材料力学中基本变形下内力求解的简便方法

1、材料力学中基本变形下内力求解的简便方法摘 要文章结合土木类专业和材料力学课程的特点，探索材料力学中基本变形下内力求解的简便方法。在研究构件的强 度和刚度等问题时，均与内力这个因素有关，经常需要知道构件在已知外力作用下某一截面上的内力值。文章在截面法的基础 上总结出了轴向拉压、扭转和弯曲基本变形形式下构件内力求解的简便方法。内力与外力有关，等于外力或外力矩的代数和，而 外力和外力矩符号的确定是关键。此方法的优点是将外力和外力矩的符号与变形联系起来，更加方便记忆和应用，实现了将材 料力学中的理论转化为解决工程问题的工具。关键词土木类专业;材料力学;基本变形；内力；截面法材料力学是土木工程等专业的学

2、科基础课，它以高 等数学、理论力学、大学物理等课程为基础，同时又为结 构力学以及一系列专业课打下重要基础。材料力学课 程的基本任务是将工程结构中的简单构件简化为杆件, 并对杆中的应力、变形以及稳定性进行计算分析，保证 结构能承受预定的载荷，选择适当的材料、截面形状和 尺寸,设计出既安全又经济的结构构件。课程目标为利 用材料力学的常用分析方法，研究杆件四种基本变形及 其受力变形的基本规律，建立工程相关力学问题的基础 知识和知识结构，为后续课程打下重要基础。通过学习 杆件强度、刚度、稳定性等基本知识，掌握简单超静定、 应力状态、强度理论、组合变形及压杆稳定等复杂工程 问题的分析方法，培养学生分析问

3、题与解决问题的能 力。土木类专业的培养目标是培养适应国家现代化建 设和经济发展需要，服务城镇化和城市现代化进程，德、 智、体、美、劳全面发展;熟练运用基础理论和专业知识, 具备获得土木工程及相关领域执业资格的能力；能在房 屋、道路、桥梁、地下等相关行业独立承担技术或管理工 作;具有创新意识、人文素养、社会责任感和一定国际视 野，以及良好的组织管理、沟通协调能力；在终身学习、 专业发展和领导能力上能够持续进步，成为土木工程及 相关领域的复合型应用人才。根据土木类专业的培养 目标和材料力学课程的特点，将材料力学中的理论转化 为解决工程问题的工具应该是土木类专业材料力学课 程教学中的关键，也应该区别

4、于力学和物理专业材料力 学课程的教学。物体的内力一般是指物体内部各质点之间的相互 作用力。物体未受外力作用时，其内部各质点之间就存 在着内力，这种内力能使质点的相对位置保持不变，从 而使物体保持一定的几何形状l1Jo当物体受外力作用而 变形时，内部质点间的相对距离发生改变，从而引起内 力的改变，即产生了附加内力口。材料力学所研究的内 力，就是物体内部各部分之间由外力作用而引起的附加 内力，简称为内力。这种内力随外力的增加而增加，到 达某一极限值时构件就会发生破坏。在研究构件的强 度、刚度等问题时，均与内力这个因素有关，经常需要知 道构件在已知外力作用下某一截面上的内力值,教学中 采用图1所示分

5、析方法。截面法为材料力学中求解构件 内力的常用方法A5，其基本思想是:无论构件发生何种 变形，画脱离体受力图时，其截面上的内力方向统一设 成与规定内力正向相一致,然后按照设定的参考轴建立 力系的平衡方程。求解所得的数值为正，说明所设内力 方向与实际同向，数值为负说明所设内力方向与实际反 向。此外还可从挠曲线的一般形式出发，通过边界条件 确定待定常数,能同时得到挠曲线方程，转角方程，弯矩 方程，剪力方程和支座反力回。本文在截面法的基础上 总结出了轴向拉压、扭转和弯曲基本变形形式下构件内 力求解的简便方法。此方法的优点是将外力和外力矩应力 强度分析外力 I内力I变形 刚度分析图1材料力学分析方法的

6、符号与变形联系起来，更加方便记忆和应用，实现了 将材料力学中的理论转化为解决工程问题的工具。一、轴向拉压变形轴向受拉杆件图2(a)所示，运用截面法求解横截面 m-m的内力，首先用假想截面在此处将杆件截断，保留 左部分或右部分为脱离体，用内力来代替移去部分对 保留部分的作用，其作用线与杆的轴线重合，即垂直于 横截面并通过其形心，故称这种内力为轴力，用符号Fn 表示。图2轴向拉伸试件取右段脱离体n为研究对象,根据轴力符号规定如 图3所示，假设横截面上的轴力为正，画脱离体的受力 图，如图2(b)所示。由于原直杆处于平衡状态，故截开 后各部分仍应维持平衡。根据平衡条件列平衡方程得圣八=0,Fn - F

