玻尔共振实验相空间拓展研究装置设计

1、玻尔共振实验）空间拓展研究装置设计摘 要 本文针对玻尔共振实验设计了 一套基于电子陀螺仪和三轴加速度计，配合Arduino的 振动角度和角速度采集装置%本装置可以对玻尔共振仪摆轮的运动状态进行测量，并 在此基础上绘制相图实验分析了多个稳定受迫振动周期下使用该装置测量的振动 角度，角速度数据实验结果表明测量角度的相对误差在0.8%以内，测量角速度的相 对误差在0.5%以内本装置采集数据间）较短，误差小，绘制的相图精度较高且连贯 性好，可以满足实验拓展需求这项功能改进提升了实验数据采集的信息化程度，增 加了原有实验项目的实验内容，可为玻尔共振实验的拓展研究和教学创新设计提供一 定的借鉴和技术支持关

2、键词玻尔共振仪；相图；陀螺仪；加速度计；装置设计DESIGN OF PHASE PORTRAIT EXPANSION RESEARCH DEVICE FORBOHR RESONANCE EXPERIMENTAbstract Based on the electronic gyroscope, 3axis accelerometer and Arduino, an angle and angular velocity measurement device were designed for Bohr resonance experiment. This device could measure

3、the motion of the Bohr oscillator and plot its phase portrait. The experi ment analyzed the angle and angu l ar velocity measured by this device with severa l stable forced vibration periods. The result of the verification experiment showed that the relative er ror of the measured angle was lower th

4、an 0.8% and the relative error of the measured angular velocity was lower than 0.5%. This device could collect accurate data with a high collection rate. The phase portraits drawn were of high accuracy and continuity, which could meet the needsof experimental expansion.This functional improvement di

5、gitalizes the data collection and increases the contentof the experiment , which provides references and technical supports for expanding research and innovating teaching design for Bohr resonance experiment.Key words Bohr resonator; phase portrait; gyroscope; accelerometer; device design(2)(2)(3)(4

6、)玻尔共振实验是一个经典的振动力学实验! 经过模拟验证，玻尔共振实验可以通过相平面法 进行分析现有的玻尔共振实验装置只能测 得振动的周期和振幅，无法获得某一特定时刻的 振动角度和角速度信息，进而也就无法绘制相 图来研究其振动过程$本文设计了基于电子陀 螺仪和三轴加速度计的相图绘制装置!设计思路 是利用三轴加速度计和陀螺仪分别测量玻尔共 振仪摆轮的摆角和角速度，从而绘制出足够准确 且连贯;较强的相图$本设计采用MPU6050 整合型电子陀螺仪和三轴加速度计，能够在动态 环境下精确测量模块的实时运动姿态，其精度很 高%#$该装置的设计可以改善玻尔共振实验的 实验流程和教学方法$为教学仪器智能化发展

7、! 以及实验与计算机技术的融合提供借鉴和技术 支持$1玻尔共振实验)图绘制原理系统由于外界激励所产生的振动称为响应! 周期性激励所引起的响应称为系统的受迫振 动5#$本文采用的是成都世纪中科公司生产的 ZKY-BG型玻尔共振综合实验仪(下文称玻尔共 振仪)$玻尔共振仪的摆轮由涡卷弹簧提供恢复 力矩，电磁阻尼器提供电磁阻尼力矩，电机和曲柄 连杆结构提供周期性的驱动力矩，进而做受迫振 动$系统动力学方程为6#r d2!= -k!-bG + moCOS)t(1)式中3为摆轮转动惯量，-kd是弹性力矩；b G是阻尼力矩是强迫力矩的幅值)是强迫力 k ?矩的圆频率。做以下标度变换：)2 = r，23 =

