直线与椭圆位置关系

1、 知识与归纳：1.点与椭圆的位置关系直线与椭圆xx2y2点用0，%)在椭圆aAi内部的充要条件是x2拉i；在椭圆外部的充要条件是x2拉i；a2b2a2b2在椭圆上的充要条件是尚唉”.直线与椭圆的位置关系.x2y2设直线l：Ax+By+C=0，椭圆C：一1,联立l与C，消去某一变量(x或y)得到关于另一个变量的一元二a2b2次方程，此一元二次方程的判别式为4，则l与C相离的A0.弦长计算计算椭圆被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为P1(x1，y1)，P2(x2，y)|ppT=%i(xx)2(yy)21k2xx，11-yy(k为直线斜率)形式(利用根与系TOC o 1-5 h z21

2、2“121212ik212数关系(推导过程：若点A(x,y)，B(x,y)在直线ykxb(k0)上，1122则ykxb，ykxb，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，1122 HYPERLINK l bookmark8 AB：(xx)2(yy)2；(xx)2(kxkx)2v;(1k2)(xx)2“1212121212 HYPERLINK l bookmark10 V;(1Bk2)(xx)24xx1212 HYPERLINK l bookmark12 或者ABq(xx)2(yy)2：(1xB1x)2(yy)2：(1.4)(yy)21212k1k212k212j(11)(yy)24yy)

3、1k21212一，直线与椭圆的位置关系x2y2例题1、判断直线kxy30与椭圆-1的位置关系164ykx3解：由ix2y2可得(4k21)x224kx20016(16k25)IB彳1TOC o 1-5 h z(1)当16(16k25)0即k亘或kHBl1时，直线kxy30与椭圆x2丁21相交44164(2)当16(16k25)0即k亘或k上!时，直线kxy30与椭圆x2y21相切44164当16(16k25)0即gk时，直线ky30与椭圆x2-y2-1相离x2y2例题2、若直线ykx1(kR)与椭圆一1恒有公共点，求实数m的取值范围5m解法一：ykx1由i2-y21可得(5k2m)x210kx

4、55m0，m5k210即m5k21115mm1且m5解法二：直线恒过一定点(0,1)当m5时，椭圆焦点在x轴上，短半轴长b4m，要使直线与椭圆恒有交点则4m1即1m5当m5时，椭圆焦点在y轴上，长半轴长a石可保证直线与椭圆恒有交点即m5综述：m1且m5解法三：直线恒过一定点(0,1)0212要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点(0,1)在椭圆内部U1即m15mm1且m5评述由直线方程与椭圆方程联立的方程组解的情况直接导致两曲线的交点状况，而方程解的情况由判别式来决定，直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系，直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交0(

5、2)直线与椭圆相切0(3)直线与椭圆相离0，所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具。或者可首先判断直线是否过定点，并且初定定点在椭圆内、外还是干脆就在椭圆上，然后借助曲线特征判断：如例2中法二是根据两曲线的特征观察所至；法x2y2三则紧抓定点在椭圆内部这一特征：点M(x,y)在椭圆内部或在椭圆上则一+1ooa2b2二、弦长问题x2yx2y2例3、已知椭圆1的左右焦点分别为21F1，F2,若过点理0，-2DD”直线交椭圆于A,B两点，求力ABF的面积解法一：由题可知：直线Jb方程为2xy204、104、109由e2y2可得9y214y40,yy%.(yy)24yy112112

6、122145解法二：F到直线AB的距离h2510V29即x10V29由i2y2,可得9x216x60，又AB31k2xH1121SS1ABh24v109评述在利用弦长公式ABJ1k2|x1评述在利用弦长公式ABJ1k2|x1x2(k为直线斜率)或焦(左)半径公式ABPFPFaexaex2a2e(xx)时，应结合韦达定理解决问题。121212例题4、已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点F作倾斜解为1A,B两点，求弦AB的长口分析：可以利用弦长公式AB1k2x小J(1k2)(x%)24xx求得，12、1212也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求解：(法1)

7、利用直线与椭圆相交的弦长公式求解-00000003AB11k2x小J(1k2)(xBx)24xx.因为a6,b3，所以c3J3.因为焦点在x轴上，12、1212所以椭圆方程为x2y21,左焦点F(73,0),从而直线方程为yv3x9.36972v;3由直线方程与椭圆方程联立得：13x2x36i0.设x1,x2为方程两根，所以x1巴.丁，xx3618,k；3,1213-、/一、一_48从而AB&k2xJ(1k2)(xHx)24xx一.12、121213(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解x2yx2y2由题意可知椭圆方程为36:1,设AF1mBFn,贝ijAF12m,BF12Bn.122在BAFF

