勾股定理在高维空间中的推广及其应用

1、勾股定理在高维空间中的推广及其应用摘 要：勾股定理在平面中的基本内容“在任意一个直角三角形中两直角边的平方和是与第三 边平方相等”反之，“在一个三角形中如果满足两条边的平方和等于第三条边的平方那么该三角形 为直角三角形”，由此可以推导出在三维空间中正方体每个面的对角线的平方和等于空间对角线的 平方。工人建筑时墙角的测量、蚂蚁绕柱爬行最短路径等都应用到勾股定理，在三维空间中还有一 个比较普遍的应用就是“一个直四面体的三个侧面的面积的平方和等于这个直四面体的底面面积的 平方”。通过分析勾股定理在平面上的结构性质，推导出三维空间及 n 维空间的勾股定理，深入了 解勾股定理的性质特征和勾股定理的应用。

2、关键词：勾股定理；n维空间；应用Abstract：The basic content of in the plane of the Pythagorean theorem in any right triangle in two right angle side of the square and is equal to the square and third side and in a triangle if the two sides of the square and is equal to the square of third edges of the triangle trian

3、gle shape, which can be deduced in the three-dimensional space of each surface cube diagonal and the diagonal of the square space is equal to the square. The workers, the corner of the building when measuring the ants crawling around the column of the shortest path are applied to the Pythagorean the

4、orem in three-dimensional space and a common application is the three sides of a straight tetrahedral area of the square is equal to the straight tetrahedral area of the bottom surface of the square. Through the analysis of structural properties in the plane of the Pythagorean theorem, Pythagorean t

5、heorem derived three-dimensional space and n-dimensional space, understand the application characteristics of the Pythagorean theorem and Pythagorean theorem.Key words： The pythagorean theorem; n-dimensional; Spaceapplication目录 TOC o 1-5 h z 摘 要IAbstract I目 录 II1 研究背景及意义 12 研究方法 1文献索引法 2几何研究 2数型结合 2

6、类比推理法 32.5 反证法 33 研究对象 44 研究内容 4研究勾股定理在高维中的基本内容 4勾股定理在二维空间中的基本内容 4勾股定理在三维空间中的基本内容 5勾股定理在高维中的推广证明 5勾股定理在二维空间的推广证明 5勾股定理在三维空间上的推广证明 7 HYPERLINK l bookmark24 o Current Document 勾股定理在高维空间中的应用 9勾股定理在二维空间上的应用 9勾股定理在三维空间上的应用 10 HYPERLINK l bookmark38 o Current Document 研究勾股定理在高维空间推广应注意的问题 10 HYPERLINK l bo

7、okmark40 o Current Document 8 总结 11参考文献 12致 谢 错误！未定义书签。研究背景及意义勾股定理无论是在数学领域还是其他领域中都是占据着举重若轻的地位，从古至 今有多少数学、物理豪杰为之痴迷。赵爽周髀注中的勾股圆方图注；欧几里 得原本中他就写到了勾股定理；还有就是中国古代数学著作九章算术的第九 章勾股术。这些都是前人对勾股定理的理解以及获得研究成果，现在数学家们都在对 勾股定理进行更深入的研究。勾股定理是几何的基石，这就足以可以知道勾股定理在 几何中的地位是不可撼动的。远古人们对宇宙中自然形成的规律的自然起点，那就是 勾股定理，不管是在东方文明起源还是在西方

8、文化起源过程中，都有许多形形色色的 动人故事。在很久以前就有古人应用勾股定理测长度，二维空间中的勾股定理，是几 何中的一颗灿烂无比的夜光明珠，照亮了我们探索前进的道路，而三维、四维、乃至 n维空间勾股定理，是二维空间勾股定理的延伸和推广扩展，其运用更具有丰富的时空 性和现实性。每个科学研究的领域以及每个学术都有各自的延展性和不足性，没有任 何人的研究成果就是完美无瑕的，总有很多大大小小的不足。牛顿的万有引力，到后 来才有人的推广完善；爱迪生的灯的发明，也是后来进行完善与推广；以及中国古时 候的蔡伦造纸，刚开始的粗糙到现在的精美以及更多的用处。这些开始都有不足，都 是后来人在不断地去发掘完善。学

