人教版九年级下册数学同步培优课件03-262实际问题与反比例函数

1、第二十六章反比例函数 初中数学（人教版）九年级 下册第二十六章反比例函数 初中数学（人教版）知识点一反比例函数在实际问题中的应用利用反比例函数解决实际问题,先要建立反比例函数模型,即列出符合题意的反比例函数解析式,然后根据反比例函数的性质结合方程(组)、不等式(组)及图象求解.利用反比例函数解决实际问题的一般步骤:知识点一反比例函数在实际问题中的应用例1(2017湖北黄冈中考)月电科技有限公司用160万元作为新产品的研发费用,成功研制出了一种市场急需的电子产品,已于当年投入生产并进行销售.已知生产这种电子产品的成本为4元/件,在销售过程中发现:每年的年销售量y(万件)与销售价格x(元/件)的关

2、系如图26-2-1所示,其中AB为反比例函数图象的一部分,BC为一次函数图象的一部分.设公司销售这种电子产品的年利润为z(万元).(注:若上一年盈利,则盈利不计入下一年的年利润;若上一年亏损,则亏损计作下一年的成本)图26-2-1例1(2017湖北黄冈中考)月电科技有限公司用160(1)请求出y(万件)与x(元/件)之间的函数关系式;(2)求出第一年这种电子产品的年利润z(万元)与x(元/件)之间的函数关系式,并求出第一年年利润的最大值;(3)假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润z(万元)取得最大值时进行销售,现根据第一年的盈亏情况,决定第二年将这种电子产品每件的销售价格x(元)定在8元以

3、上(x8),当第二年的年利润不低于103万元时,请结合年利润z(万元)与销售价格x(元/件)的函数示意图,求销售价格x(元/件)的取值范围.(1)请求出y(万件)与x(元/件)之间的函数关系式;解析(1)当4x8时,设y=(k0),将A(4,40)代入,得k=440=160.y与x之间的函数关系式为y=.当8x28时,设y=kx+b(k0),将B(8,20),C(28,0)代入得,解得y与x之间的函数关系式为y=-x+28.综上所述,y=(2)当4x8时,z=(x-4)y-160=(x-4)-160=-.解析(1)当4x8时,设y=(k0),当4x8时,z随着x的增大而增大,当x=8时,z取得

4、最大值,z最大=-=-80.当8-80,当每件的销售价格定为16元时,第一年的年利润最大,最大值为-16万元.(3)第一年的年利润为-16万元,亏损的16万元应作为第二年的成本.又x8,第二年的年利润为z=(x-4)(-x+28)-16=(-x2+32x-128)万元.令z=103,则-x2+32x-128=103,当4x8时,z随着x的增大而增大,解得x1=11,x2=21.在平面直角坐标系中,画出z与x的函数图象如图26-2-2.图26-2-2观察图象可知:当z103时,11x21.当11x21时,第二年的年利润z不低于103万元.解得x1=11,x2=21.知识点二反比例函数在物理学科中

5、的应用反比例函数及其性质在物理学科中有着广泛的应用,涉及的物理知识:当功W一定时,力F与物体在力的方向上移动的距离s成反比例,即F=(W是常数);当压力F一定时,压强p与受力面积S成反比例,即p=(F是常数);在电路中,当电压U一定时,电流I与电阻R成反比例,即I=(U是常数).知识点二反比例函数在物理学科中的应用例2(2019江苏泰州姜堰期中)某个气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的压强p(kPa)是气球体积V(m3)的反比例函数,其图象如图26-2-3所示.(1)求反比例函数的表达式;(2)当气体的压强为48 kPa时,求V的值;(3)当气球的体积小于0.6 m3时,气球

6、将爆炸,为了安全起见,气体的压强应不大于多少?图26-2-3例2(2019江苏泰州姜堰期中)某个气球内充满了一定解析(1)设p与V的函数关系式为p=(k0),函数图象过点A(0.8,120),k=0.8120=96,反比例函数的表达式为p=.(2)将p=48代入p=中,得=48,解得V=2.当气体的压强为48 kPa时,气球的体积为2 m3.(3)将V=0.6代入p=,得p=160.故为了安全起见,气体的压强应不大于160 kPa.解析(1)设p与V的函数关系式为p=(k0),题型一利用反比例函数解决商品销售问题例1(2018江苏盐城东台一模)某农户共摘收草莓1 920千克,为寻求合适的销售价

