奥数八年级详解完美课件

1、初中升高中之奥数总复习之二(祥解)-初中八年级之一奥数(祥解集)初中升高中之奥数总复习之二(祥解)-初中八年级之一奥数(八年级（上册）第11章 三角形全等11、把两个全等的三角形，重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。两个三角形能完全重合，这两个三角形叫全等三角形 用表示1、三边对应相等的二个三角形全等（边边边，即SSS）2、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（边角边，即SAS）3、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（角边解）即ASA4、两角和其中一个角的对应边对应相等的两个三角形全等 （角角边） 即AAS两边但不是两边夹角的的二个三角形不一定全等。

2、SSA三个角都相等的两个三个形不一定全等 即AAA5、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。1、角平分线上的点到角两边的距离相等。2、角的内部到两边距离相等的点都在角平分线上。3、怎样作一个角的角平分线作解内二个三角形全等。八年级（上册）第11章 三角形全等11、把两个全等的三角 三角形全等2例1）已知（如图）所示，ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DGBC,交AB于点G，在GD的延长线上取点E,使DE=DC,连接AE、BD 求证 : (1)AGEDAB过点E作EFBD,交BC于点F,连接AF,求AFE的度数。解： （1）因为DGBC 所以AGD也是等边三角形，则AG=AD AGD

3、= GAD=60 又 DE=DC AD+DC=DE+GD=AB 即GE=AB,又AG=AD AGD= GAD=60 所以AGEDAB（SAS）所以有ABD+ DBC=60 = AEG+ GEF,所以AFE是等边三角形（等腰三角形，且有一个角是60 ），因而AFE=60因AGEDAB，所以AE=DB; 因 BFGE是平行四边形. BD=EF DBC=DEF AEG=ABD; 例2）如图所示，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且BE=CF,求证 OEC=OFD解：因为 EBC=DCF=45 BC=DC BE=FC 所以 BCEDCF (SAS) BEC= DFC. 又因为 OEC=180

4、- BEC =180 -DFC= OFD OEC=OFD 三角形全等2例1）已知（如图）所示，ABC是等边三角形， 三角形全等3例3）已知AD是三角形ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F,且AE=EF,求证：AC=BF.解：作AD的延长线至H点，使AD=DH, 连接BH, BD=DC(中点) ；AD=DH; BDH=ADC BDH ADC(SAS) 有AC=BH 所以BHD= DAC又DAC = AFE(等边对等角) BHD=BFD 所以 BF=BH(等腰三角形) AC=BH=BF 即 AC=BF 成立。例4）如图所示， ABC是等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，使BDAE,求证

5、CE=DE解：在BE上取点F（或者过D点作AC的平行线，交BE于点F）， 使BD=BF, 则BDF是等边三角形， BD=BF =AE BA+AF=AF+FE 即有AC=BA=FE EAC=EFD (同旁内角相等) FD=BD=AE EAC EFD 所以CE=DE 三角形全等3例3）已知AD是三角形ABC的中线，BE交A 三角形全等4例5）如图正方形ABCD的对角线AC与BD点交O, E为AC上的一点，连接BE,过A点作BE垂线，垂足为M，AM交BD于F。求证： （1） OF=OE(2)如果E点在AC延长线上，AMEB 于点M,交DB的延长线于点F，其它条件不变，OF=OE 还成立吗？解： （1

6、） AMB= AOF=90 BFM= AFO(对顶角相等)，所以FBM= FAO; FBM= FAO ,OB=OA AOF=BOE=90 AOF BOE 所以OF=OE (2) 只要求证AOF BOE 就可以了。 三角形全等4例5）如图正方形ABCD的对角线AC与BD点 三角形全等5例6）已知ABC中， A=2B ; CD是 ACB平分线，求证：BC=AC+AD解：在BC上取点E，使得 CE=AC, 因为CD是ACB平分线，所以有 ACB= DCEACD CDE即DE=AD, DEC= A 又因为DEC= B+BDE=2 B.所以有B= BDE 即BE=ED(等角对等边)所以BC=EC+BE=

7、AC+AD 求证成立。方法二：将CA延长至E,使EA=AD 也可以。例7） D、E分别是等边三角形ABC边上的点，且AD=CE,BD与AE交于P点这，BQAE于点Q。求证：PQ1/2PB解：因为AD=CE; BAC= C ; AB=AC 所以AEC ABD 因而有 ABP= EAC BPQ= ABP+ BAP= BAP+PAD=60 在直角三角形中， PQB=90 - PBQ=30 所以PQ=1/2PB 三角形全等5例6）已知ABC中， A=2B ; 三角形全等6例8）在直角梯形ABCD中， ABC=90,ADBC, AB=BC,E是AB的中点，CEBD （1）求证 BE=AD; (2) 求证

8、：MAMD （3）DB=DC证明 （1） 因为 ABC=90，所以ABC=90 又CE BD BEC+ EBC=90 BEC+ BCE=90 EBD= BCE 在ABD与 BCE中， AB=BC; BAD= ABC=90 ABD= BCE 所以ABD BCE（ASA） BE=AD因为 AB=BE ABC=90 所以 BAC =BCA=45 CAD= ACB=45 (内错角相等) ； 又因为 EAD是等腰直角梯形， 所以ADE=45= CAD 所以AM=MD(等角对等边)（3）因为 EAC=CAD=45; AE=EB=AD; AC=AC 所以AEC ADC (SAS) 即有 DC=EC 又因为B

