正态分布原理

1、正态分布（一）正态分布正态分布的概率密度如果连续型随机变量x的概率密度为,（4.29）其中- gK+8, c 口，则称随机变量X服从参数为尹，的正态分布，记作O正态分布的数学期望和方差E（JTiD(冷=cr正态分布的图形有如下性质:1.它是一条以直线工=尹为对称轴的钟形曲线;2.它以横轴为渐近线，并且在 申尹士 处有拐点;3.它在 处取得最大值，最大值为:为)=由此可见，标准差越大仃）的图形就越平缓，标准差越小，六工）的图形就越陡峭。由此可见，标准差越大正态分布的分布函数一 JJ 一 JJ ?; + co ，（二）标准正态分布标准正态分布的概率密度参数尹=， = 1的正态分布，称为标准正态分布

2、，记为。标准正态分布的概率密度通常用机工）表示，一 JJ ?; + 一 JJ ?; + co ，(4.31)机的图形如图4.12所示，它是一条以纵轴（3）为对称轴的钟形曲线。图4.12标准正态分布概率密度函数标准正态分布的分布函数标准正态分布的分布函数通常用表示，图4.13标准正态分布函数标准正态分布函数表对于非负的实数1,可由标准正态分布函数表，直接查出33）的数值。对于负的实数，根据标准正态分布的对称性，可由下式翅t） = 12（4.33）计算出数值。标准正态分布分位数设随机变量应服从标准正态分布，对于给定的概率水平wQcacl），满足等式（4.34）（4.35）p （区m标）（4.34）

3、（4.35）的正数艺，称为标准正态分布的学水平的双侧分位数；满足等式P（城=二六时心=1-皿的正数弓，称为标准正态分布的女 水平的上侧分位数。图4.14正态分布双侧分位数例4.21假设,求下列概率: 汽队D；2.只53.；4.解%彳)=政1)=朔13 .1.5) = 1-1.5) = 1-0.9332=0.06683.4 %*心m登)-冲式=砂)-心 .=祯-1=2x0.9772-1 = 0.9544(三)正态分布与标准正态分布的关系如果x，则:LI)于是，在正态分布与标准正态分布的概率密度六工)和 加、分布函数汽心和例之间存在下列关系式：1.(4.36)1.(4.36)g)22.(4.37)

4、3.(4.38)3.(4.38)这就是说，计算任一正态分布随机变量的概率都能通过标准正态分布来实 现。例4.22设，求下列概率:解因为 54,4)，所以号航口，1)%-妒k %-妒k 2 j= (1) = 0.8413P(-2X6) = F(6)-y-2) = 2.=0.8413-(1-0.87) = 0.8413- 0.0013=0.8400例4.23设），求下列概率:Hu*)Hl小E)3.如厂小由）1.1.= P(l)-P(-l) = 2tP(l)-l = 2x 0.8413-1 = 0.68262.PX-2a = P-2aX + 2a) = 3+9cr)-ucr2.PX-2a = P-2

5、aX + 2a) = 3+9cr)-ucr= P(2)-P(-2) = 2(P(；2)-1 = 2x0.9772-1 = 0.95443.PX-3cr) = P-3crX + 3cr) = (尹+3b)gCT-P3.PX-3cr) = P-3crX + 3cr) = (尹+3b)gCT-PCT=(3)-(-3) = 2( 3)-1= 2x0.987-l = 0.P974从上面的结果可以看出，事件的概率很小，因此的取值几 乎全部落在区间（尹-次+由）内，超出这个范围的可能性还不到口二%。这就 是在产品质量控制中有重要应用的沁准则。（四）正态分布的应用正态分布在概率论和统计学的研究及应用中具有极其

6、重要的作用，它在各种 概率分布中居首要地位，是抽样和抽样分布的理论基础。这是因为：客观世界的许多现象都可以利用正态分布来近似地描述其统计规律性。例 如，人的身高和体重，电子产品的使用寿命，原材料的物理特性，各种各样的测 量误差都可以看作是具有“两头小，中间大”分布特征的随机变量。具有 这种特征的随机变量，一般可以认为是近似服从正态分布的。正态分布是许多重要分布的极限分布。例如可以用正态分布来近似二项分 布。正态分布在统计推断中有重要的应用。例如分布，充分布和F分布都 是服从正态分布的随机变量的函数。二项分布的正态近似德莫佛一拉普拉斯定理设随机变量服从参数为号P的二项分布卧），那么，当充分大时，X近似服从参数为尹=叩，W = 的正X-np态分布 状暨顷1-功）。也就是说，当M充分大时，应;5近似服从标准正态分布。在实际应用中，除要求K比较大外，还要求口.1导京.9,叩兰5和威1-夕冷5。例4.24假设产品的优质品率为30 %。试求在1000件产品中，优质品件数 在280件和350件之间的概率。解 设应表示在1000件产品中优质品的件数，则应服从参数为” =1颠，P = S的二项