高中数学高考大纲及知识点讲解

1、第 第 10 18 页高中数学重点学问与结论分类解析一、集合与简易规律集合的元素具有确定性、无序性和互异性对集合A、B，AB 时，必需留意到“极端”状况：A 或B ；求集合的子集时是否留意到是任何集合的子集、是任何非空集合的真子集n M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n21，2n2. 2n4“交的补等于补的并，即C(AUB)CUAC B 并的补等于补的交UB)B)CAUC B”UU推断命题的真假关键是“抓住关联字词”；留意：“不或即且，不且即或”“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“一真一假”四

2、种命题中“逆者交换也”、“否者否认也”推矛、得果留意：命题的否认是“命题的非命题，也就是条件不变，仅否认结论所得命题”，但否命题是“既否认原命题的条件作为条件，又否认原命题的结论作为结论的所得命”充要条件二、函 数ama1指数式、对数式， n，am 1n amnamn amnan，alogaN Nab N logN b(a 0,a 1,N 0)，aa0 1，loga10 ，logaa 1，lg2lg5 1，logex lnx ，log b alog b，c，log aclogbn amm loga21映射是加；映射中第一个集合AB 中的元素不愿定有原像A B 中元素的原像可能没有，也可任意个值

3、域是映射中像集Bx y 轴垂线的公共点可能没有，也可任意个函数图像确定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不愿定能成为函数图像单调性和奇偶性奇函数在关于原点对称的区间上假设有单调性，则其单调性完全一样 偶函数在关于原点对称的区间上假设有单调性，则其单调性恰恰相反确定函数的奇偶性，务必先判定函数定义域是否关于原点对称确定函f (x) f (x) f (| x |)假设奇函数定义域中有0f (0) 0即0 f (xf (0) 0是f(x为奇函数的必要非充分条件确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：定义法取值、作差、鉴定、导数法；在选择、填空题中还有：数形结合法图像法、特别值法等等既奇又偶函数有

4、无穷多个f(x) 0，定义域是关于原点对称的任意一个数集7复合函数的单调性特点是：“同性得增，增必同性；异性得减，减必异性”复合函数要考虑定义域的变化。即复合有意义对称性与周期性以下结论要消化吸取，不行强记y fxy fxx 0y轴对称y f xxR f a x f bx成立，那y f xx ab2由xx (a x)(b x)2确定”对称推广二： 函数 y fa x， y f bx的图像关于直线 x ba 2ax bx确定对称y f xy f xy 0 x轴对称y f xy f x的图像关于坐标原点中心对称推广：f (x, y) 0y xbf ybxb) 0 ；f (x, y) 0y xbf

5、(ybxb) 0 5类比“三角函数图像”y f (x) x ax b(a b，则y f (x必是周期函数，且一周期为T 2|a b|如 果 y f (x)是 R上的周期函数，且一个周期为 T，那么f (x nT) f (x)(nZ)特别f (x a) f (x)(a 0) T 2af (x a) 1f (x)(a 0)恒成立，则T 2af (x a) 1f (x)(a 0)恒成立，则T 2a三、数列数列的通项、数列项的项数，递推公式与递推数列，数列的通项与数列的前n 项和公式aS,(n 1)的关系：n n(a 2(a 2a2 aa1,(n 2)必要时请分类争辩(a a)(aa)a )a ；a

6、an1 nn中：nn1n1n21nan1an21等差数列公差的取值与等差数列的单调性an a (n 1)d a1(n m)d ；p q m n aapq aa mna、ka 也成等差数列n1(k1)mn两等差数列对应项和差组成的数列仍成等差数列a a12a ,amakm1,仍成等差数列n(a a )n(n 1)ddS6S1n，Snad ，Sn2 (a)n，a2n1 ，n2n12n2Aa12n2n 1n f (n)n f (2n1)Bbnn7a q,a p(p q) a 0；S q,S p(p q) S (p q) ；pqpqpqpqSmn Sm Sn mnd “首正”的递减等差数列中，前n 项