9、D=EC 所以有BD=DC 三角形全等6例8）在直角梯形ABCD中， ABC=90 三角形全等7 奥1例1）等腰梯形ABCD中，AD B C，ADABCD2， C60 ，M是BC的中点。求证： （1） MDC是等边三解形。（2）MDC绕点M旋转，当MD（即MD）与AB交于一点E，MC（MC）同时与AD交于一点F时，点E、F和点A构成 AEF，试探究 AEF的周长是否存在最小值，如果不存在说理由，如果存在，请计出AEF周长的最小值。解： （1）过A、D分别作底 边上的垂线，可知BPQC1 PQ2 因此BC2AD，因而有 四边形ABMD 是棱形，所以有 BMMDMC（M是中点）DC（等腰梯形） D

10、MC等边三角形。（2）因为EMF= AMB=60 又 AME+ EMB=60 AME+ AMF=60 所以有 EMB= AMF; MAF =MBE=60;BM=AM 所以有 BME AMF 因而有 AF=BE EM=MF AF+AE=AE+BE=AB=2cm 又因EMF=60 EM=MF 所以EFM是等边三角形， 即EF=MF,从运动可知，MF最短，是平行线AD与BC的距 离是 。AEF周长 AE+AF+EF=AB+EF=AB+MF,所以最短的距离为 2+ 三角形全等7 奥1例1）等腰梯形ABCD中，AD 三 角形全等7 奥22如图2，在ABC中，AC=BC，ACB=90，AD平分BAC，AD

11、的延长线交BF于E，且E为垂足，则结论AD=BF，CF=CD，AC+CD=AB，BE=CF，BF=2BE，其中正确的结论的个数是（ A ） A4 B3 C2 D12、解：在RtAEB中，ABE=1809022.5=67.5， 则FBC=67.545=22.5 RtBCF中，F=67.5,所以AF=AB，AC=BC， 从而BCFACD（ASA），则AD=BF CF=CD，AC+CD=AC+CF=AF=AB， 等腰三角形ABF中，AE BF，则BF=2BE， 对于因为BCF和AEB的三个角对应相等， 但是斜边AB与BF不相等，从而不全等，不会BE=CF，三 角形全等7 奥22如图2，在ABC中，A

12、C=BC三 角形全等7 奥2-13、如图3，在ABC中，A=60，BE ，CF分别是ABC，ACB的角平分线，BE，CF相交于点D。（1）求FDE的度数（2）求证：DF=DE解： （1） FDE= BDC(对顶角） 又因BDC =180 - DBC- DCB = 180 - (1/2)(ABC+ ACB) =180 -(1/2) (180-60) =120 即FDE=120 （2）在BC上取一点G， 使得BF=BG， BDF BDG(SAS) FD=DG 所以5= 6 又因 5= 8=60 所以有： 7=360 - 5-6 - 8- D=60 DECDCG(ASA) DG=DE 所以得 DF=

13、DE三 角形全等7 奥2-13、如图3，在ABC中，A=三 角形全等7 奥34如图，点D是ABC三条角平分线的交点，ABC=68（1）求证：ADC=124；（2）若AB+BD=AC，求ACB的度数解：（1）证明：ABC=68， BAC+ACB=180-68=112， AD，CD是角平分线， DAC+ACD=1/2112=56所以ADC=180-DAC+ACD=180-56=124 （2）（方法一） 在AC上截取AE=AB，连接DE， 在ABD和AED中，ABAE DAE BAD（角平分线）ADAD ABDAED，BD=ED，DE=EC 所以 ABD1/2 68 = AED 又因DE=EC 则有

14、 DEC ECD =1/2 AED=17 ACB=2 AED=2 17 =34 （方法二） 延长AB至E，使BE=BD AEDADC 所以2= 3=17 ACB=2 3=2 17 =34 三 角形全等7 奥34如图，点D是ABC三条角平分线三 角形全等7 奥45如图，在ABC中ACBC，E、D分别是AC、BC上的点，且BAD=ABE，AE=BD求证：BAD=(1/2) c证明：作OBF=OAE交AD于FBAD=ABEOA=OB又AOE=BOFAOEBOF （ASA）AE=BFAE=BDBF=BDBDF=BFDBDF=C+OAEBFD=BOF+OBFBOF=CBOF=BAD+ABE=2BADBA

15、D= =(1/2) c三 角形全等7 奥45如图，在ABC中ACBC，E八年级（上册）第12章 轴对称11、一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能重合，这个图形就叫轴对称图形。这条直线就叫对称轴。2、过线段的中点，且垂直于线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。3、两个图形关于某条直线对应，对称轴是任何一对对应点的垂直平分线4、轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点的垂直平分线。51、线段垂直平分线上的点，到线段的两个端点的距离相等。52、与一条直线距离相等的点，在这条直线的垂直平分线上。例1）怎样作垂直平分线：在线段的两边分别作大于1/2的圆，相交的两点再连线，就是垂直平分线。例2）怎样作角