7、 = 0,(1)F n= F图3轴力符号规定对于所研究的构件来说，其他构件作用于该构件上 的力称为外力。构件的内力是由外力引起的，内力是与 变形相联系的，内力总是与变形同时产生的。内力作用 的趋势则是使受力构件恢复原状，内力对变形起抵抗和 阻止作用。由式(1)可得出轴向拉压构件的轴力等于脱 离体上的所有轴向外力的代数和。将截面处的内力用 固定端约束代替，使脱离体成为悬臂梁如图2(c)所示。 由式(1)可得出当轴向外力使悬臂梁拉伸时，在平衡方 程中轴力与轴向外力符号相反，而移到等式另一端时符 号相同，轴向外力取正号。由此得出轴向外力使悬臂梁 拉伸时取正号，使悬臂梁压缩时取负号,此方法的优点 是无

8、论取左半段还是右半段脱离体为研究对象此方法 都适用，且将轴向外力的符号与变形联系起来。二、扭转变形如图4(a)所示圆轴受到一对外力偶Me的作用，使 其产生了扭转变形,求任一横截面m-m上的内力。可以 采用截面法,设想将杆件沿m-m截面截成两段，并取右 段n为脱离体如图4(b)所示，那么m-m截面上必有一 内力偶作用,该内力偶矩称为扭矩，用T表示。图4 扭转试件取右段脱离体n为研究对象,根据扭矩符号规定如 图5所示，假设横截面上的扭矩为正，画脱离体的受力 图，如图4(b)所示。根据平衡条件列平衡方程得x=0 , -T + Me = 0,2)T = M2)图5图5扭矩符号规定图6弯曲试件由式(2)

9、可得出扭转构件的扭矩等于脱离体上的所 有外力偶矩的代数和。将截面处的内力用固定端约束 代替，使脱离体成为悬臂梁如图4(c)所示。由式(2)可 得出当向固定端看去外力偶使悬臂梁逆时针转动时，在 平衡方程中扭矩与外力偶矩符号相反，而移到等式另一 端时符号相同，外力偶矩取正号。由此得出当向固定端 看去外力偶使悬臂梁逆时针转动时取正号，使悬臂梁顺 时针转动时取负号。三、弯曲变形弯曲变形是工程中最常见的一种变形形式。在工 程实际中，受到荷载作用产生弯曲变形的杆件是很多 的，通常把这种以弯曲变形为主的杆件叫作梁。如图6 (a)所示的悬臂梁，在外力作用下处于平衡状态。现假 想在距右端为a的横截面处，用一假想

10、的横截面m-m将 此悬臂梁截为两段,取右半段口为脱离体，并用内力来 代替左半段I对它的作用如图6(b)所示。为使右半段 脱离体保持平衡，在其截面上应该有两个内力，沿截面 切线方向的剪力FS和纵向平面内的弯矩M。取右段脱离体:为研究对象,根据剪力和弯矩符号 规定如图7所示，假设横截面上的剪力和弯矩为正，画脱 离体的受力图，如图6(b)所示。根据平衡条件列平衡方 程得f, = o,-F + F s = 0,(3)Fs = F由式(3)可得出弯曲构件的剪力值等于脱离体上的 所有外力横向外力的代数和。将截面处的内力用固定 端约束代替，使脱离体成为悬臂梁如图6(c)所示。由式 (3)可得出当横向外力使悬

11、臂梁绕固定端顺时针转动 时，在平衡方程中剪力与横向外力符号相反，而移到等 式另一端时符号相同，横向外力取正号。由此得出横向 外力使悬臂梁绕固定端顺时针转动时取正号，使悬臂梁 绕固定端逆时针转动时取负号。由式(4 )可得出弯曲构件的弯矩值等于脱离体上的 所有外力(横向外力和外力偶)对截面形心点矩的代数 和。将截面处的内力用固定端约束代替，使脱离体成为 悬臂梁如图6(c)所示。由式(4)可得出当外力使悬臂梁 下侧受拉时,在平衡方程中弯矩与外力对截面形心点矩 的符号相反，而移到等式另一端时符号相同，外力对截 面形心点矩取正号。由此得出外力使悬臂梁下侧受拉 时外力对截面形心点矩取正号，使悬臂梁下侧受压

12、时外 力对截面形心点矩取负号。四、应用算例梁横截面上的剪力和弯矩都是随横截面的位置变 化而变化的。由于在进行梁的应力和变形计算时，需要 知道沿梁轴线横截面上剪力和弯矩的变化规律。为了 形象地表明剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况，通常用剪 力图和弯矩图将剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况表示 出来。绘制剪力图和弯矩图的关键就是计算剪力和弯 矩值,下面的例题运用本文提出的弯曲变形内力求解的 简便方法，计算剪力值和弯矩值,进而绘制剪力图和弯 矩图。例题外伸梁尺寸及其上荷载如图8(a)所示，试作 该外伸梁的剪力图和弯矩图。图8剪力图和弯矩图解:首先求出梁的支座反力:FRA=8kN, FRB=12kN(1)作剪力