9、术是无尽的，知识是无边的，勾股定理的延伸推广 这是一个任重而道远的任务。关于n维欧式空间上得广义勾股定理研究及证明，最基 础的那就是平面的勾股定理的证明。我们本文主要研究探索的是勾股定理在三维空间 上的推广应用，开始以勾股定理基础利用初等数学知识，其主要是用数学方法推理证 明以计算机维辅助方法进行检查证明。研究方法文献索引法参考文献必须注意在质量比较高的期刊上查阅，仔细研究文献并通过自己的解析 和认知重新组织语言。文献索引法是每个人写论文的必要方法之一，文献的研究要有 正确方法，我们的论文中需要广泛查找并阅读勾股定理在高维空间的推广研究方面文 献资料，认真分析文献中作者对勾股定理在高维空间推广

10、中研究思想以及研究方法。 文献的中心思想与自己的思想研究相互结合，这样才能从文献中学习到更多的知识。 在查找文献的过程中，认真的阅读和研究文献，学习文献中的结构的技巧。在文献中， 认真借鉴证明方法，作者是如何证明的，是从哪些方面开始着手的。特别是他的证明 方法以及证明过程，这些都是我们特别要重视的，还有就是要研究别人的思想，那我 们可以去揣摩咀嚼，领会其中的精华。几何研究对于很多数学问题我们都可以运用几何的简便性进行相关的研究，从简单到难， 从平面到立体再到多维进行研究。几何是研究空间结构以及其性质的一门学科，最初 的平面几何就是研究平面上的直线、曲线的几何结构和性质，后来就是三维空间立体 几

11、何，研究立体几何的性质，面积体积的计算，例如双曲面、球面、锥面、椭球面以 及球体、椎体等1数型结合数型结合是我们在研究数学和物理领域中不可缺少的一种研究方法，在研究勾股 定理在高维空间的推广与应用这一问题中，数型结合是一种很实用而且也是很重要的 一种方法。数型结合就是用代数和图像几何相互几何分析的方法， 在研究高维空间 中我们进行直观的图形结合，更简便，更直观。开始研究勾股定理在二维空间中的证 明可以用数型结合，其次在研究勾股定理在三维空间中的证明，可以借助数型结合的 方法进行研究，最后在研究勾股定理在 n 维空间中的证明推广也有应用到数型结合的 方法。数型结合的思想简而言之的就是数和型的相互

12、转化从而解决你要求的问题的一 种思想方法。还有就是大家也有可能对这里的数和形不是很清楚，数型结合的“形” 就是指数字、数量关系、方程式、代数式、以及函数等等，那么形是什么的，形就是 指的是函数图像以及几何图像2。类比推理法春秋鲁班以茅草割手创造了锯子等就是类比的方法，然而在数学中类比的方法更 是比比皆是，类比的方法使我们在研究和探讨数学知识的过程中更加醒目，直观，使 我们的思维更加的活跃。在研究勾股的定理在高维空间中的推广就可以应用到类比法 从二维空间的勾股定理类比到三维空间，从三维空间的勾股定理类比到n维空间。类 比推理法在每个国家的科学研究也是深有应用，是不可缺少的一种研究方法。什么是 类

13、比推理，类比就是我们可以通过两个或者是两类事物的相似或者相像，可以类比推 理到他们的其他方面是否相似或者相像的一种方法。2.5反证法反证法我想大家对这个词都是十分的熟悉的，反证法顾名思义就是我们先假设一 个结论是不成立的，然后根据这个结论反起来进行论证，看是否与前面的真理相违背， 如果相违背说明这一假设成立，如果不违背那么这一假设不成立。在我们数学当中很 多证明的时候就可以应用到反证法，这种方法让抽象化的问题变得形象化。所以这是 我们必须要掌握的一种证明方法，对我们之后要对勾股定理在高维空间上的推广和证 明有着巨大的帮助。反证法特别适用于命题的真假的证明，反证法通常有下面这几个 步骤：1）假定