16、平分线：例2）某设计师在方格纸中画了一部分，请完成余下部分，作关于Y轴的对称图作连同原形的绕圆点逆时针旋转图八年级（上册）第12章 轴对称11、一个图形沿着一条直第12章 轴对称中考-基础1例1）在平面直角坐标系中，点A（2, 5）与点B，关于Y轴对称，则点B的坐标为（ ）解：B点为 （2，5）例2）在平面直解坐标系xoy中，已知点A（2, 3）若将OA绕原点O逆时针旋转180度，到OA，则点A在平面直角坐标系中的位置是在（ ）象限。解：A 的坐标为（2，3） 因此 在第三象限。例3）将点P向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到点P（1，3） ，则点P的坐标为（ ）解：解这样的题要反推，反

17、向变为向下移1个单位，向右移2个单位。即得P的坐标为（ 1，2 ）或者也可这样理解：设点P（X，Y） 则有 x-2=-1 ; y+1=3,得X1， Y2第12章 轴对称中考-基础1例1）在平面直角坐标系中 轴对称2例1）在一条燃气管道L上修建一个泵站，分别向同一侧的A，B两镇供气，泵站修在什么地方，可使输气管线最短？如图：例2）在三角形ABC中，如图，AB=AC=12CM,BC=6CM;D为BC的中点，动点P从B点出发，以每妙1CMR 速度沿B A C的方向运动，设运动的时间为t,那么当t 妙时，过点D P两点的直线，将ABC的周长分为两部分，使其中一部分是另一部分的两倍。解 : （t =7和

18、 t =17 即有两种可能） 当PA+AC+DC=2(BD+BP) 即(12-t)+12+3=2*(3+t) 得t=7 当DB+AB+AP=2(PC+CD) 即3+t=2*(24-t+3) 得t=17 轴对称2例1）在一条燃气管道L上修建一个泵站，分别向同一 轴对称3例3）在三角形ABC中，AB=AC=3CM; AB垂直平分线交AC于点N，三解形BCN的周长是5CM，则BC的长（ ）CM解：N因是垂直平分线上的点，得ANBN 所以有 BN+NC3 又因BCN的周长是5CM, 所以有 BC532CM例4）已知直线ABCD，BE平分ABC，交CD于D，CDE150 则C的度数等于（ ）解： CDE

19、150 所以CDB=30又因ABCD 所以 CDBDBA30 又因BE是角平分线， 所以DBA= DBC 即C1803030120 例5）在Rt ABC中， BAC90 ， B60 ， AB C 可以由ABC绕点A顺时针旋转90 得到，连接CC ，则 CC B 的度数是（ ）解：因CAAC 所以 CC B45 所以 CC B 45 30 15 轴对称3例3）在三角形ABC中，AB=AC=3CM; 轴对称4例6）三角形ABC的顶点坐标分别是A（4，6）、B（5，2）、C（2，1），如果 ABC绕C点按逆时针方向旋转90 ，得到 A B C ，那么点A的对应点A 的坐标是（ ）解：从图中可以看出，

20、 坐标是（3，3） 轴对称4例6）三角形ABC的顶点坐标分别是A（4，6）、3 等腰、等边三角形11、等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）2、等腰三角形的顶角平分线，底边上的高、底边的中线相互重合。3、如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对边的也相等（等角对等边）4、三条边都相等的三角形，叫等边三角形。 三个角都相等的三角形，也叫等边三角形。 有一个角是60度的等腰三角形，也叫等边三角形。5、等边三角形，三个角都是60度。6、在直角三角形中，如果一个锐角是30度，那么它所对边等于斜边的一半。（怎样证明）7、在不规则的三角形中，大边对大角，小边对小角；大角也对大边，小角对小边。3 等腰

21、、等边三角形11、等腰三角形的两个底角相等。（等边3 等腰、等边三角形2例1）已知三角形ABD 和三角形AEC是等边三角形，证明：BE=DC解：因为ABE ADC,所以BE=DC例2）在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边也较大。怎样证明它。解: 将ABC对折叠，使边AC与AB重合，C点落在AB的D 点。利用三角形全等就可证明了。例3）三角形ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CECD，求证：DBDE解： DBC= CDE= CED=30 ,所以三角形BED是等腰三角形3 等腰、等边三角形2例1）已知三角形ABD 和三角形3 等腰、等边三角形奥数-1

22、1、在平面直角坐标系中，等腰三角形AOB的顶点与O重合，点A的坐标(m , n) ，底边AB的中线在第一、三象限的角平分线上，则点B的坐标是（ ） A、（n , m） B、（m , n）C、（m , n）D、（m , n） 解：因为中线在角平分线上，即y=x 所以A、B两点的从标的和相等，只有A合符条件 x=(m+n)/2 y=(m+n)/2 即 y=x 选、A2如图，在ABC中，ACB=100，点D、E在AB上，且 BE=BC，AD=AC，则DCE的大小是 度 解析： （解法一）：设ACE=x，DCE=y，BCD=z， BE=BC，AD=AC， ADC=ACD=ACE+DCE=（x+y），

23、BEC=BCE=BCD+DCE=（y+z）， A=BEC-ACE=（y+z-x），B=ADC-BCD=（x+y-z）， 在ABC中，ACB=100，A+B=180-ACB=80， y+z-x+x+y-z=80，即2y=80，y=40，DCE=40故答案为：40 （解法二） BE=BC，AD=AC 得1+ DCE= 4 2+ DCE= 3 所以 1+ DCE+ 2+ DCE= 3+ 4 即 2 DCE+（100 - DCE）=180 - DCE 2 DCE =80 DCE=40 3 等腰、等边三角形奥数-11、在平面直角坐标系中，等腰三八年级（上册）第13章 实数慨念1 有理数（有限小数或无限循

