23讲第七章力法超静定结构的位移计算

1、结 构 力 学Structural Mechanics孟昭博 聊城大学 建筑工程学院7.9超静定结构的位移计算一、荷载作用下超静定结构的位移计算二、支座移动时超静定结构的位移计算三、温度变化时超静定结构的位移计算四、综合因素影响下的位移计算单位荷载法：用于求解静定结构的位移，也同样适用于求解超静定结构的位移，区别仅在于:内力求法不同。超静定结构的内力需要按力法（或后续的位移法等方法）求出。超静定结构的位移计算方法：1、荷载作用下超静定结构位移计算计算公式： -由虚单位力FP=1引起的内力。 -实际状态中超静定结构内力。 思路一：直接在原超静定结构相应截面上施加单位荷载，利用力法求出超静定结构的

2、MP图和M图，再用积分或图乘法求位移。与静定结构在荷载作用下的位移计算公式完全相同！例1：求梁中点竖向位移CV，EI为常数。解法一：1) 利用力法求出超静定结构的MP图。1A2ABl/2l/2CCABM 图A1l/8CABM 图ql/8l/8y2y12) 单位荷载加在原结构上，利用力法求出M图。思路二：利用静定的基本结构来求原结构的位移。 因基本体系与原结构等价。可任意选取静定的基本结构，把多余未知力看作荷载，把超静定结构转化为静定结构，位移计算公式中的MP仍为超静定结构的最终弯矩图M(唯一性).只需根据所求的位移在任意选取的静定的基本结构上施加相应的单位力建立虚拟力状态，并求出单位荷载作用下

3、的单位弯矩图 M 图，即可利用位移计算公式（或图乘法）计算出C点的竖向位移。1ABM图ACBM 图A1y1y2A2基本体系IABCql/4解法二：1) 利用力法求出超静定结构的MP图。2) 单位荷载加在基本结构I上, 求出M图。基本体系 IIABCqCABM 图y2A2CAM 图A1y11l/2解法三：1) 利用力法求出超静定结构的MP图。2) 单位荷载加在基本结构上II， 求出M图。三种解法计算结果相同，由于基本结构是静定的，在单位荷载作用下的内力易求出，因而位移计算就更为简捷。 超静定结构静定结构计算超静定结构位移的基本思路:利用基本体系求原结构的位移。计算超静定结构位移的步骤将计算出的多

4、余未知力作为外荷载超静定梁和刚架：超静定桁架：1、解超静定结构,作超静定结构的最终内力图（M，V，N）2、取原结构的任一基本结构并根据所求位移施加相应的单位 力作为虚拟力状态，并作出单位内力图（M或N，V）3、代入公式计算位移。在荷载作用下，位移计算公式为：课堂练习：已求得刚架M图如图，计算D点的竖向位移DV 。4m2m2m10kN/mABCD60202020M图:kNm解：(1)取基本结构一计算虚拟力状态 FP=122作出计算位移EI=常数(2)取基本结构二计算 FP=11()()=更简便！二、支座移动时超静定结构的位移计算支座移动下超静定结构一般将产生内力。因此除支座移动项外，还有内力引起

5、的变形项。位移计算公式为： 式中：M为超静定结构的最后弯矩图(荷载、支移、温变，制作误差等) 和 分别为原超静定结构在虚拟单位荷载作用下产生的弯矩 和有支座位移处的单位支反力 。 此法同荷载作用下第一种解法，超静定结构在单位力下的弯矩和支反力不易求，故也不常用！（1）直接按超静定结构来求位移： 超静定结构在支座位移下的位移计算，也可在其任一相应的静定基本结构上建立虚拟力状态，从而将问题转化为静定基本结构由多余未知力和保留的支座移动共同作用下产生的位移计算。（2）利用静定的基本结构来求原结构的位移。 式中，M为超静定结构最后弯矩图(荷载、支移、温变，制作误差等) 和 分别为原结构的任一基本结构在

6、虚拟单位荷载作用下产生的弯矩和基本结构中保留的支座移动相应的支反力 。 例2：图示单跨超静定梁，EI=常数，固定端A有一转角。求梁中点C的竖向位移CV。ABEIl/2l/2C解：(1)虚拟力状态 FP=1l/2l/2(2)作出并计算(3)位移计算？M图()l/4P=1()基本体系I基本体系II(3)计算位移：(2)作虚拟力状态下的单位弯矩图 【课堂练习】试计算图示超静定梁在支座移动时B点的转角qB。解 (1)作原超静定梁（因支移引起 ）的 最后弯矩图laqqABM 图11图三、温度变化时超静定结构的位移计算超静定结构在温度变化时的位移计算，同样可以在其任一相应的静定基本结构上建立虚拟力状态，从

7、而将问题转化为静定基本结构由于多余未知力和温度变化共同作用产生的位移计算。其位移公式为： 式中，M为超静定结构的最后弯矩图（荷载、支移、温变，制作误差等） 和 为原结构的任一基本结构由于虚拟单位荷载作用产生的单位弯矩和单位轴力。 例3：如图所示结构的 M 图已求出，见图 (b)；试求D 结点的水平位移 。各杆EI、 相同。(b) M图94.4EI94.4EI400600-508 m6 m-50-50BADC解：位移计算的公式为： 因为超静定结构的位移计算可以在任选的基本体系上进行。如取图(c) 所示基本体系求解超静定结构，则基本体系上作用有X1 及温度变化两种因素。 基本体系在 X1 及温度变化作用下的 M 图和原超静定结构的弯矩图完全相同，即图 (b)。(b) M图94.4EI94.4EIX1-50-50-50(c) 基本体系BADC0.750.7511661FN 图(b) M 图94.4EI94.4EIBADC-50-50-50M 图BADC四、综合因素影响下的位移计算在荷载及非荷载等因素综合影响下，其位移计算公式为 式中， 、 和 分别为超静定结构在全部因素影响下 的最后弯矩、轴力和剪力； 、 、 和 分别为原结构的任一基本结构由于虚拟 单位荷载作用产生的单位弯矩、单位轴力、单位剪力和