7、和的最大值是全部非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是全部非正项之和；有限等差数列中，奇数项和与偶数项和的存在必定联系，由数列的总项数是偶数还是奇数打算假设总项数为偶数，则“偶数项和”“奇数项和”总项数的一半与其公差的 积；假设总项数为奇数，则“奇数项和”“偶数项和”此数列的中项两数的等差中项惟一存在在遇到三数或四数成等差数列时，常考虑选用“中项关系”转化求解判定数列是否是等差数列的主要方法有：定义法、中项法、通项法、和式法、图像法也就是说数列是等差数列的充要条件主要有这五种形式中：n等比数列的符号特征全正或全负或一正一负，数列的单调性an a qn1 a1qnm ； p

8、q m n bbpqbb n3|an|、a1)m、kan成等比数列；ann成等比数列a bn n成等比数列两等比数列对应项积商组成的数列仍成等比数列a ,aa ,aamkk1ak m1,成等比数列12na(q 1)na(q 1)11 aa q(1 qn )aan 1 1 1qn 1q 1)abn21abn21qq1qanbn (a b)(an1 an2b an3b2 bn1) S SqmS SqnSmnmnnm“1”n 项积的最大值是全部大于或等于1 的项 的积；“1”的正值递增等比数列中，前n 1 的项的积；有限等比数列中，奇数项和与偶数项和的存在必定联系，由数列的总项数是偶数还是奇数打算假

9、设总项数为偶数，则“偶数项和”“奇数项和”与“公比”的积；假设总项数为 奇数，则“奇数项和”“首项”加上“公比”与“偶数项和”积的和并非任何两数总有等比中项仅当实数a, b 同号时，实数a, b 存在等比中项对ababG ab也就是说，两实数要么没有等比中项非同号时，假设有，必有一对同号时常优先考虑选用“中项关系”转化求解判定数列是否是等比数列的方法主要有：定义法、中项法、通项法、和式法也就是说数列是等比数列的充要条件主要有这四种形式等差数列与等比数列的联系假设数列a 成等差数列，那么数列AanAan总有意义必成等比数列n假设数列a 成等比数列，那么数列log|a|(a 0,a 1)必成等差数

10、列nan假设数列a 既成等差数列又成等比数列，那么数列a 是非零常数数列；但数nn列a 是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件n ，且等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数假设一个等差数列与一个等比数列有公共项顺次组成数列，那么常选用“由特别到一般的方法”进展研讨，且以其等比数列的项为主，探求等比数列中那些项是他们的公共项，并构成的数列公共项仅是公共的项，其项数不愿定一样，即争辩anb 但也有少m数问题中争辩anb 四比n的中项转化和通项转化法数列求和的常用方法：公式法：等差数列求和公式三种形式，等比数列求和公式三种形式，n2 16123n 1n(n1) ，12 22

11、n2 162n(n1)(2n1) ，(2n 135(2n 1) n2 ，1351)(n(2n 分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和倒序相加法：在数列求和中，假设和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列这也是等差数列前n和公式的推导方法错位相减法：假设数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相“一个的的等比数列的和”求解留意：一这也是等比数列前n和公式的推导方法之一裂项相消法：假设数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和常用裂项形式有：1 1 1，n(n 1)nn11 1(1 1)

12、，n(n k)knnk特别声明： 运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1 的关系，必要时分类讨论通项转换法。四、三角函数1 终边与终边一样 的终边在终边所在射线上 2k(k Z 终边与 终边共线 的终边在 终边所在直线上 终边与x 轴对称 2k(k Z 终边与y 轴对称 2k(k Z 终边与终边关于原点对称 2k(k Z一般地： 终边与终边关于角 的终边对称 2 2k(k Z2 与 的终边关系由“两等分各象限、一二三四”确定222l | | R S 1lR 1 | | R2，1 弧度1rad57.32三角函数符号特征是：一是全正、二正弦正、三是切正、四余弦正 留意：sin15 cos756

13、2,sin75cos156 2 ，44tan15cot75 23,tan75 cot15 23，sin185 14三角函数线的特征是：正弦线“x 轴上起点在x 轴上”、余弦线“x 轴上起点是原点”、正切线“站在点 A(1,0)处起点是 A ”务必重视“三角函数值的大小与单位圆上相应点的坐标之间的关系，正弦 纵坐标、余弦 横坐标、正切 纵坐标除以横坐标之商”；务必记住单位圆中角终边的变化与sin cos 值的大小变化的关系 为锐角sin tan“依据角的范围和三角函数的 取值，准确确定角的范围，并进展定号”； 6三角函数诱导公式的本质是：奇变偶不变，符号看象限三角函数变换主要是：角、函数名、次数

