下册-东北大学高数期末考试试题

1、20082009 学年第二学期试题一、单项选择题（本题共 4 小题，每小题 4 分，共计 16 分）1.设函数 f(x,y)在点 的某邻域内有定义，且 f (0,0) 3， f (0,0) 1，则xy(A)dzdxdy；(0,0)(B) 曲面z f(x,y)在点 f 的一个法向量为1,1)；z f(x,y)在点 f 的一个切向量为；(C)曲线0yz f(x,y)在点 f 的一个切向量为(D) 曲线y 012. 设0u (n1,2, )，则下列级数中必收敛的是nn(A) u ； (B)(1) u ； (C)u ； (D)(1) u .nn2nnnnn1n1n1n11a3. 如果 ，则幂级数 a

2、x nn13na8nn0n(A) 当 x 8时收敛； (B) 当 x 2时收敛；11(C) 当 x 时发散； (D) 当 x 时发散.824. 设 是由球面x y z a x y z = .22222224432(A) ；(B) 4 a ；(C)；(D) .aa4a55555二、填空题（本题共 6小题，每小题 4 分，共计 24 分）1. 曲面x 2y 3z 21在点处的法线方程为.2222. 函数 f(x,y) x xy y 在点(1,1)处的全微分为.223. 已 知 曲 线 L 为 连 接 和 两 点 的 直 线 段 ， 则 曲 线 积 分1 / (x y)=.L4. 由 曲 面 z 4

3、3(x y ) 与 曲 面 z x y 所 围 立 体 的 体 积2222为.x y z5. 设 为 平 面 1 在 第 一 卦 限 中 的 部 分 ， 则 曲 面 积 分2 3 4x y z( )dS =.2 3 46. 设 f(x) 是 周 期 为 4 的 周 期 函 数 ， 它 在 上 的 表 达 式 为 2 x0f(x)s ， f(x) 的 Fourier 级 数 的 和 函 数 为 s(x) ， 则3, 0 x22.三、计算下列各题 （本题共 5小题，每小题 6 分，共计 30 分）1. 求过点M 和M 1)且与平面x yz 0垂直的平面方程.12z2. 设 z =f (e sin,

4、 x +y ), 其中 f 具有二阶连续偏导数，求.x22xy3. 设F(x,y,z)具有连续偏导数，且对任意实数 t 有Ftx,ty,) t F(x,y,z)(k 为k自然数)，试证:曲面F(x,y,z)0上任意一点的切平面相交于一定点设在任意点处F F F 0).222xyz4. 计算二重积分 ，其中D是由两条抛物线 y x，y x 所围成的闭区2D域.5. 将函数 f(x)x展开成关于 的幂级数，并求展开式成立的区间.x 1四、 (8 分) 设曲线积分Be f(x) ydx f(x)dy与路径无关，且 f(0) ，求x2Af(x)，并求当 ，B分别为（0，01，1）时的曲线积分值.五、(

5、8分) 计算积分I (x dydz y dzdx z dxdy是抛物面z x y 被22222平面z 4截下的有限部分的下侧.六、(8分) (10分平面通过球面 x +y z = x 2y 2z的中心, 且垂直于2222 / x 0直线L:, 求平面与球面的交线在xOy平面上的投影, 并求投影与(1,4,yz 0点的最短和最长距离. 1n1七、(6分)判断级数ln的敛散性.nn n1解答一、1. 【解】应选择 C. f (x , y ), f (x , y )存在只是全微分存在的必要条件，故A 是错误的。x00y00曲面z f(x, y)在点(0,0, f(0,0)的法向量为(f (0,0),

6、 f (0,0), (3,故B是错误的。为xy ( , )z f x y f(x, y)y 0z曲线即y 0 在点(0,0, f(0,0)x x切向量，,) 故 C 是 正 确 的 ， D 是 错 误 的 。 x0 x02. 【解】应选择 D.11u2,而收敛,由比较法, u2收敛,故 ( u2绝对收敛.nn2n2nnnn1n1n13. 【解】应选择 B11a x3nn1a x3n3a x x , x 即x 时333n1a88nnnna x3n收敛.nn04. 【解】应选择 B.422222 a45(x y z dv r r sindrdd 2d sind r dr a5000 x1 y2 z