13、图AB段作用有向下的均布荷载，即荷载集度方程为q (x)=常数Cv0,所以剪力图为向下倾斜直线段;BC段没 有荷载作用，即荷载集度方程为q(x)=0，所以剪力图为 平行梁轴线的水平线段。无限靠近A点在点右侧截面上的剪力值 等于脱 离体上所有横向外力的代数和，取左半段为脱离体，并 将截面处的内力用固定端约束代替，横向外力Fra使左 半段悬臂梁绕截面顺时针转动取正值,所以无限靠近A 点右侧截面上的剪力值FSa 右=FRao无限靠近B点在点左侧截面上的剪力值等于脱离 体上所有横向外力的代数和，取右半段为脱离体，并将 截面处的内力用固定端约束代替，横向外力FRb使右半 段悬臂梁绕截面逆时针转动取负值，

14、所以无限靠近B点 左侧截面上的剪力值FSb左=-Frb。无限靠近B点在点右侧截面上的剪力值等于脱离 体上所有横向外力的代数和,取右半段为脱离体，无横 向外力，所以无限靠近B点右侧截面上的剪力值右=0。无限靠近C点在点左侧截面上的剪力值等于脱离 体上所有横向外力的代数和，取右半段为脱离体，无横 向外力，所以无限靠近C点左侧截面上的剪力值孩左=0。表1剪力值位置A右B左B右C左剪力F,(kN)8_1200根据以上剪力值并结合各段剪力图线形，便可绘出 剪力图如图8(b)所示。(2)作弯矩图AB段作用有向下的均布荷载，即荷载集度方程为q (x)=常数v0,所以弯矩图为下凸二次抛物线；BC段没 有荷载作

15、用，即荷载集度方程为q(x)=0，所以弯矩图为 倾斜直线。无限靠近A点在点右侧截面上的弯矩值等于脱离 体上所有外力对截面形心点矩的代数和,取左半段为脱 离体，横向外力Fra对截面形心点的矩为零，所以无限靠 近A点右侧截面上的剪力值Ma右=0。无限靠近B点在点左侧截面上的弯矩值等于脱离 体上所有外力对截面形心点矩的代数和，取右半段为脱 离体，并将截面处的内力用固定端约束代替，横向外力 Frb对截面形心点的矩为零,外力偶Mc使右半段悬臂梁 下侧受压,外力偶Me对截面形心点矩取负值，所以无限 靠近B点左侧截面上的弯矩值Mb左=-McO无限靠近B点在点右侧截面上的弯矩值等于脱离 体上所有外力对截面形心

16、点矩的代数和，取右半段为脱 离体，并将截面处的内力用固定端约束代替,外力偶Me 使右半段悬臂梁下侧受压,外力偶Me对截面形心点矩取 负值,所以无限靠近B点右侧截面上的弯矩值Mb w-M。无限靠近C点在点左侧截面上的弯矩值等于脱离 体上所有外力对截面形心点矩的代数和，取右半段为脱 离体，并将截面处的内力用固定端约束代替,外力偶Me 使右半段悬臂梁下侧受压,外力偶Me对截面形心点矩取 负值,所以无限靠近C点左侧截面上的弯矩值Mc左=-m。当弯矩图为抛物线时还应确定极值点才能绘出弯 矩图，求出剪力Fs=0的截面位置以确定弯矩的极值。假 设该截面距离梁左端点为X,截面上的剪力值等于脱离 体上所有横向外

17、力的代数和，取左半段为脱离体，并将 截面处的内力用固定端约束代替，横向外力fra使左半 段悬臂梁绕截面顺时针转动取正值，均布荷载简化为的 集中力使左半段悬臂梁绕截面逆时针转动取负值，于是 可求出在X处截面上剪力值,并令它为零。FS = FR _ qx = 0AB段内在剪力为零的截面上弯矩有极值，截面上 的弯矩值等于脱离体上所有外力对截面形心点矩的代 数和，取右半段为脱离体，并将截面处的内力用固定端 约束代替，横向外力Fra使右半段悬臂梁下侧受拉，横向 外力FRa对截面形心点矩取正值,外力偶Me使右半段悬 臂梁下侧受压，外力偶Me对截面形心点矩取负值，于是 可求出AB段内弯矩的极值。M极值=Fra X L6 _ ； q X 1.62 = 6.4kN.m表2弯矩值位置A右极值B左B右C左弯矩 M(kN.m)06.4_8_8_8由以上弯矩值并结合各段弯矩图线形，便可绘出该 梁的弯矩图如图8(c)所示。五、结论本文在截面法的基础上总结出了轴向拉压、扭转和 弯曲基本变形形式下构件内力求解的简便方法。内力 与外力有关,等于外力或外力矩的代数和，而外力和外 力矩符号的确定是关键。提出将截面处的内力用固定 端约束代替，使脱离体成为悬臂梁。轴向拉压变形