8、 r，d2!2 c2 + 23 十)o! (mcosG其中)o是系统的固有频率3是系统的阻尼系数$ 微分方程(2)的通解及有关系数为! ( A cos(a)t +)十 Be3l cos()G + a)A =.)0 )2)2 + 43)22)(arctan )0 ) ) 随着式(3)中的时间G项增大，该式右侧第二项会 逐渐衰减，此时该式只剩第一个周期振动项，说明 摆轮在一定时间后做稳定的周期振动$上式中 为摆轮振动与周期性驱动力矩的相位差$可以通 过三角函数变换得到受迫振动稳定时振动角度和 角速度的关系式(当2+!2(1A)2 (G)+A2式(4)为椭圆方程，其中G为角速度$当)=)o时 发生共

9、振，此时驱动力矩提供的能量达到最大值! 受迫振动的能量也达到最大+#$根据式(4)即可 绘制出受迫振动系统稳定振动时的相图$图1为 在一定参数(具体参数请见下文)下根据式(4)绘 制的受迫振动相图$2利用电子陀螺仪测量摆轮角速度电子陀螺仪被广泛应用于航空航天中飞行器 姿态测算和现代智能手机上，已经实现了小型化， 集成化，具有测量精度高，价格低廉等特点，可以 应用于玻尔共振实验的数据测量$MPU6050集成的电子陀螺仪可以同时测量偏 离三轴的角速度，并可以通过程序控制其数据采集 过程$电子陀螺仪有士 25O()/s, 士 5OO()/s,+ 1000()/s, + 2000 ()/s四个角速度测

10、量量程 可供选择9，并且分别对应着各自的转化常数，将 采集的原始数字信号除以对应的转化常数，即可 得到角速度物理量。玻尔共振实验摆轮的角速度 一般不会超过士500()/s，故控制MPU6050集成 的陀螺仪采用第二个量程，其转化常数为65.5。本 文选用了 Ardumo开发板作为控制设备，Ardum。 开发板可以编程控制MPU6050,并获取陀螺仪输 出的数字信号。将获得的数字信号除以转化常数 就可以获得角速度。由于玻尔共振仪摆轮仅做一 维振动，故只读取偏离一轴的角速度。3利用加速度计获取摆轮振动角度加速度计通常被用于飞行器姿态测量，飞行 器经常采用三个欧拉角来表示飞行器相对于地面 水平面的转

11、动，分别是横滚角、俯仰角和航向 角10，而玻尔共振仪摆轮转动可以看做是其中一 个欧拉角转动，故可以使用加速度计测量沿三个 轴方向上的加速度大小，并利用这三轴上的加速 度解算出偏离三轴的角度。图2加速度计测量振动角度原理示意图建立如图2所示的坐标系，水平静置时，设加 速度计于轴方向受重力加速度g,而x轴y轴 没有重力加速度分量。当加速度计转动一定角度 时，设转动后加速度计X轴与水平面的夹角为a , 与重力加速度的夹角为*，丫轴与水平面的夹角 为与重力加速度的夹角为轴与垂直的平 面夹角为 与重力加速度夹角为0 (夹角均取锐 角)0可计算出重力加速度在不同轴上的分量。 加速度计可以读取三轴上的加速度

12、，在只受重力 加速度影响下，这三轴的加速度即为重力加速度 在三轴上的分量。三轴上的重力加速度分量记为 Ax- ,Ay- ,Az- a综合角度关系可得Ax- (gsina (gcosag Ay ( gs；3 ( gcosggA (gsi0 (gcos0g3 gcosa = .g2 ) Ax gcos3 = .g2)Ay gcosy ( Jg)A g ( J AX + Ay +A 根据(5)式所述的关系可以推出Ax* ( arctanJ Ay + AA y33 ( arctanJ AX + AA 0 ( arctan ,5J AX + Ay这样，加速度计读取到的三轴加速度(Ah,Aw，A可以根据式