7、2二、1. 【解】应填；146n (F ,F ,F ) (2x,4y,6z) n， (2,8,12)(1,2,2)xyz3 / x1 y2 z2所求法线为：1462. 【解】应填 ； f (x, y) 2x y, f 1； f (x, y) x 2y, f 1；dz dx dy(1,1)xxyy。3. 【解】应填 2 ；曲线 L的方程为：x y 1， (x y 2。LL4.【解】应填2 ； 122143r2 (4 4 ) r r dr V dv drdrdz 00r205.【解】应填 61；61 1 23 613 2 x y z 61( dS dS dxdy 2 3 43D36. 【解】应填s

8、 .4f(40) f(40) 3 .x 4是f(xs 24三、1. 【解】M M (12平面x yz 0的法向量n (1,1,1)1ij kM M n 1 0 2 2i j k1211 1 12x yz 0.所求平面方程为z2. 【解】e 2xx12 z2e sin ycosyf 2e ysin yf 2e xcosyf 4xyf e cosyf2xxxxy11121 z2e sin ycosyf 2e (ysin yxcosy)f 4xyf e cosyf2xxxy1114 / 3. 【证】 Ftx, ty, tz) =t , , z两边对 t 求导得kxF +yF +zF =kt 1F,

9、, z)k123令 t = 1, 有 xF +yF + zF =(, , z)xyz设x , y , z 为曲面上任一点, 则过此点的切平面方程为000F x x ) +F y y ) +F z z ) = 0 x0y0z0即xF x , y , z ) +yF x , y , z ) +zF (x , y , z ) =x , y , z ) = 0,x000y000z000000则过曲面上任一点(x , y , z 的切平面都经过坐标原点.000 4. 【解】 1x 0 x2D1121010 x(x x )2 x 2421x211x(x x ) 242015. 【解】 f(x)1x x (

10、 x (x 1)224n2n1x2两边积分1x x ( x )xx24n2n1x20011(nx x x x x 2n1x1 135352n1(x,y)e f(x)y, Q(x,y)f(x) P,xQxPf(x),e f(x)xy因曲线积分与路径无关，因此Q Pf x f x ( )e ( )x， 即x y( ) ( )e ,f x f xx1解得所以( ) e ef xxx211I e e ydx e e dyxxxx22(0,0)11e 1 11 10dx ee dy ee 11y222 e0005 / : z = 4 x +y 上侧, 则221 I 11设 和 所围成的区域为 ，则由高斯

11、公式可得1x y z 2 (x yz)222 13 ,z =2 = 240 x y z 16 ,2221x2y243 .I 3 球面(x 2) + y+ 4) + z + 4) = 36, 中心坐标(2,4, 4),222平面的法向量为(0,1, 1), 所求平面方程为y+ 4) + (z + 4) = 0,即y+ z = 0. 2 2 )x y z x y z222交线, 在 xOy平面上投影为yz 0( 2) ( 4)xy221. 3618z 0设投影上一点, , 0), 所求距离为 d = x 1) + y+ 4) + 1222(x2) (y4)22) ( 1) ( 4) 1 1 令F

12、x y( , , xy223618( xF x1)0( yxy0 , 解出驻点 (0, 0), (0, 8), (8, 4), (4, 4)F9y( ( xy221 d 18,d 50.minmax11 )nn lim1nn26 / 1xx) lim1112x2x limx21x0 x 0n 1 1n1级数收敛, 由比较审敛法, 级数ln收敛.n n2nn1n120092010 学年第二学期试题一、单项选择题（本题共4 小题，每小题4 分，共计16 分）1. 函数f(x, y) (x y 2x) 在闭区域(x y 1上的最小值为 22222.(A) ； (B) ； (C) 2； (D) 3.