8、中，AF2AF2FF22AFFFcos，即(12m)2m2362m634；TOC o 1-5 h z12211211232;所以m6.同理在IBFF中，用余弦定理得n6-，所以ABmn48.4、：3124y313一、求中点弦所在直线方程问题%2y2）引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在的直线方程。，代入椭圆方程并整理得:例过椭圆一一1内一点）引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在的直线方程。，代入椭圆方程并整理得:164解法一：设所求直线方程为(4k21)%28(2k2k)x4(2k1)2160又设直线与椭圆的交点为8(2k2k又设直线与椭圆的交点为8(2k2k)%124k21（%,y），则%,

9、%是方程的两个根，于是2212%又为的中点，所以一1%24(2k2k).224k21解得k1,解得k1,故所求直线方程为%2y40。解法二：设直线与椭圆的交点为、（%,y11所以%4，yy2，1212(%2,y2)，）为的中点，两点在椭圆上，则%24y216两式相减得(%2两式相减得(%2%2)4(y2y2)0,yy所以1.%1%11212%11212，即k,4(yy)21AB212故所求直线方程为%2y40。解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为（,y,由于中点为（，）,则另一个交点为4,2y,%24y216因为、两点在椭圆上，所以有_、_,.41%)2I4(2y)216两式相减得%2y40,

10、由于过、的直线只有一条，故所求直线方程为%2y40。、求弦中点的轨迹方程问题%2y2例过椭圆二三1上一点（，）作直线交椭圆于点，求中点的轨迹方程。6436解法一：设弦中点（%,y），弦端点（%,y）,（%,y）,11229%216y2576则有11，两式相减得9（%2%2）16（y2y2）0,9%216y2576121222又因为xx2x,12y1y22y，所以9X(xix2)16y(又因为xx2x,12yy9yy9x所以A2xx16y12而kPQy0 x(IB)9xy故面公。化简可得9x272x16y20(x)。y&可得xy&可得x2x8，y2y，211解法二：设弦中点（x,y），（x,y）

11、，由x7r-112一，_一_x2y24（x4）24y2,又因为在椭圆上，所以立立-1，即6436-1，（x4）2y2.所以中点的轨迹方程为1J二1（x）。169三、弦中点的坐标问题B（x2,y2），其中点P（B（x2,y2），其中点P（x0，y0），由题意解：解法一：设直线yx1与抛物线y24x交于A（x,y），11xH1得y24x消去得(xH1)24x，即x26x10，所以x。:3，y0 x0-1-2，即中点坐标为(3,2)。解法二：设直线yx1解法二：设直线yx1与抛物线y24x交于A（xyJ，B(x2,y2)其中点P（x0,y0），由题意得yy124x1，y24x22两式相减得y22y1

12、2-4(x2x1)，(yy)(yy)所以一2124，xx21所以yy4，即y2，xy13，即中点坐标为(3,2)。12000 x2y2例题5、已知P（4,2）是直线l被椭圆1所截得的线段的中点，求直线l的方程口369分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题.通常将直线方程与椭圆方程联立消去y（或x），得到关于x（或y）的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出X2,X2（或y2，yj2）的值代入计算即得.并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的解：方法一：设所求直线方程为y2k（X4）.代入椭圆方程，整理得(4k2Hl)x2B8k(4k2)x4(4k2

13、)23608k(4k2)设直线与椭圆的父点为A(x,y),B(x,y)，则x、x是的两根，xxll22l2l24k2lP(4,2)为AB中点，4824k(4k12),k1.所求直线方程为x2y80.TOC o 1-5 h z24k2l2方法二：设直线与椭圆交点A(x,y),B(x,y).:P(4,2)为AB中点，xx8,yy4.11221212B在椭圆上，x24y236,x24y236两式相减得(x2x2)4(y2y2)0,11221212说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式;解决弦长问题，一般应用

14、弦长公式.用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程即(xx)(xx)4(yy)(yy)0.1212121即(xx)(xx)4(yy)(yy)0.12121212.yy(XX)1,1212xx4(yy)21212,直线方程为X2y80.方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A（x,y），另一个交点B（8X,4y）.A、B在椭圆上，,X24y236。(8X)24(4y)236从而A,B在方程一的图形X2y80上，而过A、B的直线只有一条，.直线方程为X2y80.说明：直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题，“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法.若已知焦点是（33,0）、（*、；3,0）的椭圆截直线x2y80所得弦中点的横坐标是4,则如何求椭圆