导数与微分的定义

1、关于导数与微分的定义第1页，共35页，2022年，5月20日，22点36分，星期三第一节1.导数和微分的定义一、导数的定义四、导数的几何意义三、函数的可导性与连续性的关系二、单侧导数五、微分第2页，共35页，2022年，5月20日，22点36分，星期三一、 引例1. 变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为则 到 的平均速度为而在 时刻的瞬时速度为自由落体运动第3页，共35页，2022年，5月20日，22点36分，星期三2. 曲线的切线斜率曲线在 M 点处的切线割线 M N 的极限位置 M T(当 时)割线 M N 的斜率切线 MT 的斜率第4页，共35页，2022年，5月20日，22点3

2、6分，星期三两个问题的共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题第5页，共35页，2022年，5月20日，22点36分，星期三二、导数的定义定义1 . 设函数在点存在,并称此极限为记作:即则称函数若的某邻域内有定义 , 在点处可导, 在点的导数. 第6页，共35页，2022年，5月20日，22点36分，星期三运动质点的位置函数在 时刻的瞬时速度曲线在 M 点处的切线斜率第7页，共35页，2022年，5月2

3、0日，22点36分，星期三若上述极限不存在 ,在点 不可导. 若也称在若函数在开区间 I 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:注意:就说函数就称函数在 I 内可导. 的导数为无穷大 .第8页，共35页，2022年，5月20日，22点36分，星期三由定义求导数的步骤第9页，共35页，2022年，5月20日，22点36分，星期三一些基本初等函数的导数常数函数的导数幂函数的导数正（余）弦函数的导数对数函数的导数指数函数的导数第10页，共35页，2022年，5月20日，22点36分，星期三常数函数的导数解注：例2.第11页，共35页，2022年，5月20日，22点36分，星期三正弦函

4、数的导数解所以同理可得例1.第12页，共35页，2022年，5月20日，22点36分，星期三例3. 求函数解:幂函数的导数的导数更一般地第13页，共35页，2022年，5月20日，22点36分，星期三说明：对一般幂函数( 为常数) 例如，（以后将证明）第14页，共35页，2022年，5月20日，22点36分，星期三对数函数的导数解例4.第15页，共35页，2022年，5月20日，22点36分，星期三指数函数的导数解例5.（见1-4函数连续性的例3 ）第16页，共35页，2022年，5月20日，22点36分，星期三在点的某个右 邻域内五、 单侧导数若极限则称此极限值为在 处的右 导数,记作即(左

5、)(左)例如,在 x = 0 处有定义2 . 设函数有定义,存在,第17页，共35页，2022年，5月20日，22点36分，星期三定理2. 函数在点且存在简写为若函数与都存在 ,则称在开区间 内可导,在闭区间 上可导.可导的充分必要条件是且第18页，共35页，2022年，5月20日，22点36分，星期三四、 函数的可导性与连续性的关系定理1.证: 设在点 x 处可导,存在 ,因此必有其中故所以函数在点 x 连续 .即第19页，共35页，2022年，5月20日，22点36分，星期三在处的连续但不可导。注意: 函数在点 x 连续未必可导.证例1:处连续但不可导在试证处连续。在处不可导。在例2:01

6、/101第20页，共35页，2022年，5月20日，22点36分，星期三分段函数在分段点的可导性第21页，共35页，2022年，5月20日，22点36分，星期三解例6.第22页，共35页，2022年，5月20日，22点36分，星期三7. 设, 问 a 取何值时,在都存在 , 并求出解:故时此时在都存在, 显然该函数在 x = 0 连续 .第23页，共35页，2022年，5月20日，22点36分，星期三三、 导数的几何意义曲线在点的切线斜率为若曲线过上升;若曲线过下降;若切线与 x 轴平行,称为驻点;若切线与 x 轴垂直 .yx第24页，共35页，2022年，5月20日，22点36分，星期三曲线

7、在点处的切线方程:法线方程:切线法线例8， 求曲线在处的切线方程和法线方程。解：切线方程：法线方程：第25页，共35页，2022年，5月20日，22点36分，星期三一、微分的概念 引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则面积的增量为关于x 的线性主部高阶无穷小时为故称为函数在 的微分当 x 在取得增量时,变到边长由其第26页，共35页，2022年，5月20日，22点36分，星期三的微分,定义: 若函数在点 的增量可表示为( A 为不依赖于x 的常数)则称函数而 称为记作即定理:可微的充要条件是则在点可微,第27页，共35页，

8、2022年，5月20日，22点36分，星期三定理 : 函数证: “必要性” 已知在点 可微 ,则故在点 的可导,且在点 可微的充要条件是在点 处可导,且即第28页，共35页，2022年，5月20日，22点36分，星期三定理 : 函数在点 可微的充要条件是在点 处可导,且即“充分性”已知即在点 的可导,则第29页，共35页，2022年，5月20日，22点36分，星期三说明:时 ,所以时很小时, 有近似公式与是等价无穷小,当故当第30页，共35页，2022年，5月20日，22点36分，星期三微分的几何意义当 很小时,则有从而导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分,记作记第31页，共35页，2022年，5月20日，22点36分，星期三例如,基本初等函数的微分公式 (见 P66表)又如,第32页，共35页，2022年，5月20日，22点36分，星期三内容小结1. 导数的实质:3. 导数的几何意义:4. 可导必连续, 但连续不一定可导;5. 已学求导公式 :6. 判断可导性不连续, 一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.2. 增量比的极限;切线的斜率;第33页，共35页，2022年，5月20日，22点36分，星期三思考与练习1.