13、2. 设函数f(x,y)连续，则二次积分1dy f(x,y)dx= .y00 (A)(C)1dx1f(x,y)dy； (B)( , ) ； (D)1dx f(x,y)dy；x0 x00 dy f(y,x)dx.11dy f x y dx1y0y003. 设为平面 1与三个坐标面所围成的闭区域，则x y z(x y z)dv =.(A) ；4. 设 (1) )，则级数 (B) 1/8；(C) 1/12；(D) 1/24.un1nn(A) 与 都收敛；(B) 与 都发散；uu2uu2nnnnn1n1n1n1(C) 收敛而 发散； (D) 发散而 收敛.uu2uu2nnnnn1n1n1n1二、填空题

14、（本题共5小题，每小题4 分，共计20 分）1. 已知a 1，b 2 ，a与b 的夹角为 ，则ab =.42. 设是由曲面 1 与z 0围成的立体，则的形心坐标.zx2y23. 设曲线 为连接 与 两点的直线段，则曲线积分(x yz)=.4. 设 为锥面 被平面z 1 结下的有限部分，则曲面积分zx2y27 / zdS =.5.幂级数的收敛区间为(,)则a应满足.a 2xnn三、计算下列各题 （本题共 5 小题，每小题 7 分，共计 35 分）n01. 求过点 (且与两个平面x4z 3和2 5 1的交线垂直的x y zM平面方程.2. 求函数u x 3yz在点处沿椭球面x 2y 3z 6在该点

15、的外2222法线方向的方向导数.3.计算 (x y ), 其中D是由曲线x y 2xx y 4x，y x和 0y222222D所围成的平面区域.4.求幂级数 (x (x2 (x3( (xnn1在其收敛域上的和23n(n1函数.并求的值.nn15.设 f(x) x x ,x,)是周期为2 f(x)展成 Fourier级数. 并21求级数的和.n2n1四、(8 分) 一质点在力 F F(x, y) (x y)i (x sin y)j 的作用下，由点22O(0,0)沿上半圆y 2xx 移动到点 ，求力 所作的功.AF2五、(8 分) 计算曲面积分xzdydz yzdzdx xydxdy，其中 是由抛

16、物面3z x y 和球面 4 所围成立体的表面外侧.22zx2 y22f六、(8 分) 设函数 f(x,y)有二阶连续偏导数，满足0，且存在一元函数yhu)，使 f(x,y) h( x y )，求 ( , ).f x y22七、(5分) 设F(x,y)(f (x,y), f (x,y)是在(x ,y )的某邻域内定义的向量函数，1200定义 ( ( , ( , f x y f x y( , ) ( , ) 为 (f (x,y), f (x,y) 的模. 如果f x y f x y21221212F(x x,y y)F(x ,y )(xBy,CxDy) o( x y )，其中2200008 /

17、,B,C,D是与x,y无关而仅与x ,y 有关的常数，o( x y )是 x y222200的高阶无穷小. 则称 ( , )在(x ,y )点可微，记为F x y00dF(x,y)(xBy,CxDy).(x ,y )00y设F(x,y) , x y )，求dF(x,y).22x(1,1)解答一、1. 【解】应选择 A; ( , ) x x 2 )(2 2)01，f 1.f x yx2y2xxf (x, y) x y 2x)2y 00y22yx2 y 2x 为的边界， f (x, y)在的边界上的值为零.2f f 0maxmin2.【解】应选择 ； f x y d dx f x y dy( ,

18、) = ( , )1dy f x y dx( , ) =y11000 xD3. 【解】应选择 ；z)218 zdv =3zdz dxdy(x y z)dv=31=31z =200Dz4. 【解】应选择 D111u (1) ) u 是交错级数 11n1 nnnnnn1111u ln(1) )u又limu lim) 01 nnnn1nnnnu 收敛nn11 2 1 21u2是正项级数u2) nnn nnn11发散u 发散2nnn1n1二、 5 ；9 / 因为 a b a b)(a b a ab b 2()21 1 2 1 2 2 2 5224所以 a b 532(0,0, ).8形心在z， 0 x

19、 y 2 1rcos r sin 2 sincos drd d ddr3drzdv 20002sin 102r4= 244 02 dv 3zdv34z dv833. 【解】应填6 14 ； x t 1曲 线的 参 数 方 程 为 2 1 ， 0 t 1 。y tz 3t 11222(x y zds (t 1 2t 1 3t 1 2 3 dt 6 1402 24. 【解】应填3 D x y z x2 y222xyx2y2 1 z z 1 222x2 y2x2 y2xy 22x y zdSDxy12 23 2= 22d1r dr 00 / 5. 【解】应填 1aaa(n1)20 a a 1n12n