14、所要证明的命题的结论是不成立的2）根据我们假定的结论不成立进行严谨推理，我们在推理的过程中必定会出现下面 的两种情况之一：要么所得到的结果是与已知的条件相互矛盾；要么所得到的结果是 与公理或定理矛盾，3）根据上面所叙述矛盾的出现，我们可以断定，我们之前的假定“结论不成立”是 错误的。4）肯定原来命题的结论是正确的。反证法在研究勾股定理在高维空间的推广中也是一种十分重要的方法之一研究对象研究勾股定理在高维空间的推广以及勾股定理在高维空间上应用，通过从初中到 现在学习并了解的勾股定理，可以根据勾股定理在二维平面上空间结构的性质和特征 把这种勾股定理从平面的二维空间推广到三维空间以及四维空间 n 维

15、空间，这些都是 值得我们去研究和挖掘的。我们要在三维空间思维空间以及 n 维空间如何推导出勾股 定理，以及研究这些n维空间中的勾股数又是怎么样的有什么特征，我们要得到三维 空间四维空间得到勾股数的基本表达式。研究内容研究勾股定理在高维中的基本内容勾股定理在二维空间中的基本内容。勾股定理在二维空间中的基本内容我知道大家都很清楚了解，也就是我们在初中 学习的在平面上的勾股定理，是二维空间几何中的一个基础定理，这一重要的定理， 是必须要掌握的。在中学，我们把勾股定理定义为是在任意一个直角三角形中就会有 这个直角三角形的两条直角边的平方和等于其的三条边的平方的这么一个特征，那么 反过来如果两条边的平方

16、和等于第三边的平方，我们就可以称作这个三角形为直角三 角形，其两边平方和的边为两直角边，另一边为斜边，如果满足这样的数据我们称之 为勾股数，比如3、4、5, 5、12、13, 7、24、25等其表达式就是a2 + b2 =c 2， a、 b、c（ a、b、c为正整数）就是一组勾股数，a、b分别为这个直角三角形的两 条直角边，则C为该直角三角形的斜边3。由公式a 2 + b2 = c 2，可以推导出公式 c ai+b；。勾股数在我们学习的过程中遇到了很多，再就是特别注意的是勾股数 必须是整数，我们就收集到很多的勾股数如下：3、4、5， 5、12,13,7、24、25， 8、15、17， 9、12

17、、15， 9、40、41， 10、24、26,11、 60、61,12、16、20， 12、35、37,13、84、85， 14、48、50,15、20、25， 15、36、 39,16、30、34,16、63、65,18、24、30,18、80、82,20、21、29勾股定理在三维空间中的基本内容勾股定理在三维空间中的内容就相当于勾股定理从平面推广到了立体空间进行 的研究。把勾股定理又进一步高级化，从平面进化到了空间。我们可以把勾股定理在 平面上的结论类比到勾股定理在三维空间中的结论4比如在一个长方体这一立体中， 我们设它的棱长为a、b、c，长方体的立体对角线为d，且因为a、b、c、这三 条

18、棱长是相互垂直的，那么就有a 2 + b 2 + C 2 = d 2，还有就是在三维空间中一个直四 面体的三个侧面的面积的平方和等于这个直四面体的底面面积的平方，这些都是勾股 定理在三维空间上的基本内容。勾股定理在高维中的推广证明5.1 勾股定理在二维空间的推广证明二维空间上的勾股定理也就是我们初中课本里里所学过的平面勾股定理，然而在 二维空间中我们可以大胆的联想到二维空间上的向量知识，就是把勾股定理从二维空 间推广到向量当中。把一个直角三角形的第三边即三角形的斜边看作二维平面上的向 量，那么我们就可以把这个直角三角形的两条直角边看作是在平面直角坐标系中的两 条坐标轴上的投影，现在我们就可以把