7、格,进行了6天试销,试销中发现草莓每天的销售量y(千克)与售价x(元/千克)成反比例关系,已知第1天以20元/千克的价格销售了45千克草莓.现假定在这批草莓的销售中,每天的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)都满足这一反比例关系.(1)求y与x的函数关系式;(2)在试销期间,第6天的销售价格比第2天低了9元/千克,但销售量却是第二天的2倍,求第二天的销售价格;(3)试销6天共销售草莓420千克,该农户决定将草莓的售价定为15元/千克,并且每天都按这个价格销售,问余下的草莓预计还需多少天才可以全部售完?题型一利用反比例函数解决商品销售问题例1(2解析(1)根据题意可得y与x的函数关系式为y=

8、.(2)设第二天的销售价格是x元/千克,则2=,解得x=18,经检验,x=18是原方程的解.答:第二天的销售价格为18元/千克.(3)草莓的销售价格定为15元/千克时,每天的销售量y=60(千克),由题意得=25(天).所以余下的草莓预计还需25天才可以全部售完.解析(1)根据题意可得y与x的函数关系式为y=.例2(2016内蒙古呼伦贝尔中考)某药品研究所开发一种抗菌新药,经多年动物实验,首次用于临床人体试验,测得成人服药后血液中药物浓度y(微克/毫升)与服药时间x(小时)之间的函数关系如图26-2-4所示(当4x10时,y与x成反比例).(1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与

9、x之间的函数关系式;(2)问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为多少小时?题型二利用反比例函数解决医药问题图26-2-4例2(2016内蒙古呼伦贝尔中考)某药品研究所开发一解析(1)当0 x4时,设y与x之间的函数关系式为y=k1x(k10).将点(4,8)代入y=k1x中,可得k1=2,所以y=2x;当4x10时,设y与x之间的函数关系式为y=(k20).将点(4,8)代入y=中,可得k2=32,所以y=.因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y=2x(0 x4),下降阶段的函数关系式为y=(4x10).(2)将y=4代入y=2x中,得x=2;将y=4代入y=中,得x=8,则血液中

10、药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为8-2=6小时.解析(1)当0 x4时,设y与x之间的函数关系式为y=k函数图象架起解决函数问题的“桥梁”素养解读直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用图形理解和解决数学问题的素养.主要包括:借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分析数学问题;建立形与数的联系;构建数学问题的直观模型,探索解决问题的思路.直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段,是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础.函数是中学数学的核心概念,是中学数学的基础,是学好数学的关键.以函数为主线可以将很多数学内容“

11、串”起来(如函数、不等式、方程等).“学函数、用图象”具体体现:(1)用图象,从“形”的角度刻画和理解函数及其相关概念;(2)用图象,架起方程(不等式)通往函数的“桥梁”等.函数图象架起解决函数问题的“桥梁”例(2018江苏连云港中考)如图26-2-5,在平面直角坐标系中,一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象交于A(4,-2)、B(-2,n)两点,与x轴交于点C.(1)求k2,n的值;(2)请直接写出不等式k1x+b的解集;(3)将x轴下方的一次函数的图象沿x轴翻折,点A落在点A处,连接AB,求ABC的面积.典例剖析图26-2-5例(2018江苏连云港中考)如图26-2-5,在平

12、面解析(1)将A(4,-2)代入y=,得k2=-8, 故反比例函数的解析式为y=-.将B(-2,n)代入y=-,得n=-,解得n=4.k2=-8,n=4.(2)根据函数图象可知-2x4.(3)将A(4,-2),B(-2,4)代入y=k1x+b,得解得一次函数的解析式为y=-x+2,一次函数的图象与x轴交于点C(2,0),易知图象沿x轴翻折后,A(4,2).如图26-2-6,作AEx轴于E,BFx轴于F,解析(1)将A(4,-2)代入y=,得k2=-8, 图26-2-6SABC=S梯形ABFE-SBCF-SACE=(4+2)(4+2)-44-22=8,ABC的面积为8.素养呈现充分利用图象信息,

13、分析数学问题.(1)将A点坐标代入y=,可得k2的值,然后将B点坐标代入所求得的表达式,可得n的值;(2)观察函数图象,求不等式k1x+b0).(2)当S=2时,y=50.所以当面条粗2 mm2时,面条的总长度为50 m.解析(1)设y与S的函数关系式为y=(k0),4.(2017河南南阳新野期中)如图26-2-2所示,小华设计了一个研究杠杆平衡条件的实验,在一根长为1 000 cm的质地均匀木杆的中点O左侧的固定位置B处悬挂重物A,在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉,使木杆处于水平状态.改变弹簧秤与点O的距离x(cm),观察弹簧秤的示数y(N)的变化情况,实验数据记录如下:x(cm)101520