20、1an2nnann2 21. 5； 2. (0, 0, 3/8)； 3. 9 14； 4.； 5. ( .3 ijk 三、1. 【解】 取平面的法向量n 1 0 4 4 3 ij k2 1 5所求平面方程为4(xy2)(z 0.2. 【解】 x 2y 3z 6的外法向量 n (2x,4y,6z)，n 222123外法向量的方向余弦 ， ， uxuu在处u u 2，u3， 3zyu coscosn xyz y23【解】ydxdy 4 y4 4y(y4 )=18.y22222Dn1( (xn4. 【解】 级数的收敛域为. 设s(x)，显然s 0.(0,2nn111( )1( ( ( ( s xxx

21、21xn1 n1(x x1 (x x ，s(x)s x ，所以s(x) x.xxs(0,2x11(n1令x 2得，=s(2)2 .nn111 (x x ) 25. 【解】 a f(x) 230112 (xx2)cos ( ) x2 a nf x 0 / 2 x sin2xsin2 2xcos2cos2 dx00nnn2n2004n4(n，nn2n2112 (x x ( ) x 0b nf x 22 x2cosn 2(n1 ，n0nnnn0 4(2(n2nf(x) cosnxsinnx ， x(,).3n2nn1f( f( x 时 f(x)的 fourier级数收敛到 22 .6412x时， ，

22、故23n2n2n1n1 记曲线 2 2 上由O(0,0)到点 的一段有向弧为 L ，则yx xW (x y)(xy)22L(x y)(xsin y)221，积分与路径无关.yx W (x y)(xy) 1x1y )222200L2 746 记 所围成的闭区域为，由 Gauss公式有， 2 2d3rdr 4r2 2zdz2r0032r24 .3r(4r 90fx六、(8分) 解h( x y )22xx y22 / f2( x y )( x y )2222yx y( x y )2222 31记r x y ，由已知，有(r) (r)022r1解得 (r)Cr，h(r) Cr C21212f(,y)C

23、 (x y )C .2212 由已知，得f (x x,y y) f (x ,y )(xBy)o( xyy)22100100f (x x,y y) f (x ,y )(CxDy)o( x).22200200因此， f (x,y), f (x,y)在(x ,y )点均可微，则1200ffffA，B 1，C ，D 212xyxy(x ,y )(x y,)(x ,y )(,x y)00000000y当 f (x,y) ， f (x,y)ln x y 时221x2f (x,y)yf (x,y)xf (x,y)xf (x,y)y，.1122xx y2yx y2xx y2yx y2222211.A ,B C

24、 D 22 / 20102011学年第二学期试题一、单项选择题（本题共5 小题，每小题4 分，共计20 分）1设f(x,y) x y ，则函数在原点偏导数存在的情况是 .24（）f (0,0)，f都存在（）f (0,0)不存在，f存在xyxy（C）f (0,0)存在， f不存在 （D）f，f都不存在xyxy2设平面 的法向量为 ( , , ) ，直线 L的方向向量为 ( , , )，则n A B C s m n pA B C 是平面 与直线L垂直的 .m n p(A)充要条件； (B)充分条件 ； (C)必要条件； (D)无关条件.3设 是球面x +y +z =R ，则下列结果正确的是 .22

25、224(A) ( ) 0；(B)dS R ； x y z dS233x(C) ( ) 0；(D) ( ) 4 .y z dS Rx2y2z2dS2224 () n4设常数 0，则级数 1 )。n2nn1（A）绝对收敛；（B）条件收敛；（C）发散； （D）收敛性与 取值有关。5C: f(x,y) （f(x,y) 为C 上从点 1, 1)LM到点N (1,的一段弧，则下列小于零的是（） f (x,y)dx（） f (x,y)dyLL（C） f (x,y)ds（） f (x,y)dx f (x,y)dyxyLL二、填空题（本题共5小题，每小题4 分，共计20 分）1设|a 3，|b 1，(a,b)