24、环小数）实数： 无理数（无限不循环小数）八年级（上册）第13章 实数慨念1 八年级（上册）第13章 实数慨念21、如果一个正数X的平方等于a ,那么这个正数X叫做a的算 术平方根。记作X ；a叫做被开方数，0的算术平方根是0. （习惯上将二次根号的2省略，即 ）2、如果一个数X的平方等于a,那么这个数X就叫做a的平方根。就是说，如果 a 那么X叫做a平方根；即X 3、求一个数的平方根运算，叫做开平方。平方与开平方是 互为逆运算。4、正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的平方 根就是算术平方根。0的平方根是0；5、因为任何一个数的平方都是正数，所以负数没有平方根。1、如果一个数的立方等于a

25、,那么这个数叫a的立方根，或者 三次方根。即 ，那第X叫做a的立方根。2、求一个数的立方根运算，叫开立方，表示为X 。 立方和开立方是互为逆运算。3、正数的立方根是正数，负数的立方根是负数， 0的立方根0.1、a相反数是a； 1、实数由：有理数（即有限小数和无限循环小数）和无理数（无限不循环小数）组成八年级（上册）第13章 实数慨念21、如果一个正数X的 实数21、若a与b为倒数，则ab=1相反数是它本身的数，只有0；倒数是它本身的数只有1.2、一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝纣值是0. 可以记作 ：利用非负的性质求值：当两个（多个）非负的数的和等于0时，所有非负

26、的数式子分别等于0。 实数21、若a与b为倒数，则ab=12、一个正数的绝对值 实数3例1）一个数的绝对值是 ，求这个数？ 解：因为 绝对值均为 ，所以这个数为1、从有理数扩充到实数后，实数之间不仅可以加、减、乘、除（分母不为0）、乘方运算，2、正数及0可以进行开平方运算，任意实数可以进开立方运算。例2） （1）无限小数都是无理数；（2）无理数都是无限小数；（3）带根号的数都是无理数；（4）所有实数都可以用数轴上的点表示，反过来数轴上点都可以表示实数。例3） （1）有没有最小的正整数（最小的正整数是1）；（2）有没有最小的自然数（最小的自然数是0）；（3）有没有最大的负整数（最大的负整数是1）

27、（4）有没有最小的无理数 （5）有没有最小的实数（6）有没有绝对值最小的实数。 实数3例1）一个数的绝对值是 ，求这个数 实数4例4）已知X 2 , X是整数，求x的值。 解：分x 0时和x0时，两种情况进行讨论。例5） 2 的相反数是（ 1 ）（1）2 （2） 2 （3 ） 1/2 （4 ） 1/2 例6）下列实数 2/3; 0; ; ; 中，无理数有多少个？（A）1个（B）2个 (3)3个 (4) 4个答案：B例7） 9的平方根是（ B ）（A) 81 (B) 3 (C) 3 (D) -3 例8） 若0 x1时，则x2, x , 1/x ，的大小关系是（ B ） (D) 不能确定 例9）2

28、013的相反数是（ 2013 ） 实数4例4）已知X 2 , X是整数，求x的 实数5例10）1/2的倒数是（ 2 ）例11）设 ,a在两上相邻整数之间，则这两个整数是（ 3和4 ） 例12）化简： 解：原式3 3/2 -1- +1+1 3/2 - - (1- )= - 1 例13） 解：原式17+3*1+52例14）下列各式中，正确的是（ B ） 实数5例10）1/2的倒数是（ 2 ）例 实数6例15）如果a与1互为相反数，则a=( C )A. 2 B. -2 C. 1 D. -1 例16）肇庆市经济高速发展，已完成固定资产投资快速增长，达240.31亿元，用科学记数法可记作（ B ）240

29、.31108 B. 2.40311010 C. 2.4031109 D. 24.031109解：240.31亿240 310 000 0002.40311010(即小数点之后有10个数位。例17）数轴上A、B两点对应的实数分别是1和 ，若关于A点的对称点C，则点C所对应的实数是（ A ）解：高C点为X， 则有 XBBA ；即X 1X2 1 实数6例15）如果a与1互为相反数，则a=( C 实数7例18）已知 ABCDE为数轴上的五个点，且ABBCCDDE，则点P所表示的比较接近下列哪个数 ( C ) -1 B. 1 C. 3 D. 5解：因为A点为5，E点为9， AE长为9（5）14，分为四段

30、，每段长为14 43.5 所以B、C、D 三点在数轴上的位置为 1.5， 2， 5.5 ，从数轴上看，点P是比2大点，应最接近3，故应选C例19）如果x-y1/2 那么 2-x+y=( )解：原式 2-(x-y) = 2-1/2 =3/2例20）已知a,b在数轴上的位置如图18所示，试化简解：原式 a+b - a-b =-(a+b)-(a-b)=-a-b-a+b=-2a例21）如果规定符号“*”的意义是a*b=(a.b)/(a+b),求2*（-3）*4值解：原式（2 （3）/(2-3)*4 =6*4=(6 4)/(6+4)=2.4 实数7例18）已知 ABCDE为数轴上的五个点，且AB 实数8