14、、系数常值其核心是“角的变换”!角的变换主要有两角与其和差角的变换如 () ()，2 ()()2 ( )( )， 2 2， 2 22 等常值变换主要指“1”的变换：1sin2 x cos2 x sec2 x tan2 x tanxcotx tan4sin2cos0 等切割化弦、运算构造的转化和式与积式的互化解题时本着三看的根本原则来进展看角、看函数、看特征”,根本的技巧有:巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次等留意差升次 公式中的符号特征“正余弦三兄妹sinxcosxsinxcosx的联系”常和三角换元法联系在一起t sinxcosx 2,2,sin xcosx a2 b2a

15、sinx ba2 b2bsinx 其中 角所在a, b 的符号确定， 角的值由tan a 确定1或AsinxBcosx C 3 A2 B2 C2 3三角函数性质、图像及其变换：三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、有界性和周期性确定值对三角函数周期性的影响 弦减半、切不变既为周期函数又是偶y sin2x, y sinx 的周期都是 ,但 y sinx cosxy sinx cosx 的周期为 2， y=|tanx| xy=cos|x|, y sinx2,y sinx,y cosx三角函数图像及其几何性质：，y=cos|x|是周期函数吗？三角函数图像的变换：两轴方向的平移、伸缩及其向量的平移变

16、换三角函数图像的作法：三角函数线法、五点法五点横坐标成等差数列和变换法三角形中的三角函数：内角和定理：三角形三角和为 ，任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和 三内角都是锐角 三内角的余弦值为正值 任两角和都是钝角 任意两边的平方和大于第三边的平方sinsinsin正弦定理： abc 2RR 为三角形外接圆的半径sinsinsinABC留意：三角形两边一对角，求解三角形时，假设运用正弦定理，则务必留意可能有两解 余弦定理：b2 c2a2(bc)2a2等，3a2c2 2bc2bc1常选用余弦定理鉴定三角形的类型4S 1ah 1absinC abc 2a24R五、向 量AB共线1请留意：向量运算

17、中向量起点、终点及其坐标的特征AB共线几个概念 零向量 单位向量 的单位向量是 AB，特别：| AB|( AB ABAC )( AB ACABAC 、平行共线无传递性，是由于有0 、相等向量AC有传递性、相反向量、向量垂直、以及一个向量在另一向量方向上的投影a 在b 上的投影是a cos a,b abRb3两非零向量平行共线的充要条件a/b a b (ab)2 (|a |b|)2xxy y0两个非零向量垂直的充要条件1 21a a b a b 0 | a b | a b | x x1 21 220a b 是向量平行的充分不必要条件!4平面对量的根本定理e e 412任一向量a，有且只有一对实数

18、、，使a= e e 121 122A、B、C 共线 ABAC 共线；PAPBPC 、B、C 共线存在实数、 使得：PAPBPC且 1向量的数量积：| a |2 (a)2 aa ，ab |a|b|cos x xy y ，cos abx x y y1212，12121 21 2|a|b|x2 y2x2 y21122abx x y ya在b上的投影| a |cos a,b 1 21 2|b|x2 y222留意 ab 为锐角 ab 0且ab不同向；ab 0且aab 0且ab 0； ab 为钝角 ab 0且ab不反向；ab 0是 ab 为钝角的必要非充分条件向量运算和实数运算有类似的地方也有区分 向量，

19、这是题目中的自然条件，要留意运用；对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即7| a |b|a b|a |b7| a |b|a b|a |b|0 | a 0 | a b | a | |b | | a | |b| a b|；0 |a0 |ab|a|b| |a|b|ab|；b不共线 |a|b|ab|a|b|这些和实数集中类似x x8.中点坐标公式x 1 2 2 ，MP MPPP的中点y y y1MP12 P21 2AB AC AB AC )( AB AC )；ABCAB ACBC 边中点；(|AB| AC|AB|AC|与