26、，则a b 在a b上的投影为.6 22交换积分次序2x x2 ( , ) 为f x y dy.dx12x13L的方程为| x| y1ds=.| x| y|2L / 20 x 14 ( ) f x , ( )是 ( )的以 为周期的余弦级数展开式的S x f x22 1 1xx和函数, 则 ( ) (2) .S S5设函数 ( , )由方程 ( )所确定，其中 ( )有连续导数，则z z x y x y uza b x yz.三、计算下列各题 （本题共 5 小题，每小题 6 分，共计 30 分）2z1 z fu,x,y), u xe f 。yyx2z 12求曲面z x y 的与直线垂直的切平面

27、的方程。22y2z 23计算二重积分yxdxdy,其中 D 是由直线,y 1，x 0所围成的平y xD面区域.4 (x y)(yz)(zx)是抛物面z x y 被平面 z = 122截下的有限部分下侧。n5求幂级数x 在收敛域内的和函数。n3nn1四、 (8 分) 设球体占有闭区域:x y z 2z，它在内部各点处的密度大222小等于该点到坐标原点的距离的平方，求球体对于 z 轴的转动惯量。五、(8分) 求抛物面与平面x y z 1z x2 y 2六、(8分设 f(x)是非负连续函数，且2f(x)dx 1，计算曲线积分0 xdy(ye )dx，式中 L为沿 ( )从点 (0,0)到(2, 0)

28、的曲线段.y f x OxL七、(6 分设级数 (a a )收敛， b b 收敛，证明级数 a b 绝对nn1nnn nn1n1n1收敛。解答 / 一、单项选择题（本题共5 小题，每小题4 分，共计20 分）1设f(x,y) x y ，则函数在原点偏导数存在的情况是 B.24lim f ( 0 ,0 )（）f (0,0)，f都存在（）不存在，fxxyy存在（C）f (0,0)存在， f不存在（D）f，f都不存在xyxyn A B Cs m n p2设平面 的法向量为 ( , , ) ，直线 L的方向向量为 ( , , )，则A B C 是平面 与直线L垂直的 Am n p.(A)充要条件； (

29、B)充分条件 ；(C)必要条件；(D)无关条件.3设 是球面x +y +z =R ，则下列结果正确的是 D22224(A) ( )x y z 0；(B)dS R ；2dS33x(C) ( ) 0；(D) ( ) 4.R4x2y2z2dS2y2z2dS () n4设常数 0，则级数 1 )C。n2nn1（A）绝对收敛；（B）条件收敛；（C）发散；（D）收敛性与 取值有关。5C: f(x,y) （f(x,y) 为C 上从点 1, 1)LM到点N (1,的一段弧，则下列小于零的是 B （） f (x,y)dx（） f (x,y)dyLL（C） f (x,y)ds（） f (x,y)dx f (x,y

30、)dyxyLL二、填空题（本题共5小题，每小题4 分，共计20 分）b1设| 3，| 1，(a,b) ，则a b 在a b上的投影为2.a6 2222x x2 f x y dy( , ) 为1 f x y ( , ).ydx12x02y13 设正向闭曲线 L 的方程为 | x| y1 ，则ds =| x| y|2L42.3 / 20 x 14 ( ) f x , ( )是 ( )的以 为周期的余弦级数展开式的S x f x 22 1 1xx和函数, 则 ( ) (2) 2+ 2.S S5设函数 ( , )由方程 ( )所确定，其中 ( )有连续导数，则z z x y x y uza b x y

31、z1.三、计算下列各题 （本题共 5 小题，每小题 6 分，共计 30 分） z21 z fu,x,y), u xe f 。yyz解 f e fyx12 z2 f e xe f e f xe f fy2yyyy111132123x2z 12求曲面z x y 的与直线垂直的切平面的方程。22y2z 2x1 y2z解 直线可化为，方向向量是k1/。111/2所以所求切平面的法向量是k1/，曲面的法向量(2x,2y,，令(2x,2y, k1/2)，得到切点坐标k x y z 2。所以切平面是化简得x y 1/2(z2) 0，2x2yz 2。3计算二重积分 yxdxdy,其中 D是由直线,y 1，x 0y xD所围成的平面区域.解 积分区域是直角三角形，D的不等式表示是D (,y)0 y x