振动力学教学结合数值模拟可提高学生对振动力学问题的直观认识, 有效激发学生的学习热情，提高自主学习能力，培养学生的数值建模及利用数值手段分析并解决实际问题的 能力。关键词 振动力学，数值模拟，案例教学APPLICATION OF NUMERICAL

2、SIMULATION SOFTWARE INTHE TEACHING OF VIBRATION MECHANICS1)Abstract In the teaching of vibration mechanics, the emphasis is generally put on the explanation of concepts and theories, involving a great deal of formula derivation, which makes it difficult for students to understand the essence of the

3、subject. In this paper, the numerical simulation is applied in the teaching of vibration mechanics. Firstly, the main problems of vibration mechanics are put forward, and several typical numerical simulation examples of vibration mechanics are presented. Thus, some phenomena and concepts in vibratio

4、n mechanics are directly simulated by the finite element software. Through the questionnaire and the analysis of the related score distributions before and after the application, it is found that the teaching of vibration mechanics combined with numerical simulation can improve students intuitive un

5、derstanding of complicated problems of vibration mechanics, effectively stimulate students learning enthusiasm, improve students autonomous learning ability, and cultivate their ability to analyze and solve practical problems by means of numerical modeling and numerical analysis.Key words vibration

6、mechanics, numerical simulation, case teaching振动力学是力学专业本科生的主干课程之一，也 是一门与机械、航空航天、土木等工程密切联系的基 础课。通过本课程的学习，有助于学生认识自然和工 程中的振动现象，掌握工程结构的振动规律，提高分 析问题、解决问题的能力；有助于培养辩证唯物主义 的世界观和方法论，为解决工程振动问题和从事科 学研究工作打下坚实基础1。数值模拟借助有限元、边界元等数值方法，依靠 计算机，通过数值计算和图像显示，达到认识和解决 实际问题的目的。由于大多数实际问题难以得到精 确解，而数值方法不仅能满足计算精度要求，且能够 适应各种复杂形

7、状问题的求解，已成为一种应用广 泛、十分高效的工程分析手段，也成为高校工科毕业 生必须掌握的一种技术2。本文基于ANSYS数值分析软件，将数值模拟 手段引入到振动力学教学中，将教学过程中难以理 解的概念、现象等采用数值分析手段直观地模拟出 来，在加深学生对知识理解的同时，培养学生数学建 模和运用数值手段分析、解决实际问题的能力，为丰 富振动力学课程教学手段进行初步探索3。1振动力学课程教学现状“力学类教学质量国家标准”建议振动力学课程 理论学时数为48学时。国内力学类专业振动力学课 程学时数主要有两类，一类是64学时，另一类是48 学时，总体上力学类专业该课程理论学时多数在48 学时以上I4。

8、我校工程力学本科专业振动力学课程 理论授课学时为48学时，主要授课内容包括单自由 度系统的振动、多自由度系统的振动、振动问题的实 用近似解法、连续系统的振动。单自由度体系的振动 是多自由度体系振动和连续系统振动的基础，多自 由度体系振动的核心内容是振型的概念以及振型叠 加法，连续系统的振动是多自由度系统振动的延伸。 工程中多数振动问题可采用线性振动理论解决，本 科阶段对振动力学知识的掌握对学生未来解决工程 振动问题或从事科学研究意义重大5。振动力学理论抽象，公式推导严谨，要求学 生具有很好的数学和力学基础。传统的教学方法过 于偏重理论知识的传授，普遍存在以下几方面的问 题：(1)教学模式单一，

9、枯燥的理论学习难以活跃课 堂气氛；(2)学生对于振动力学中大量的物理概念缺 乏直观、形象的认识，难以激发学生的学习热情； (3)理论与工程实践联系不够紧密，学习过程中理论 计算与数值模拟的对比分析不够。针对以上问题，借 助于数值模拟软件将数值分析结果引入到振动力学 课程教学中，可以将晦涩难懂的振动力学概念、现象 等通过数值手段直观模拟展示出来，有效激发学生 的学习兴趣，提高学生运用数值手段解决实际问题 的能力，培养具有创新思维和创造能力的高素质创 新型力学人才【J7。2基于数值模拟的振动力学教学实例我校工程力学专业本科生开设了数值分析软件 ANSYS必修课程。振动力学课程教学中，将一些知 识点

10、提取出来，让学生用ANSYS软件进行模拟，并 与可能的理论结果进行对比，不仅可以加深学生对 知识点的领悟，同时对学生实际操作能力和创新能 力的培养也大有裨益。下面列举一些实际教学中利 用数值软件模拟振动力学问题的典型实例。2.1单自由度系统分析(固有频率求解)单自由度系统是最简单的振动系统，但其分析方 法和结论对多自由度系统和连续系统的分析具有重 要的指导意义。单自由度系统固有频率a。= y/k/m 是系统的固有参数。由公式可知，固有频率30与系 统的等效刚度k成正比，与等效质量m成反比。为 了说明此问题引入如下例题。如图1(a)所示，简支梁的抗弯刚度EI = 3.66 x 105 N-m2，