31、例23）已知实数x y满足x-5+ =0 求代数式 的值。解： x-5 0 ；Y+4 0 所以 X5=0 ; Y+4=0 所以X5 ； Y4 ；X+Y1 （1）2012=1例22）比较2.5，3， 的大小，次序从小到大排列的是（ ）解：32.5 (因为 2.52=6.257)例24）计算 （1） （2） （3） （4） 解： （1）2 （2）2 （3） （4）3 实数8例23）已知实数x y满足x-5+ 实数 中考-11已知 （ ） 解： 所以xy 实数 中考-11已知 实数奥1例3）三个互不相等的有理数，既可以表示为1，a+b,a 的形式，也可表示为0, b/a ,b形式，求 的值。解：可以

32、表示为两种形式，也就是对应的元素分别相等， 即a+b, a 中有一个是0 . b/a, b 中有一个是1. 又因 a分母，a0. 所以 只能是a+b=0 即a=-b ; b/a=-1 所以 只能是b=1, 则有a=-1所以 （1）2012+12012=1+1=2例4）求证任意两个有理数之间都存在无穷多个有理数。证明：假设结论不成立，至少存在两个有理数a,b,它们之间只有有 限个（n个）有理数。它们的大小顺序如下： aC1C2C3.Cnb,这时(Cn+b)/2b也为有数， 且 aCn (Cn+b)/2bb,即在a与b之间找到了第n+1个有理数， 即(Cn+b)/2b ，这与假设相予盾。所以：任意

33、两个有理数之间都存在无穷多个有理数例1）一个数的相反数的负倒数是1/19,问这个数是多少？解：设这个数为b, 则有(1/(-b)）=1/19 所以b=19例2）若a是小于1的正数，试用“”号 将： a, -1/a, 1/a, -a , 0, -1 , 1 连结起来。解：-1/a-1-a0a10时，经过一、三像限，随着X的增大，Y值不断增大。当K0时，随着X的增大，Y值不断增大。当K0时，随着X值的增大，Y值不断减小。4、一次函数与一元一次方程的关系；当Y等于0时，一次函数也就是一元一次方程。5、对于两条直线L1，y=k1X+b1 直线L2: Y=K2X+b2 (1) L1 L2,则k1K2 且

34、b1b2; (2) L1L2 则 k1 K2 1（3）L1与L2重合，则k1K2 且b1b2八年级（上册）第14章 一次函数 11、对于X每一个确定的 一次函数（本1）例1）已知一次函数y=kx+b,当x=2时,y的值为4，当x=-2时,y的值为-2，求：k与b的值 。解：4k2+b ; -2=k(-2)+b 得 k= 3/2 ; b= 1 例2）一次函数过点（4，9）及（6，3） 求这个函数的解析式。解：设函数的解析式为：y=kx+b 则有 94x+b; 3=6x+b 解方程组得，k=-3/5 b=33/5 例3）一个函数的图象是经过原点的直线，并且这条直线过第四象限及点（2，3a）与点(a

35、,-6)，求这个函数解析式。解：因为图象过原点，所以函数是正比例函数，设函数为 y=kx 又图象过（2，3a) ; (a,-6) 所以有 方程组 3a=2k 及 6ak 得 a=2或a=-2 , 又因a=2过第四象限，而a=-2时，点（2，3a） 在第一象限不符合要求，a=2 此时，K= -3 函数解析式为：y=-3x. 一次函数（本1）例1）已知一次函数y=kx+b,当x=2一次函数（本1-1）例4）点P（x,y）在第一象限，且x+y=8, 点A的坐标为（6，0） 设OPA的面积为S （1） 用含X的解析式表示S，写出X的取值范围，画出函数S的图象。（2）当点P的横坐标为5时， OPA的面积

36、为多少？ （3） OPA的面积能大于24吗？为什么？解： （1）因y=-x+8 S OPA =1/2 6 y =3 (-x+8)=-3x+24（0 x8）当P的横坐标为5时 S3 5+249（3） 因0 x8 所以 0s0 , b0 (2) k0 ,b0(3) k0 (4) k0 ,b2 ）例6）在反比例函数 的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减少，则m的取值范围是（ ）解：因y都随x的增大而减少 ，因此1-m0 即 m1 一次函数 （中考1）例3）已知直线y=kx+b 经 一次函数 （中考2）例1）在平面直角坐标系中，点P（2，a）,在正比例函数y=（1/2）x的图象上，则点Q（a,3a

37、-5）位于第（ ）象限解：当x=2时，Y=1 所以点Q的坐标为（1，2） 即在第四象限。例2）函数 中自变量X的取值范围是（ ）解：x-20, 且 x-30 x2 且 x3 所以结果为x2 例3）正方形ABCD的边长为2，动点P从C出发，在正方形边上沿C B A的方向运动，（点P与A不重合），设点的运动路程为X，则 ADP的面积Y关于X的函数图象是（ ）面积Y关于X的解析式为？解： （1） （2）例4）已知关于X的一次函数Ymx+n 的图象如图，则 可化简为（ ）解：从图象可知， m0 所以 n-m0 原式n-m-(-m)=n 一次函数 （中考2）例1）在平面直角坐标系中，点P（2， 一次函数