20、ABAB PG 1(PAPBPC) G 为ABC的重| AB|3PAPAPBPC 0 P特别为ABC 的重心PAPB PBPC PCPA P 为ABC的垂心；( ABAC )( 0)所在直线过ABC的内心是BAC 的角平分线所在直| AB| AC |线；|1AB AC1AB AC sin A 22AB2 AC 2(ABAC)2 AB |PCAB |PC|BC |PA|CA|PB 0 PABC六、不等式11不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值 f x aa 0的一般解题思路是什么？ g xx；含有两个确定值的不等式如何去确定值？一般是依据定义分类争辩、平方转化或换

21、元转化；解含参不等式常分类等价转化，必要时需分类争辩留意：按参数争辩，最终按2参数取值分别说明其解集，但假设按未知数争辩，最终应求并集2ab利用重要不等式a b 2ab以及变式ab a b)2a，bR或a ，b 非负时的条件是积ab 或和b 其中之一应是定值一a2 a2 b22常用不等式有：用 a b 22依据目标不等式左右的运算构造选ab1 1ababa、b、cRa2b2c2 abbc ca当且仅当a b c时，取等号比较大小的方法和证明不等式的方法主要有：差比较法、商比较法、函数性质法、综合法、分析法含确定值不等式的性质：a、b 同号或有0 |a b|a |b| |a |b |a b |；

22、a、b异号或有0 |ab|a|b| |a |b|a b|留意：不等式恒成立问题的常规处理方式？常应用方程函数思想和 “分别变量法”转化为最值问题不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题恒成立问题假设不等式f x A在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f x Amin假设不等式f x B在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f x Bmax能成立问题D 上存在实数 x使不等式 f x A成立,即 f x AD 上能成立, ,则等价于在区间D上f x AmaxD x使不等式 f x B 成立,即 f x B D 上能成立, ,则等价于在区间Df xmin B恰成立问题f x AD上恰成立, f x AD

23、f x BD上恰成立, f x BD,七、直线和圆a (1,a (1,k)(0,1)( 0) 及其直线方程的向量式(x x0,yy0)aa为直线的方向向量应用直线方程的点斜式、斜截式设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，但你是否留意到直x k 不存在的状况？b y kxb x 0 x ，常设其方程为0 x my x k m k 的倒数y 0知直线过点(x , y ，常设其000y k(xx y x x 000留意1及各种形式的局限性如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截矩式呢？与直线l : Ax By C 0平行Ax By C1与直线l : Ax By C 0垂直的直线可表示为Bx Ay C

24、1 0； 0；P(x , y 与直线l : Ax By C 0平行的直线可表示为：00A(xx )B(y y ) 0；00P(x , y 与直线l : Ax By C 0垂直的直线可表示为：00B(xx )A(y y ) 000直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0直线两截距相等 直线的斜率为-1 或直线过原点；直线两截距互为相反数 1 或直线过原点；直线两截距确定值相等直线的斜率为1或直线过原点在解析几何中，争辩两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重合相交两直线的夹角和两直线间的到角是两个不同的概念：夹角特指相交两直线所成的较小角，范

25、围是(0, ，而其到角是带有方向的角，范围是(0, ) 2注：点到直线的距离公式| Ax00A00A2 B2ByC | 12特别l l12kk 1(k、k都存在时 A ABB0；1 1 k k12211221212AB A B ；12121l、l 重合 k k (k、k 都存在时) A B A B12b1=b 212C2 B C112122112211线性规划中几个概念：约束条件、可行解、可行域、目标函数、最优解圆的方程：最简方程x2 y2 R2 ；标准方程(xa)2 y b)2 R2 ；x2 y2 Dx Ey F 0(D2 E2 4F 0)； 参数方程y Rsin为参数；直径式方程(x x1

26、)(x x2) (y y1) (y y2) 0留意：12D2 E2 4F在圆的一般式方程中圆心坐标和半径分别是( D ,12D2 E2 4F222圆的参数方程为“三角换元”供给了样板，常用三角换元有：22x2 y2 1 x cos,y sin ，x2 y2 2 x 2cos, y sin ，x2 y2 1xrcos,y rsin(0r 1)，x2 y2 2 x rcos, y rsin(0 r 2) 解决直线与圆的关系问题有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路，等价转化求解， 重要的是发挥“圆的平面几何性质割线定理、弦切角定理等等的作用!”1x2 y2 R2 P(x y00圆的切线方程x