11、跨中重物固定质量m = 30 kg，不计梁 自重，试用ANSYS建模计算其自由振动的固有频 率，并试算单独增大质量或刚度时，系统固有频率的 变化。本题理论计算等效刚度为k = 48EI/43 = 274.5 kN/m，固有频率为3 = 15.244 Hz。数值建 模时需将简支梁密度设置为零，以实现梁零自重。本 题无论建模还是计算都比较简单，学生容易上手， 图1(b)图1(d)为数值模拟结果。从计算结果可 知，本题自由振动固有频率模拟结果为15.244 Hz， 与理论解一致；当仅质量增大4倍时，固有频率由 15.244 Hz降低到7.622 Hz，正好减小了一倍；当 仅刚度增大4倍时，固有频率由

12、15.244 Hz提高到 30.489 Hz，正好增大了 1倍，与固有频率求解公式 结果一致。因此，对一些等效质量和等效刚度不明显 的单自由度系统，采用数值模拟手段确定其固有频 率非常有效。(b)固有频率求解结果(a)示意图(c)刚度不变，质量增大4倍(d)质量不变，刚度增大4倍图1单自由度系统固有频率求解2.2有阻尼受迫振动分析(幅频与相频曲线)无阻尼振动是一种理想情况，实际振动系统总 是有阻尼的。单自由度系统在简谐激励下的受迫振 动是动力学中的一个经典内容。下面以质量-弹簧 -阻尼系统为例，说明有阻尼单自由度系统受迫振 动情况。如图2(a)所示，质量-弹簧-阻尼系统受简谐 激励力F = F

13、q sin 3t作用，其中M = 1 kg，k = 10 kN/m，Fq = 2 kN，3为激励力频率，c为阻尼系 数，试绘制不同阻尼比= c/(2VkM)下系统的幅 频特性曲线与相频特性曲线。幅频特性曲线以幅值为纵坐标、激励力频率为 横坐标；相频特性曲线以相位角为纵坐标、激励力 频率为横坐标。本题选用ANSYS中的combin14单 元进行建模，将不同阻尼比下对应的幅频特性曲线 和相频特性曲线绘制在同一张图内，如图2(b)和 图2(c)所示。从图中可以确定系统的共振频率与固 有频率，清晰看出幅值与相位随激励力频率和阻尼 比的变化规律。本例题在培养学生稍复杂系统数值 建模思想的同时，借助计算软

14、件的强大功能，可使得 学生更深入理解有阻尼受迫振动现象。2.3多自由度系统自由振动分析(鞭梢效应)在振动力学中，若将系统的分布质量及分布弹 簧和阻尼简化为有限个集中质量及有限个无质量的 弹簧和阻尼，该系统即可看作多自由度系统。线性多 自由度系统存在与自由度数目相等的多个固有频率, 每个固有频率对应于系统的一种特定振型。多自由 度系统固有频率和振型的求解是振动力学中的重点 内容。(a)质量弹簧阻尼系统2.502.252.001.751.501.251.000.750.500.250/ 0.050 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50激励力频率20 0 -20 -40 -60

15、-80 -100 -120 -140 -160 -1800 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50激励力频率(c)相频特性曲线(b)幅频特性曲线图2有阻尼受迫振动分析“鞭梢效应”是指结构受地震作用时，其顶部质 量和刚度突变部分，在每一个来回的转折瞬间，形成 较大速度、产生较大位移的现象。就像农村赶车的鞭 子，之所以能够甩响，很重要的一个原因是鞭子端部 有一段很细的尾巴(鞭梢)，当挥动鞭子的时候，由于 鞭梢质量突然减小，使得鞭梢的振幅与速度突然加 快，从而引发空气剧烈振动，产生清脆的响声。对二层楼房进行固有频率和振型分析时，可采用 如图3(a)所示简化模型，假设立柱抗弯刚度EI

16、 = 1.43x10, N-m2,其上等距分布的两个集中质量mi = m2 = 100 kg。不计立柱质量，试通过ANSYS软件 计算该系统自由振动的固有频率和振型。若二层楼 房的顶层为小阁楼时，即m2和k2突然减小，假设 m2和k2均减小为原来的1/90时，进一步分析系统 振型的变化情况。本题建模时需注意将质点质量施加在垂直于杆 轴的水平方向，即只让质点沿水平方向振动，限定 其他两个方向的振动。由图3(b)可知，上下层质 量、刚度均相等时，一、二阶固有频率分别为fi = 58.471 Hz，f2 = 153.08 Hz。由图 3(c)和图 3(d)知, 将mi处水平位移转换为1，该模型的一阶

17、振型为 & = 1.618, 1产、二阶振型为京=0.618, 1丁。 可见，上下层质量和刚度相同时，两质点处位移相差 不大。图4为上层m2和k2均减小为原来的1/90时, 固有频率与振型的数值求解结果。从图中可以看出, 此时一、二阶固有频率分别为fi = 89.754 Hz，f2 = 99.726 Hz，一阶振型为1 = 10, 1T、二阶振型为 & = -9, 1T。因此当顶端质点的质量和刚度很小 时，顶端水平侧移很大。建筑结构中，因顶端质点质 量和刚度突变，而导致顶端巨大反应的鞭梢效应现 象实际应用很多。如：屋顶消防水池、上人屋面设计 的楼电梯间、女儿墙或等屋顶建筑物。本题介绍了工 程中