38、 （中考3）例5）已知反比例函数 y=1/x，下列结论不正确的是（ D ）A 图象经过点（1，1） B 图象在第一、第三象限C 当X1 时 0y1 D 当X0时，y随的X增大而增大。例6）已知一次函数y=x+2与反比例函数y=k/x，其中一次函数y=x+2的图象过点P(k,5)(1)试确定反比例函数的表达式 （2）若Q是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点Q的坐标。解： (1) 因P过y=x+2 所以5k+2 k=3; 反比例函数为y=3/x (2) 方程组y=x+2 ; y=3/x 交点为x=-3 ,y=-1 ; x=1,y=3 因交点 在第三象限 所以点Q的坐标为（3，1）例

39、7）直线y=2x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B。（1）求A、B两点的坐标。（2）过B点作直线BP与x轴交于点P，且使OP=2OA，求ABP的面积。解： （1） B点的坐标为（0，3） A点的坐标为（ 3/2 ，0）(2)满足条件的有两点分别为 P（0，3）和P1（0，3）所以 ABP的面积 S11/2 (3+3/2) 3=27/4 S2=1/2 (3-3/2) 3=9/4 一次函数 （中考3）例5）已知反比例函数 y=1/x，下 一次函数 （中考3）例8） 在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲是运往已地，到达缷货后返回，设汽车从甲地出发X（h)时，汽车与甲地的距离为y(km), y 与

40、 x的函数关系如图所示。根据图象信息，解答下列问题：（1）这辆汽车的往、返速度是否相同？ 请说明理由。（2）求Y与X的函数表达式。（3） 求这辆汽车从甲地出发4小时与甲地的距离。解： （1） 不相同； 因为往、返的 路程相同，而所需的时不同，所以 速度也不相同。（2） 设y=kx+b 当0 x2时， 直线过（0，0） （2，120）两点， 因此 b =0 k=60 即方程为： y=60 x 当2 x2.5时，直线过 （2，120） 、（2.5，120） ； 因此，可得 b=120 , k=0 即方程为： y=120 当2.5x5时， 直线过（2.5，120） 、（0，5） 两点，因此，可得 k

41、=-48 b=240 即方程为：y=-48x+240 (2.50,即函数数值大于0（小于0）时，自变量的取值范围。例1）在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+1的图像与反比例函数Y=9/x的图像在第一像限交于点A，过A点作X轴，Y轴的垂线，垂足为点B、C，如果四边形为正方形，求一次函的关系式。解：依题意得,xy=9=OB*0C 又因为四边形为正方形， 即OB=OC=3 ， 点（3，3）也过一次函数， 所以3K*3+1 得K2/3,一次函数 为y=2/3x+1例2)如图：已知函数y=x+b 和 y=ax+3 图像交点为P(x坐标为1），则不等式x+bax+3的解集为（ x1 ） 一次函数 （中考

42、4）任何一次函数都可以转化为一元一次不等 一次函数 （中考5）例3）在同一坐标系内，直线L1：Y（k-2）x+k和L2：y=kx的位置可能为图中的（ B ）A : B: C: D解：第一个图：当K0,k-20 K20时，即0k0 k-20时，即 k2时，也可符合。因为两种以上不能确定，因而得另找它法。解方程：y =(k-2)x+k y=kx 得2x=k x=k/2 y= 即它们的交点为（k/2, ） 可得，交点必在第一或者第二像限，因此可排除C、D两种情况，故只有B正确 一次函数 （中考5）例3）在同一坐标系内，直线L1：Y 一次函数 奥1例1）(1-) y与x-2成反比例，若X4，Y1/4,

43、求Y与X之间函数关系式。 (2-)若y+m与x+m成正比例，且当x=1时，y=2; 当x=-1时，y=1,求y与x之间函数关系式。 (3-) 已知函数y=y1+y2，其中y1是关于x的正比例函数，y2是关于x的反比例函数，且当x=2 时y=8；x=4 时，y=13 求y关于x的函数关系式。解： (1) y=k/(x-2) 即 -1/4=k/(4-2) k=-1/2 所以y与x函数关系式：y=-1/(2x-4)被 (2-) y+m=k(x+m) 得 2+m=k(1+m); 1+m=k(-1+m) 所以 得k=1/2; m=-3 函数关系式为：y=1/2x+3/2 (3-) y=y1+y2=k1x

44、+k2/x 得 8k12+k2/2 ; 13=k14+k2/4 解方程得 k1=3 ; k2=4 函数式为：y=3x+4/x (这叫待定系数法）例2）如果一直线经过不同三点A(a,b) , B( b,a) , C(a-b,b-a),那第直线l经过第（ ）象限。解：设直线为y=kx+c ,依题意得：b=ka+c ; a=kb+c ; b-a=k(a-b)+c 若a=b, 即三点变为两点（a,a）;(0,0), 与原题意过三点不符。所以ab. 由 b=ka+c ; a=kb+c 得 b-a=k(a-b) k=(b-a)/(a-b)=-1. 由a=kb+c k=-1 得 c=a+b 所以 b-a=-

45、1(a-b)+(a+b) 得 a+b=0 即c=0 Y与X的函数关系式为：y=-x 图象过二、四象限。 一次函数 奥1例1）(1-) y与x-2成反比例，若X 一次函数 奥23已知平面直角坐标系内A、B两点的坐标分别是A(2,-3),B(4,-1)。 P(x,0) 是X轴上的一个动点， 当X= 时， PAB的周长最短。解：作点B关于X轴的对称点B ， 则B 的坐标为（4，1） ，连结B A，与 X轴的交点即为所求。 因为过直线y=kx+b (将点A（2，-3），B （4，1）代入方程） 得 y=2x-7 ; 当y=0时，X=7/2=3.5 4、不论k取何值 表示的函数的图像经过 一个定点，则这