19、勾股定理从另外一个角度去考察勾股定理的意 义（从二维平面转换到二维平面向量）。设这个直角三角形的三个顶点为 A 、 B 、 C ， C 就是直角三角形的直角点（ C 也是平面直角坐标系的原点）， AC 为直角三角形的直角边（也是平面直角坐标系中在y轴上的投影），CB就是直角三角形的另一直角边（也是平面直角坐标系中在x轴上的投影），那么AB就是直角三角形的斜边（也就是 二维平面上的向量）向量CA的模平方与向量CB模的平方的和等于向量BA模的平方, 那么我们就很容易的知道向量CA和向量CB是向量BA的一组正交基，我们从上面的 推理证明中,我们最终的推广的结果也就是我们从向量这一角度考察的直角三角形

20、的 勾股定理在二维空间上的意义。也就是这个向量长度的平方等于这个向量在它所在的 空间一组正交基上的投影长度的平方和5。还有第二种的证明方法就是利用相似三角 形的证法，如下：在已知直角三角形ABC中，其中C为直角，过点C作边AB上的高交于AB于点 H ,因此可以得到三角形ACH相似与三角形ABC，因为在三角形ACH与三角形ABC 中，角C与角ACH都为直角且以角为公共角，因此两个三角形的三个角相等，那么他们为相似三角形。同理，三角形ABC相似与三角形ABC，由此证明:设 BC 二 a设 BC 二 a，AC = b , AB 二 c ,可得到 =譽,b AH。转换成：a2 = c xHBb 2 =

21、 C X AH根据上面的两个方程式可以得到:a2 + b2 = c xHB + c xHA=c x（HB + HA）=c 2最终得到：a 2 + b 2 = c 2下面是第三种证明方法，如下所示：在如图5-1中，直角梯形ABDE中，已知ZAEC =ZCBD = 90。，A 二 AEC CDBAE = CD = b ， CE = BD = a， AC = BC = c，求证：a 2 + b 2 = c 2由已知条件可得:SaAECCDBab s c 2 2 由已知条件可得:SaAECCDBab s c 2 2 , aACB-乙,S _(a +b)a +b)AEDB为 S aAEC+ S aCDB

22、 + S aACB=SaAEDBab ab c (a + b+ + =，2 2 2ab + 乞二 ab + + b2勾股定理在三维空间上的推广证明在二维空间也就是平面中的勾股定理就是“在一个直角三角形中，两条直角边的 平方和与该直角三角形的斜边的平方相等，我们通常用表达式表示为a 2 + b 2 _ C2”通 过以上的结论那么我们要怎么样去把这个勾股定理从二维空间的推广到三维空间？ 在数学研究中我们通常用到数学的类比的推理方法去研究，我们可以大胆的去想象二 维空间的勾股定理表示的是线段的长度，那么如果是在三维空间中我们是否可以通过 空间中直角四面体的面积作为出发点呢？勾股定理在二维的直线关系类

23、比到三维空 间上面的关系，在三维空间直四面体ABCD中，作AE丄CD交于点e。证明(S)2 _(S)2 + (S)2 + (S)2aBCDaABCaACDaADB由图5-2我们可以设线段BA_ n ，线段CA_ m，线段DA_y，那么，我们连接be过a作BE的垂线交于点F .再连接AF设线段AE _c，线段AF _g根据上面所提到的要求，只需要证明:(1(1nm12丿_(SaBCD+ myk2 丿可以先从右边证明起，也就是先求出三角形BCD的面积表达式。为了求出Abcd的 面积，就可以应用高中所学过的知识点棱锥的体积公式1Sx n =1 f1 myn 丫3 A BCD3 aacd3 3 A B

