等腰三角形综合

1、等腰三角形一、巧用等腰三角形的性质解决腰上的垂线段问题方法点津(1)妙用“三线合一”性质，可以快速得到有关边、角的关系(2)巧用等积法可探究腰上的垂线段之间的数量关系说明：将同一图形的面积用不同的方法表示，从而得到一个等量关系，并利用得到的等量关系探究线段之间关系的方法称为等积法典题精练类型一等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等.如图，在ABC中，AB=AC,D是BC边的中点，DE,DF分别垂直AB,AC于点E,F.求证：DE=DF.已知：如图，D是4ABC中BC边上的中点，DE，AC于点E,DFAB于点F,且口=口尸求证：AABC是等腰三角形.如图，在4ABC中，AD是它的角平分线，且BD

2、=CD,DE,DF分别垂直于AB,AC,垂足分别为E,F.求证：田=FC.类型二等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半.如图，在4ABC中，AB=AC,CDAB于点D.求证：NBCD=NBAC.类型三等腰三角形底边(或其延长线)上一点到两腰的距离和(或差)等于腰上的高.如图6S5,在ABC中，AB=AC,CGAB于点G,P为BC上的一动点，PKAB于点K,PMAC于点M.试探究线段PK,PM与CG之间的数量关系.如图，在ABC中，AB=AC,BD是AC边上的高，P为BC延长线上的一点，PMAB,PNXAC,垂足分别是M,N.试探究线段PM,PN与BD之间有何数量关系.二、等腰三角形的多解

3、问题方法点津由于等腰三角形的边分两类：腰和底；角分两类：顶角与底角；顶角又分三类：顶角是锐角，顶角是直角，顶角是钝角，所以有关等腰三角形的探究性问题，往往需根据情况进行分类讨论典题精练类型一边分两类：腰和底1已知等腰三角形的周长是16cm.(1)若其中一边长为4cm，求另外两边的长；(2)若其中一边长为6cm，求另外两边的长；(3)若三边长都是整数,求三角形各边的长类型二角分两类：底角与顶角2已知一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的3倍少40,求这个三角形三个内角的度数类型三腰上中线分等腰三角形成两部分3等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成了21和27两部分，求等腰三角形的底边长和腰长类

4、型四顶角不确定的等腰三角形4已知等腰三角形一腰上的高与另一腰形成的夹角度数为40，求此等腰三角形的底角度数类型五等腰三角形的确定.如图，已知直线l外一点A及直线上一点B,试用尺规作图法，在直线l上求作一点P,使得PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有多少个？在图中作出点P的位置，并写出所有的等腰三角形.(注：点P的位置分别用P1，P2，P3，P4,来表示).如图，已知直线m，直线n于点O,点A到直线m,n的距离相等，在直线m或n上确定一点P,使4OAP为等腰三角形试回答：(1)符合条件的点P共有个；(2)若符合条件的点P在直线m上，请直接写出NOAP的所有可能的度数.三、有公共顶点的双等边三角

5、形方法点津有公共顶点的两个等边三角形，由等边三角形的性质和等式的性质，利用SAS可得到一对全等三角形.如图9S1所示.二XHCADE是等边三角形典题精练.如图，ABC和4ADE是等边三角形，AD是BC边上的中线.求证：BE=BD.如图，在等边三角形ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边三角形EDC,连接AE.(DBC和4EAC全等吗？请说明你的理由；(2)试说明AEBC；(3)如图，当点D运动到边BA的延长线上时，仍向上作等边三角形EDC,请问是否仍有AEBC,证明你的猜想.如图，已知ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D,使得4CDE是等边三角形，如果M是线段A

6、D的中点，N是线段BE的中点.求证：4CMN是等边三角形.如图，已知点A，C，B在同一条直线上，ACE，BCF都是等边三角形，BE交CF于点N，AF交CE于点M,MGLCN,垂足为G.求证：CG=NG.如图，等边三角形ABD和等边三角形CBD的边长均为a,现把它们拼合起来，E是AD上异于A,D两点的一个动点，F是CD上的一个动点，满足AE+CF=a，则4BEF是什么样的三角形？.如图，在RtABC中，NACB=90,NA=30,P为BC边上任意一点，Q为AC边上一动点，分别以CP,PQ为边作等边三角形PCF和等边三角形PQE,连接EF.试探索EF与AB的位置关系，并证明；(2)如图9-S7，当P为BC延长线上任意一点时，(1)中的结论是否仍成立？请说明理由；(3)如图9-S7，在RtABC中，NACB=90,NA=