46、个定点是（ ） 4、解：由 得 不论k 取何值 ，K都成立，这时解方程得所以这个点是（，）（解法二）K取二个特殊值，然后求出x ,y 的值 。 一次函数 奥23已知平面直角坐标系内A、B两点的坐标分 一次函数 奥35已知 则一次函数y=kx+k的图像与坐标 轴围成的面积是（ ） 解：由已知得，a=bk+ck ; b=ak+ck ; c =ak+bk 得 a+b+c=2k(a+b+c) 当a+b+c=0时，a=-(b+c) 则k=a/(b+c)=a/-a=-1 函数y=-x-1的图像与坐标轴围成的面积是：1/2 当a+b+c 0时，k=1/2 函数y=(1/2)x+1/2的图像与坐标轴围成的面积

47、是：1/4 一次函数 奥35已知 八年级（上册）第15章 整式的乘除与因式分解慨念-11）同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 5）幂的乘方,底数不变，指数相乘。即： 4）积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 即：6）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项里含有字母，则连同它的指数作为积的一个因式。即 ：7）单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。即：8）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一多项的每一项，化成单项式与多项式相乘，再把所得的积相加。即：2*）同底数幂相除，底数不变，指数相减。即 3）任何

48、不等于0的0次幂都等于1. 即：八年级（上册）第15章 整式的乘除与因式分解慨念-1115章 整式的乘除与因式分解慨念-29）添括号时，如果括号里边是正号，括到括号里边的各项不变号。如果括号前边是负号，括到括号里边各项都改变符号。10）单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含月的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。11）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加12）因式分解的公式 (1)ab+ac+ad=a(b+c+d)(2) (3) (5) (6) (7) 15章 整式的乘除与因式分解慨念-29）添括号时，如果括号15章 整式的乘

49、除与因式分解慨念-312）多项式除以单项式，先把多项式的每一项除以这个单项式，现把所得的商相加。13）把一个多项式化成几个整数的积的形式，叫做因式分解。也叫分解因式。它与整式的相乘是互为逆运算。14）两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。也叫平方差公式。 即： 倒过来：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积 即：15）两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（减去它们积的2倍）。也叫完全平方公式。即： 倒过来：两个数的平方加上（减去）这两个数的积的两倍，等于这两个数的和（差）的平方。即： 15章 整式的乘除与因式分解慨念-312）多项式除以单项式15章 整式的

50、乘除与因式分解慨念-416）同类项：所含的字母相同，并且字母的次数也相同的项。17）单项式的次数：所有字母指数的和，叫单项式的次数。18）幂：几个相同因数乘积的运算叫乘方，运算的结果叫幂。15章 整式的乘除与因式分解慨念-416）同类项：所含的字15章 整式的乘除与因式分解本-2例4）计算： 例5）分解因式： 解 （1） 原式x(x2-9)=x(x+3)(x-3)原式(2x)4-1=(2x)2+1) (2x)2-1) =(2x)2+1)(2x+1)(2x-1) (3)原式-y(3x)2-6xy+y2)=-y(3x-y)2(4)原式(2a)2+4ab+b2=(2a+b)2例7） 已知一个多项式与

51、 的和等于 这个多项式是（ 5x-1 ）例8）已知 的值是多少？（ 7/2 ）15章 整式的乘除与因式分解本-2例4）计算： 15章 整式的乘除与因式分解中考-1例1）已知 求代数式 的值( 5/12）解：设它们之比值为K ， 然后得x=2k y=3k z=4k 代入代数式计算即得所求的值。例2）若 的和是单项式，则 多少？ 解：因为和为单项式，所以指数相等，即可求出m和n. 例3）已知ABC的边长分别为a,b,c,且 a,b,c 满足 ，那么这个三角形是什么三角形？解：化简后得 （a-b）2+(a-c)2+(b-c)2=0 即有a=b=c 三角形是等边三角形。15章 整式的乘除与因式分解中考

52、-1例1）已知 15章 整式的乘除与因式分解中考-24、若的值（ ）A一定是负数 B一定是正数C一定不是正数 D不能确定4、解： （肇庆2009，八年级竞赛）5若两个连续偶数的平方差为2012，则这两个偶数中较大的一个 是 ( ) 5、答案：504 解析： (x+x-2) (x-x+2)=2012 (2x-2) 2=2012 x=50415章 整式的乘除与因式分解中考-24、若5若两个连续偶15章 整式的乘除与因式分解奥数1例1）因式分解： 解：原式例2）因式分解： 解：设A=a+b B=b+c 则 A+B=a+2b+c原式 即有原式3(a+b)(b+c)(a+2b+c)例3）分解因式：解：

