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文档简介
1、本文格式为Word版,下载可任意编辑 数值分析试题与答案 试题 _2022_年_2022_年第 一学期 课程名称: 数值分析 专业年级: 2022级(研究生) 考生学号: 考生姓名: 试卷类型: A 卷 B 卷 考试方式: 开卷 闭卷 一. 填空题(本大题共4小题,每题4分,共16分) 1.设有节点012,x x x ,其对应的函数()y f x =的值分别为012,y y y ,则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。 2.设()2f x x =,则()f x 关于节点0120,1,3x x x =的二阶向前差分为 。 3.设110111011A -? ?=-?-?,233x ?=?,则
2、1A ,1x = 。 4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数准确度为 。 二简答题(本大题共3小题,每题8分,共24分) 1. 哪种线性方程组可用平方根法求解?为什么说平方根法计算稳定? 2. 什么是不动点迭代法?()x ?满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ?的不动点? 3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n ,请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。 三求一个次数不高于3的多项式()3P x ,满足以下插值条件: i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y 3 并估计误差。(10分) 四试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式
3、计算定积分1 011I dx x =+?。(10分) 五用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。(10分) 六试用Doolittle 分解法求解方程组: 12325610413191963630 x x x -?-=? (10分) 七请写出雅可比迭代法求解线性方程组1231231 23202324812231530 x x x x x x x x x +=?+=?-+=? 的迭代格式,并 判断其是否收敛?(10分) 八就初值问题0 (0)y y y y =?=?考察欧拉显式格式的收敛性。(10分) 数值分析(A )卷标准答案 (202220221) 一 填空题(每题3
4、分,共12分) 1. ()1202202()()()() x x x x l x x x x x -=-; 2.7;3. 3,8;4. 2n+1。 二简答题(本大题共3小题,每题8分,共24分) 1. 解:系数矩阵为对称正定的方程组可用平方根法。 (4分) 对于对称正定阵 A ,从21 i ii ik k a l =可知对任意k i 有|ik ii l a 。即 L 的元素不会增大,误差可控,不需选主元,所以稳定。 (4分) 2. 解:(1)若()*x x ?=,则称*x 为函数()x ?的不动点。 (2分) (2)()x ?务必满足以下三个条件,才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x
5、 ?的不动点: 1)()x ?是在其定义域内是连续函数; (2分) 2)()x ?的值域是定义域的子集; (2分) 3)()x ?在其定义域内满足李普希兹条件。 (2分) 3.解:参照幂法求解主特征值的流程 (8分) 步1:输入矩阵A ,初始向量v0,误差限,最大迭代次数N; 步2:置k:=1,:=0,u0=v0/|v0|; 步3:计算vk=Auk-1; 步4:计算 并置mk:=vkr, uk:=vk/mk; 步5:若|mk- |,因而雅可比迭代法不收敛。 (1分) (2)对于方程组,Gauss-Seidel 迭代法迭代矩阵为 00.50.500.50.5000.5B -?=-?-? (2分)
6、 其特征值为1230,0.5= (2分) 故有()0.51B =,因而雅可比迭代法收敛。 (1分) 八证明题(本大题共2小题,每题7分,共14分) 1. 证:该问题的准确解为0()x y x y e = (2分) 欧拉公式为1(1)i i i i y y h y h y +=+=+ (2分) 对任意固定的i x x ih =, 有/1/00(1) (1)i i x h x h i y y h y h =+=+, (2分) 则0()i x i y e y x = (1分) 2.证:牛顿迭代格式为125,0,1,2,66n n n x a x n x += + = (3分) 因迭代函数为()25,
7、66x a x x ?= +而()35,63a x x ?=+又*3x a =, (2分) 则 ()()3335 1062 3a a a ?=+=。 故此迭代格式是线性收敛的。 (2分) 数值分析参考解答 三计算题(每题7分,共42分): 1. 设 x e x f =)(, 试构造基函数求)(x f 的2次插值多项式 )(2x P ,满足: )1()1(),0()0(),0()0(222f P f P f P =. 解 设)(2x P 的基函数为)(),(),(010 x x x ,则它们满足以下关系 (1分) x 0 1 x 0 )(2x P 1 e )(2x P 1 )(0 x 1 0 )
8、(0 x 0 )(1x 0 1 )(1x 0 )(0 x 0 0 )(0 x 1 (2分) (1) 令00200)(c x b x a x +=,则有?=+=0)0(0)1(1)0(00000000b c b a c , 即1,0,1000=-=c b a . 所以1)(20+-=x x . 或由0)1(0=,先得)(1()(0l kx x x +-=. 再由1)0(0=,得1=-l ,即1-=l . 由1)0(0 =,得0=-k l ,即1-=l k . 所以1)1)(1()(20+-=+-=x x x x . (1分) (2) 令11211)(c x b x a x +=,则有?=+=0
9、)0(1)1(0)0(11111111b c b a c , 即0,0,1111=c b a . 所以2 1)(x x =. 或由0)0()0(1 1=,先得21)(kx x =. 再由1)1(1=,得1=k . 所以21)(x x =. (1分) (3) 令22220)(c x b x a x +=,则有?=+=1 )0(0)1(0)0(20222022b c b a c , 即 0,1,1222=-=c b a . 所以x x x +-=20)( 或由0)1()0(00=,先得)1()(0-=x kx x . 再由1)0(0=,得1=-k ,即1-=k . 所以x x x x x +-=-=20)1()( (1分) 结果得 1)2()()0()()1()()0()(20102+-=+=x x e x f x f x f x P . (1分) 2. 求 x x x x f +=2 323)( 在区间 -1,1 上的次最正确一致迫近多项式; 解 设所求的2次最正确一致迫近多项式为)(*2x P . 令)()(3 1)(*2x P x f x Q -=. (2分) 则)(x Q 的首项系数为1, 并且当)(2 1)()(31)(32*2x T x P x f x Q =-=时, )(x Q 与0的偏差最小, 即)(x f 与)(*2x P 的偏差最小
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