18、的“鞭梢效应”现象，与工程实际结合紧密，可 有效激发学生的探索欲望。2.4多自由度系统受迫振动(三层刚架)受迫振动是指系统在振动过程中不断受到由外m2(a)示意图频率/Hz(b)固有频率图3多自由度系统自由振动求解ANSYS*16.0m1： 0.007 25m2： 0.072 5(c) 一阶振型(b) 阶振型(d)二阶振型(c)二阶振型图3多自由度系统自由振动求解(续)界控制的激励作用。工程中受迫振动的例子很多，比 如振动筛、打夯机、医用振荡床等，下面以三层刚架 受简谐激励力作用的受迫振动为例进行说明。频率/Hz(a)固有频率图4鞭梢效应如图5(a)所示三层剪切型刚架系统，横梁的弯 曲刚度为无

19、穷大，刚架的全部质量都等效集中到横 梁上，分别为 mi = m2 = m = 100 kg， m3 = 0.2m = 20 kg。各层间侧移刚度为ki = k2 = k = 3.093 x 104 kN/m，k3 = 0.2k = 0.618 x 104 kN/m。在 第一层横梁处作用有水平简谐载荷F(t) = Fo sin免, 其中 Fo = 100 kN，d = 556.1 rad。试用 ANSYS 建 模计算该系统自由振动的固有频率和振型，并求各 层梁受迫振动的振幅。由图5(b)可知该题前三阶固有频率分别为fi = 49.658 Hz，f2 = 95.748 Hz，f3 = 145.85

20、 Hz，其所对 应的前三阶振型由图5(c)图5(e)所示。该题理论 求解时需要写出刚度矩阵、质量矩阵，并求解三元一 次方程，求解过程比较繁琐；采用数值模拟手段可快 速求得结果，并将振型图直观显示出来，更便于学生 对知识点的理解。图5(f)为受迫振动的振幅图，由图可知mi， m2, m3处的位移比值为1：0：-5,因此当稳态振动 时，顶层横梁的振幅为底层横梁振幅的5倍，与前面 多自由度系统自由振动问题中的理论结果一致。由 于顶层质量和刚度发生了突变，产生了 “鞭梢效应”, 导致顶层产生较大的位移和内力，因此在建筑抗震 设计中应尽量避免质量和刚度发生突变。另一方面，频率/Hz(b)固有频率(c)

21、一阶振型(d)二阶振型啷m啷mi： 0.080 4 m2: 0.057 5m3： 0.033 5(e)三阶振型(f)受迫振动振幅图5刚架受迫振动求解刚架在第二层横梁处振幅基本为0,处于静止状态, 即顶层对二层横梁有消振作用，工程中可利用。本例题更接近工程实际，学生表现出了极大的 兴趣。本题的练习不仅加深了学生对多自由度系统固有频率、振型和受迫振动的理解，还让学生明白利 用所学知识可以切实解决现实工程中的问题，达到 了学以致用的效果。2.5连续系统自由振动分析(简支梁)离散系统质点趋于无穷多时就是连续系统，连续 系统的很多概念可以从多自由度系统延伸而来。与 多自由度系统相比，连续系统自由振动的固

22、有频率 从有限个变为无限个，主振型也由原来的向量表示 演变为函数表示。采用数值模拟手段对连续系统的 振动进行分析，可更加凸显该方法的优越性。以简支梁固有频率和模态计算为例。某简支钢 梁计算跨度l = 8 m，截面为工字型，截面面积A = 8.337 x IO-3 m2,截面惯性矩 I = 2.278 x 10-4 m4。 要求学生用振动力学知识计算该简支梁的固有频率 和模态，同时采用ANSYS软件进行建模计算，并将 理论计算结果与软件模拟结果进行对比分析。本题理论求解结果为：固有频率表达式以=(in/l)7EI/(pA)，模态函数甲i(x) = xsin(im/l),其 中，阶数i = 1，2

23、, -，E为钢的弹性模量，p为钢材 密度。采用ANSYS建模计算所得前四阶固有频率 与理论结果对比见表1，有限元模拟前四阶模态见 图6。表1简支梁固有频率计算结果对比(单位：Hz)第一阶频率第二阶频率第三阶频率第四阶频率解析解20.7883.12187.03332.49数值模拟20.7482.43183.58321.82(C)第三阶模态图6简支梁模态(d)第四阶模态(C)第三阶模态图6简支梁模态(d)第四阶模态课堂教学中，学生对本题的参与度和积极性非 常高，课程结束后基本都能掌握有关简支梁自由振 动的知识点，且在建模过程中加深、拓展了学生对所 学软件的应用能力。3应用效果分析将数值模拟应用到振动力学课程教学中，在教 师的启发下，学生可通过理论学习，利用数值模拟软 件实现对振动力学规律的探索。教师在教学过程中 可着重引导学生总结规律、提炼结论，由单向知识传 授转变为基于解决问题的互动式教学，学生