53、（a+b+c） =(a+b+c)例3的推论 （1）若a+b+c=0 即有 （2） 因 所以当a+b+c0时， （3） 当 a+b+c 0，且 时，则有 a=b=c15章 整式的乘除与因式分解奥数1例1）因式分解： 15章 整式的乘除与因式分解奥数2例4）若a,b,c是三角形的三边，证明： 证明：因a+b-c0 , a+c-b0 , a+b+c0 而a-b-c=-(b+c-a)0所以（ a+b-c） （a+c-b） （a+b+c） （ a-b-c ）0所以有 例5）分解因式 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1 (四个连续的自然数相乘的积是一个完全平方）解：原式 例6）若ab , xbx

54、+ay 证明：只要将分解因式，根据已知条件，比较就可以得出结果了。证明：因为 ax+by-(bx+ay)=x(a-b)-y(a-b)=(a-b)(x-y) 又因为 ab ,x0 ; x-y 0 所以(a-b)(x-y)0因此 ax+bybx+ay成立。15章 整式的乘除与因式分解奥数2例4）若a,b,c是三15章 整式的乘除与因式分解奥数3例7）解方程： 解：设A11-x ,B=13-x ; A+B=24-2X即有 解得 化为 3AB(A+B)=0 即有 A=0 或 B=0 或 A+B=0 从11x=0 13-x=0 24-2x=0 得 x=11 , x=13 , x=12经检验：11，12，

55、 13 都是完方程的解。例8） 已知非零的三个实数a,b,c 满足 求证： a+b ,b+c ,c+a 中至少有一个是0.证明：要分式有意义，须a 0 ,b 0 c 0 a+b+c0 0 从 得 (bc+ac+ab) (a+b+c)=abc c(a+b)+ab (a+b)+c=abc C(a+b)2+ab(a+b) +c2(a+b)+abc=abc (a+b)c(a+b)+ab+c2)=0 (a+b)c2+c(a+b)+ab =0 (a+b)(c+a)(c+b)=0 即有：a+b=0 或 c+a=0 或 c+b=0 即a+b, b+c ,c+a 中至少有一个是0. 15章 整式的乘除与因式分解

56、奥数3例7）解方程： 15章 整式的乘除与因式分解奥数3-1例9）因式分解 ： 解： 原式15章 整式的乘除与因式分解奥数3-1例9）因式分解 15章 整式的乘除与因式分解奥数410、若 则 的值为-解：11、已知a ,b 为正整数，且满足 则 a = ( ) b =( ) 解： 由 得 即（b+a)(b-a) =2011 1 所以只有 b+a=2011 b-a=1 解方程得 b=1006 a=100512如果实数 （ ）A 7 B 8 C 9 D106、解：去分母得：（8m+m)(n+1)=(8n+m)(m+1) 8mn+8m+n2+n=8mn+8n+m2+m 8(m-n)+(n-m)(n+

57、m)+(n-m)=0 (n-m)(n+m-7)=0又因 mn 所以m-n0 ; 即有 n+m-7=0 即 n+m=715章 整式的乘除与因式分解奥数410、若 15章 整式的乘除与因式分解奥数513、已知m,n 是整数，且 求m, n的值。解：由 得 即有： 所以 （n-2)2的值可取0或1 (1) 当（n-2)2=0时，即n=2 这时（m+n)2=0或1。 如果n=2, (m+n)2=0 即 m=-2 如果n=2, (m+n)2=1, 即有m=-1; m=-3 当n=2时有三组解，即（n=2,m=-2); (n=2, m=-1) ; (n=2, m=-3) (2) 当（n-2)2=1时，即

58、n=3 ; 或 n =1 如果 n=3, 这时 0 (m+n)2 1 即(m+n)2=0 得m=-3 如果 n=1, 这时 0 (m+n)2 0, B0; 或 A0, B0, B0; 或A0利用分式的性质，约去分式的分子和分母的公因式，这样的变形叫约分。第16章 分式慨念1-2分式有意义、无意义、等于零的条第16章 分式-书本-1例1）两个工程队共同参与一项工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三份一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，问哪个施工队速度较快？解：设总程量为1，则甲的速度为 1/3 ; 乙的月工作速度为1/x ， 即半月为1/2x 依题意有 1/3+1/6+1

59、/2x=1 X=1 ; 11/3 所以乙的速度比甲快。 例2）从2008年3月起，动车平均提速V千米/小时，用相同的时间，列车提速前行驶S千米，提速后比提速前多行驶50千米，提速前列车的平均速度是多少？解：设提速前的速度为x千米/小时。 行驶时间（相同）=s/x 提速后的速度为 x+v ,行驶时间（相同）=(s+50)/(x+v); 依题意则有： s/x= (s+50)/(x+v); 解方程得 x=(sv)/50 (合题意）例3）解方程X（1） a/(x-a) +b=1 (b 1) (2) m/x n/(x+1)=0 (m n, mn 0)解： （1）原式 a/(x-a)=1-b x=(2a-

60、ab)/(1-b) (2) m/x= n/(x+1) nx= mx+m (n-m) x=m x =m/(n-m) 第16章 分式-书本-1例1）两个工程队共同参与一项工程第16章 分式-书本-2例3）甲、乙两人分别从距目的地6千米和10千米的两地同时出发，甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20分钟到达目的地，求甲、乙的速度？解：设甲的速度为3v /小时 ,则的乙的速度为4v/小时. 依题意有 6/3v+20/60 =10/4v 解方程得 v=3/2甲速度为 3v=4.5km/h 乙的速度 4v =43/2=6km/h例4）张明4小时清点完一批图书的一半，李强加入清点另一半图书工作，两人合作