14、2530y(N)3020151210知识点二反比例函数在物理学科中的应用4.(2017河南南阳新野期中)如图26-2-2所示,小华设(1)观察数据,求出y(N)与x(cm)之间的函数关系式,写出自变量的取值范围;(2)当弹簧秤的示数是24 N时,弹簧秤与点O的距离是多少?随着弹簧秤与点O的距离不断减小,弹簧秤的示数将发生怎样的变化?图26-2-2(1)观察数据,求出y(N)与x(cm)之间的函数关系式,写解析(1)设y与x之间的函数关系式为y=(k0),把x=10,y=30代入上式,得k=300,y=.经检验,题表中其他数据都符合上式,y=(00时,p随着V的增大而减小,当p150时,V.1.

15、(2018浙江杭州拱墅期末)某个气球内充满了一定质量的气2.将油箱注满k升油后,轿车行驶的总路程s(单位:千米)与平均耗油量a(单位:升/千米)之间是反比例函数关系,反比例函数的表达式为s=(k是常数,k0).已知某辆轿车的油箱注满油后,当平均耗油量为0.1升/千米时,该轿车可行驶760千米,则当平均耗油量为0.08升/千米时,该轿车可以行驶千米.答案950解析当平均耗油量为0.1升/千米时,该轿车可行驶760千米,760=,解得k=76,s=,当平均耗油量为0.08升/千米时,该轿车可以行驶的路程s=950(千米).2.将油箱注满k升油后,轿车行驶的总路程s(单位:千米)与平1.已知某村的耕

16、地总面积为50公顷,且该村的人均耕地面积y(单位:公顷/人)与总人口x(单位:人)的函数图象如图26-2-3所示,则下列说法正确的是()图26-2-3A.该村人均耕地面积随总人口的增多而增多B.当该村总人口为50人时,人均耕地面积为1公顷C.若该村人均耕地面积为2公顷,则总人口有100人D.该村人均耕地面积y与总人口x成正比例C.若该村人均耕地面积为2公顷,则总人口有100人答案B由题图可知,人均耕地面积y(单位:公顷/人)与总人口x(单位:人)是反比例函数关系,函数的图象在第一象限,y随x的增大而减小,A,D错误;设y=(k0,x0),把x=50,y=1代入,得k=50,y=(x0),把y=

17、2代入y=,得x=25,C错误,由题图易知B正确.故选B.答案B由题图可知,人均耕地面积y(单位:公顷/人)2.某段公路施行“区间限速”,一辆汽车匀速通过该段公路,所需时间t(h)与行驶速度v(km/h)满足函数关系:t=,其图象为如图26-2-4所示的一段曲线,且端点为A(40,1)和B(m,0.5),则k=,m=;若行驶速度不超过60 km/h,则汽车通过该路段最少需要小时.图26-2-42.某段公路施行“区间限速”,一辆汽车匀速通过该段公路,所需解析由题意得,函数图象经过点(40,1),把(40,1)代入t=,得k=40,则函数解析式为t=,再把(m,0.5)代入t=,得m=80.把v=

18、60代入t=,得t=,所以当行驶速度不超过60 km/h时,汽车通过该路段最少需要小时.答案4080 解析由题意得,函数图象经过点(40,1),把(40,1)代1.为了预防“流感”,某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒,已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比例,药物燃烧完后,y与x成反比例(如图所示).现测得药物8 min燃毕,此时室内每立方米空气中的含药量为6 mg.研究表明,当每立方米空气中的含药量不低于3 mg时,消毒才有效,那么此次消毒的有效时间是()A.10 minB.12 minC.14 minD.16 minA.10 minB.12 minC.