13、(6)转化成加速度计偏离三轴 的角度%11。实际实验中只需要取其中的一维 角度。I实验验证与结果可行性分析为了检测该装置设计的合理;，进行了实验 验证,并给出用该装置绘制的相图和实验结果的 误差。实验过程中，设备的各部分连接如图3所 示。MPU6050传感器被粘贴于玻尔共振仪摆轮 中心，传感器与Ardnino开发板用漆包线连接, Arduino开发板与电脑连接从而实现计算机对传 感器的实时控制。采用漆包线的原因是，漆包线图3装置连接图较轻且柔软，对摆轮的额外力矩可忽略不计利用基础玻尔共振实验，测得实验系统阻尼 系数3为0.0626,受迫力矩幅值与转动惯量之比 I为1.34,系统固有频率)o为4

14、.02rad/so在实验 中设置电机频率)为4.1rad/s并保持阻尼不变, 摆轮做受迫振动且稳定后测量的相图如图4所 示，可以看出，摆轮最终的运动状态在相空间表示 为一个稳定椭圆，证明此时系统输入的能量与耗 散的能量持平，振动达到了稳定，这一现象与理论 描述相一致。模拟图像图1采用了与实验相同的 系统参数进行模拟，将图4与图1相比较，二者在 形状与数值上均十分接近，进一步证明实验结果 与理论符合;好。角度/(。)图4受迫振动实验相图利用实验测量的数据可以推算出装置的实际 测量误差。当系统受迫振动时，摆轮的每一次周 期性振动在相空间都记录为一个椭圆，系统稳定 后，椭圆的形状和大小不再变化。如果

15、对系统稳 定后的多个振动周期进行记录，系统运动在相空 间的轨迹则会是多个形状大小一致且互相重叠的 椭圆(图4),每个椭圆对应一个振动周期，这些椭 圆总是经过相同的角度及角速度。利用绘制相图 所采集的数据，选取几个特定的角度或角速度，在 每个周期椭圆中都能够找到对应的测量数据。这 实质上可以看作对该角度或角速度的多次重复测 量，而其测量值的误差可以由多次测量的标准偏 差获得。表1为实验中测量不同角度时的绝对误差和 相对误差，表2为系统测量不同角速度时的绝对 误差和相对误差，两表中的测量数值为振动7个 周期所获得的平均测量值。由表中可以看出，测 量角度的平均值的相对误差控制在0+%以内，测 量角速

16、度平均值的相对误差均控制在0.5%以 内。这样的精度足以保证绘制图像的准确;。实 验中总共采集了 3676组数据，大量的数据保证了 图像的连贯;。表1实验角度测量数据理论角度/()453015153045测量角度/()44.930.014.89 15.1130.145.1绝对误差/()0.20.20.240.250.20.2相对误差/ %0.030.080.750.770.140.20实验数据还表明，实验中的实际测量误差大 于理论预测的传感器测量误差。经过多次实验后 总结得出：实验测量误差主要来源于装置运行时 的轻微抖动，这种抖动主要来自于实验时电机的 运转。在传感器记录数据时，这种干扰可以被

17、看 作是噪音。5结语为了使玻尔共振实验探究共振相空间特性的 拓展功能可以实现，本文在原有设备的基础上引 入了 MPU6050陀螺仪加速度计。玻尔共振仪摆 轮振动时的运动状态会同时被陀螺仪和加速度计 获取，其中，陀螺仪可以读取摆轮的角速度，加速 度计可以获取加速度数据并计算出摆轮振动角 度，并利用所得数据实时绘制相图。MPU6050传 感器需固定于玻尔共振仪摆轮中心，后将Ardurno表2实验角速度测量数据理论角速度/()/s)2001501005050100150200测量角速度/(i)/s)200.4149.999.649.850.199.9150.4200.5绝对误差/(i)/s)0.70.70.70.91.21.50.80.5相对误差/ %0.220.070.390.480.210.090.240.26开发板连接计算机并用相关软件处理数据及绘制 图像！通过对摆轮共振时的运动状态进行记录，绘 制出稳定共振运动的相空间！将实验相图与模拟 相图进行比对，可以看出，采用本装置绘制的玻尔 共振仪摆