27、x0yy0 R2 ，过 圆 (xa)2 (yb)2 R2上 一 点 P(x ,y )圆 的 切 线 方 程 是 ：00(xa)(x a)(y a)(y a) R2 ，00 x2 y2 DxEy F 0 (D2 E2 4F 0) 上一点 P(x , y ) 圆的切线方程00 xx yy D (x x E y y) F 0002020P(x , y00) 在圆外P 两切线上两切点的“切点弦”1221212212方程P(x , y 在圆内O P O 为圆0011心的直线方程，|O P |d R2 d 为圆心O到直线的距离曲线C11: f (x, y) 0与C2:g(x, y) 01的交点坐标方程组

28、f (x,y)0g(x, y0的解；过两圆C1: f (x, y) 0、C2: g(x, y) 0交点的圆公共弦系为f (x, y) g(x, y) 0，f (x, y) g(x, y) 0为两圆公共弦所在直线方程八、圆锥曲线圆锥曲线的两个定义，及其“括号”内的限制条件，在圆锥曲线问题中，假设涉及到其两焦点两相异定点假设涉及到其焦点、准线点和不过该点确实定直线涉及到焦点三角形的问题，也要重视焦半径和三角形中正余弦定理等几何性质的应用1留意：圆锥曲线第确定义与配方法的综合运用；aexaexaex(aex)aexxaexaexaex(aex)aexx p2圆锥曲线的几何性质：圆锥曲线的对称性、圆锥

29、曲线的范围、圆锥曲线的特别点线、圆1e2e2 1锥曲线的变化趋势其中e c ，椭圆中b 、双曲线中1e2e2 1aaa重视“顶点、焦点、准线等相互之间与坐标系无关的几何性质”，尤其是双曲线中焦半径最值、焦点弦最值的特点留意：等轴双曲线的意义和性质在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路， 等价转化求解特别是：直线与圆锥曲线相交的必要条件是他们构成的方程组有实数解时，务必“判别式0”，尤其是在应用韦达定理解决问题时，必需先有“判别式0”直线与抛物线相交不愿定交于两点、双曲线位置关系相交的四种状况的特别性，应慎重处理弦平行弦“斜率” “中点弦”问题关键是“韦达

30、定理”或“小小直角三角形”或“点差法”、“长度弦长”问题关键是长度弦长公式 | AB|(x1x )2 (y2y )2， | AB|2| xx |11k2,1k21k2xy| AB | y y| 11 1k2或“小小直角三角形”|a|1 1k2假设在一条直线上消灭“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率”为桥梁转化 4要重视常见的寻求曲线方程的方法待定系数法、定义法、直译法、代点法、参数法、 交轨法、向量法等, 1 1k2留意量的几何形式进展“摘帽子或脱靴子”“摘帽子或脱靴子” 转化轨迹上特别点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响常借助于“平面几何性质”如角平分线的双重身份、“方程与函数性质”化

31、解析几何问题为代数问题、“分类争辩思想”化整为零分化处 理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等九、直线、平面、简洁多面体计算异面直线所成角的关键是平移补形转化为两直线的夹角计算计算直线与平面所成的角关键是作面的垂线找射影，或向量法直线上向量与平面法向量夹角的余角，三余弦公式cos cos1cos2 相等 斜线在平面上射影为角的平分线 3空间平行垂直关系的证明，主要依据相关定义、公理、定理和空间向量进展，请重视线 面平行关系、线面垂直关系三垂线定理及其逆定理的桥梁作用留意：书写证明过程需标准特别声明：证明计算过程中，假设有“中点”等特别点线，则常借助于“中位线、重心”等学问转化在证明计算过程中常将运用转化思想，将具体问题转化构造 为特别几何体如三棱锥、正方体、长方体、三棱柱、四棱柱等中问题，并获得去解决“三条直线两两垂直”，那么往往以此为根底，建立空间直角坐标系，并运用空间向量解决问题 4直棱柱、正棱柱、平行六面体、长方体、正方体、正四周体、棱锥、正棱锥关于侧棱、 侧面、对角面、平行于底的截面的几何体性质a2 b2 c2如长方体中：对角线长 l ，棱长总和为 4(aa2 b2 c22(abbcca)结合(abc)2a2 b2 c2 2abbcca可得关于他们的等量关系，结合根本不等式还可建立关于他们的不