19、14 min答案B设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y=k1x(k10),将(8,6)代入,得6=8k1,k1=;设药物燃烧完后y关于x的函数关系式为y=(k20),将(8,6)代入,得6=,k2=48,药物燃烧时y关于x的函数关系式为y=x(0 x8);药物燃烧完后y关于x的函数关系式为y=(x8),把y=3代入y=x,得x=4,把y=3代入y=,得x=16,16-4=12,此次消毒的有效时间为12 min.故选B.答案B设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y=k1x2.小颖和小亮玩掷骰子游戏,每人掷一次,分别得到a,b,两人约定:若点(a,b)落在如图所示的反比例函数y=(x0)的图象内,小

20、亮胜,落在图象外,小颖胜,若点落在图象上,则平局.获胜的可能性较大的是()A.小颖B.小亮C.都一样D.无法确定2.小颖和小亮玩掷骰子游戏,每人掷一次,分别得到a,b,两人答案A列表如下:所有等可能的情况有36种,落在函数y=(x0)图象内的情况有13种,落在图象外的情况有19种,小亮胜的概率为,小颖胜的概率为,小颖胜的可能性比较大.故选A.ab1234561(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(

21、6,4)5(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)6(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)答案A列表如下:所有等可能的情况有36种,落在函数3.物理学中有这样的事实:当压力F不变时,压强p和受力面积S之间成反比例,可以表示成p=.一个圆台形物体的上底面积是下底面积的,如图,物体正放在桌面上时,对桌面的压强是200 Pa,若物体翻过来放,对桌面的压强是. 答案300 Pa解析设物体下底面的面积为S.因为p=,一个圆台形物体正放在桌面上时,对桌面的压强是200 Pa,所以F=200S,又因为这个圆台形物体的上底面积是下底面积的,所以物体翻过来放时,对桌面的

22、压强p=300(Pa).3.物理学中有这样的事实:当压力F不变时,压强p和受力面积S一、选择题1.(2019湖北武汉江岸月考,9,)某学校要种植一块面积为200 m2的长方形草坪,要求两相邻边的边长均不小于10 m,则草坪的一边长y(单位:m)随其邻边长x(单位:m)的变化而变化的图象可能是() 答案C长方形草坪的面积为200 m2,x、y之间的函数关系式为y=,两相邻边的边长均不小于10 m,x10,y10,10 x20.故选C.答案C长方形草坪的面积为200 m2,x、y之二、填空题2.(2019福建龙岩上杭期末,14,)在温度不变的情况下,通过对气缸顶部活塞的加压,测出每一次加压后,缸内

23、气体的体积V(mL)和气体对气缸壁产生的压强p(kPa)的值如下表,则可以反映p与V之间的函数关系的式子是.体积V(mL)10080604020压强p(kPa)6075100150300答案p= 解析由题表中的数据可得,10060=8075=60100=40150=20300=6 000,故此函数是反比例函数,设函数的解析式为p=(k0),则Vp=k=6 000,故p与V的函数解析式是p=.二、填空题体积V(mL)10080604020压强p(kPa1.(2019山东德州德城一模,8,)某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序:开机加热到水温100 ,停止加热,水温开始下降,此时水温()与开机后用

24、时(min)成反比例关系,直至水温降至30 ,饮水机关机.饮水机关机后即刻自动开机,重复上述自动程序.若在水温为30 时,接通电源,接通电源后,水温y()和时间x(min)的关系如图所示,水温从100 降到35 所用的时间是()A.27 minB.20 minC.13 minD.7 minA.27 minB.20 minC.13 min答案C设反比例函数的解析式为y=(k0),将(7,100)代入y=,得k=700,y=,将y=35代入y=,得x=20,水温从100 降到35 所用的时间是20-7=13 min.故选C.答案C设反比例函数的解析式为y=(k0),将(2.(2019山东青岛平度期

25、末,12,)一辆汽车匀速通过某段公路,所用时间t(h)与行驶速度v(km/h)满足函数关系式t=(k0),函数图象为如图所示的一段曲线,若这段公路的行驶速度不得超过60 km/h,则该汽车通过这段公路最少需要h. 答案 解析将(40,1)代入t=,得k=40,当v60时,t=,该汽车通过这段公路最少需要 h.2.(2019山东青岛平度期末,12,)一辆汽车匀速通一、选择题1.(2019江苏淮安中考,8,)当矩形面积一定时,下列图象中能表示它的长y和宽x之间的函数关系的是() 答案B根据题意知,xy=矩形面积(定值),y是x的反比例函数,且x0,y0.故选B.答案B根据题意知,xy=矩形面积(定

26、值),y是x2.(2019湖北孝感中考,6,)公元前3世纪,古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡,后来人们把它归纳为“杠杆原理”,即阻力阻力臂=动力动力臂.小伟欲用撬棍撬动一块大石头,已知阻力和阻力臂分别是1 200 N和0.5 m,则动力F(单位:N)关于动力臂l(单位:m)的函数解析式是()A.F=B.F=C.F=D.F= 答案B由题意,得1 2000.5=Fl,则F=.故选B.2.(2019湖北孝感中考,6,)公元前3世纪,古希腊二、解答题3.(2019浙江杭州中考,20,)方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地,行驶里程为480千米,设小汽车的行驶时间为t(单位:小时),行驶速度为v(单位