24、CD之前作的AE垂直CD，所以现在c是三角形ACD的高于是可得：S_1 my _1 c xCD _1 c . m 2 + y 2aACD 222 my因此可以得到：c _；m2+y2m 2 y 2由等式两边同时平方，可以得到c 2 _ m 2yin 2 + y 2因为AF是三角形ABE中BE上的一条高，那么g就这个高的长度 三角形ABE的面积1 cn _1 g x BE2 2_1 n 2 + c 22那么就可以得到g _cn、.：c 2 + n 那么就可以得到g _cn、.：c 2 + n 2cnv c 2 + n 2带入 3 S aacd x n _2 1 s=一 73 aBCd1f1可以得

25、到1 f 1 myn_2丿3S ABCDXcn： c 2 + n 21jc 2 + n 2约掉1，并乘以则有：S aBCD_则有：S aBCD_ 1my那么，m 2y 2带入到(S風丄=1 m 2y 带入到(S風丄=1 m 2y 2m 2y 2y +m 2y 2丿(S pc=1 m 2n 2 +1 m 2y 2 +1 y 2n 2通过整理可以得到：(s=G+(S+(SBCDAABCaACDaADB这就是我们从三维空间中对勾股定理的做出的一个推广，推广出来的证明结论就 是在三维空间。中一个直四面体的三个侧面的面积的平方和等于这个直四面体的底面 面积的平方。上面所证就是勾股定理类比平面直角三角形推

26、广到三维空间中的四面 体并给出的证明。勾股定理在三维空间中的推广主要是应用了类比推理，这充分的体 现了数学中的数型结合的数学思想，当中我们有二维空间到三维空间整个类比推理的 过程当中我们要注意点的性质常常要推广导线的性质，而线的性质往往要推广到面的 性质。勾股定理在高维空间中的应用6.1 勾股定理在二维空间上的应用勾股定理与现实生活是密不可分息息相关的，在我们的现实生活中，你可能不会 去注意生活中的细节，生活中爱观察的人就会发现勾股定理也是时常伴随着我们的， 比如有一些建筑工人在给你们建造新房子的时候，他们要判断你这个新房子每一个一 个墙角是不是一个直角，在这个时候我们就可以应用到我们学习到的

27、勾股定理来解决 了。而且工人们只需要测量出你们新房子两个墙角边的长度和斜边的长度，那么他们 就可以来应用勾股定理来计算着三个数据是不是满足勾股定理，如果满足那么这个墙 角就是一个直角。勾股定理在三维空间上的应用在三维空间图形表面上的最短路程问题，就可以充分运用到勾股定理，将立体图 形展开在用勾股定理求路径。也是巧妙地将三维空间问题转化为二位空间问题。也能 直接使用空间勾股定理进行求解。三维空间上的勾股定理也是经常被人们所用的。我 们知道黎曼曾经解释说：“我们都知道比得葛拉斯定理，既是我们学过的勾股定理” 两条直角边的平方和等于斜边的平方，如果是矩形两条相临的边平方和就是对角线的 平a2 + b

28、2 = c2。我们把扩展到三维空间就可以轻易得a2 + b2+ c2 = d2，这个我们学 过立体几何的人都知道,d就是立方体的对角线.那么我们大胆的联想一下，在x高维 空间中是不是就是a 2 + b2 + c 2 + k2 = X 2 7关于勾股定理在三维空间的应用如下：在三棱锥P -ABC中，侧面pab、PAC、PBC两两相互垂直，且他们的面积均 为2,需要求出P点到底面ABC的距离为多少。因为侧面PAB、PAC、PBC两两相互垂直，所以线段PA、PB、PC相互垂。 设 PA二 a ， PB = b， PC 二c 则有 a xb = 4,a xc = 4,c xb = 4 所以 Ca x b xc 上=64a x b x c = 8 那么有V= V=x =P - ABCC - PAB 2 3 6 。由三维空间勾股定理可得G+（s=G s= 2梟 设点p到aPABaPACaABC， aABC。1 l 41 l 4底面ABC的距离为H，根据三棱锥的体积公式可求出：3x23h = 3x2、：3H = 3所以，H =仝2 即点P到底面ABC的距离为空， 。7 研究勾股定理在高维空间推广应注意的问题在二维空间中我们推广的