27、:千米/时),且全程速度限定为不超过120千米/时.(1)求v关于t的函数表达式;(2)方方上午8点驾驶小汽车从A地出发,方方需在当天12点48分至14点(含12点48分和14点)间到达B地,求小汽车行驶速度v的范围;方方能否在当天11点30分前到达B地?说明理由.二、解答题解析(1)由题意得vt=480,v=.v关于t的函数表达式为v=.(2)从8点至12点48分经过的时间为小时,从8点至14点经过的时间为6小时,将t=6代入v=,得v=80;将t=代入v=,得v=100.小汽车行驶速度v的范围为80v100.方方不能在当天11点30分前到达B地.理由如下:从8点至11点30分经过的时间为小

28、时,将t=代入v=,得v=120.故方方不能在当天11点30分前到达B地.解析(1)由题意得vt=480,v=.1.(2018山东聊城中考,12,)春季是传染病多发的季节,积极预防传染病是学校高度重视的一项工作,为此,某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒.在对某宿舍进行消毒的过程中,先经过5 min的集中药物喷洒,再封闭宿舍10 min,然后打开门窗进行通风,室内每立方米空气中的含药量y(mg/m3)与药物在空气中的持续时间x(min)之间的函数关系,在打开门窗通风前分别满足两个一次函数,在通风后又成反比例,如图所示.下面四个选项中错误的是() 最新人教版九年级下册数学同步培优课件03-26A.

29、经过5 min集中喷洒药物,室内空气中的含药量最高达到10 mg/m3B.室内空气中的含药量不低于8 mg/m3的持续时间达到了11 minC.当室内空气中的含药量不低于5 mg/m3且持续时间不低于35 min时,才能有效杀灭某种传染病毒,此次消毒完全有效 D.当室内空气中的含药量低于2 mg/m3时,对人体才是安全的,所以从室内空气中的含药量达到2 mg/m3开始,需经过59 min后,学生才能进入室内A.经过5 min集中喷洒药物,室内空气中的含药量最高达到1答案C根据题图可得当0 x5时,y=2x,当5x15时,y=-x+11,当x15时,y=.由题图可知,A选项中的说法正确,不符合题

30、意.B项,当x=4时,y=8,故室内空气中的含药量不低于8 mg/m3的持续时间达到了15-4=11 min,B选项中的说法正确,不符合题意;C项,当y=5时,x=2.5或24,24-2.5=21.535,C选项中的说法错误,符合题意;D项,当y=2时,x=1或60,60-1=59 min,故D选项中的说法正确,不符合题意.故选C.答案C根据题图可得当0 x5时,y=2x,当50)图象的一部分,EF段是从20时到24时气温上升的图象.这天适宜肉鸡生长的时间为()1.(独家原创试题)周国凯是大棚养鸡专业户,经过多年的养殖,图26-2-5A.18小时B.17.2小时C.17小时D.16.8小时答案

31、B设直线AB的解析式为y=kx+b,把(0,22)和(4,18)代入,得解得直线AB的解析式为y=-x+22,把y=20代入,得x=2,故AB段不适宜肉鸡生长的时间为2小时;同理可得直线BC的解析式为y=x+14,把y=20代入,得x=6,8-6=2,故BC段不适宜肉鸡生长的时间为2小时;同理可得直线EF的解析式为y=2x-24,把y=20代入,得x=22,24-22=2,故EF段不适宜肉鸡生长的时间为2小时;把(8,22)代入y=,得k=176,所以函数解析式为y=,把y=20代入,得x=8.8,8.8-8=0.8,故CD段不适宜肉鸡生长的时间为0.8小时,所以全天适宜肉鸡生长的时间为24-2-2-2-0.8=17.2(小时).故选B.答案B设直线AB的解析式为y=kx+b,把(0,22.摩拜共享电动自行车采用“共享充电宝+自行车”的方式,插上电源容量为k mAh的“摩拜能量芯”即可使用.摩拜共享电动自行车行驶的总路程s(单位:km)与平均耗电量a(单位:mAh/km)之间满足反比例函数关系s=(k是常数,k0).已知“摩拜能量芯”充满电后,当平