2021-2022学年湖南省长沙市县第七中学高二数学文期末试卷含解析

1、2021-2022学年湖南省长沙市县第七中学高二数学文期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的侧面积为（） A8B16C10D6参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据三视图可得四棱锥为正四棱锥，判断底面边长与高的数据，求出四棱锥的斜高，代入棱锥的侧面积公式计算【解答】解：由三视图知：此四棱锥为正四棱锥，底面边长为4，高为2，则四棱锥的斜高为=2，四棱锥的侧面积为S=16故选B2. 在等差数列an中，若, 是数列的前项和，则的值为（ ）A.48 B.54 C.60

2、 D.66参考答案：B3. 在数列中， ，则（ ）A B C D参考答案：A略4. 在坐标平面内，与点距离为，且与点距离为的直线共有（ ）A条 B条 C条 D条参考答案：B 解析：两圆相交，外公切线有两条5. 已知直线的方程为,则下列叙述正确的是( )A. 直线不经过第一象限B. 直线不经过第二象限C. 直线不经过第三象限D. 直线不经过第四象限参考答案：B因为，直线的方程为，其斜率为1，纵截距为0略16. 设函数（x0），定义，当且时，则 ； 。参考答案：，17. 若,且，则的最小值是_.参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. .如图

3、1，平面四边形关于直线对称，把沿折起（如图2），使二面角的余弦值等于对于图2，（1）求；（2）证明：平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值参考答案：解：（）取的中点，连接，由，得： 就是二面角的平面角， 2分在中， 4分 （）由， ， 又平面8分（）方法一：由（）知平面，平面平面平面，平面平面，作交于，则平面，就是与平面所成的角13分方法二：设点到平面的距离为， 于是与平面所成角的正弦为 方法三：以所在直线分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系， 则 设平面的法向量为，则， ，取，则， 于是与平面所成角的正弦即 略19. 设函数f（x）=lnx+，mR（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（

4、x）的最小值；（2）讨论函数g（x）=f（x）零点的个数；（3）（理科）若对任意ba0，1恒成立，求m的取值范围参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的极值【分析】（1）当m=e时，x0，由此利用导数性质能求出f（x）的极小值（2）由g（x）=0，得m=，令h（x）=x，x0，mR，则h（1）=，h（x）=1x2=（1+x）（1x），由此利用导数性质能求出函数g（x）=f（x）零点的个数（3）（理）当ba0时，f（x）1在（0，+）上恒成立，由此能求出m的取值范围【解答】解：（1）当m=e时，x0，解f（x）0，得xe，f（x）单调递增；

5、同理，当0 xe时，f（x）0，f（x）单调递减，f（x）只有极小值f（e），且f（e）=lne+=2，f（x）的极小值为2（2）g（x）=0，m=，令h（x）=x，x0，mR，则h（1）=，h（x）=1x2=（1+x）（1x），令h（x）0，解得0 x1，h（x）在区间（0，1）上单调递增，值域为（0，）；同理，令h（x）0，解得x1，g（x）要区是（1，+）上单调递减，值域为（，）当m0，或m=时，g（x）只有一个零点；当0m时，g（x）有2个零点；当m时，g（x）没有零点（3）（理）对任意ba0，1恒成立，等价于f（b）bf（a）a恒成立；设h（x）=f（x）x=lnx+x（x0），则h

6、（b）h（a）h（x）在（0，+）上单调递减；h（x）=10在（0，+）上恒成立，mx2+x=+（x0），m；对于m=，h（x）=0仅在x=时成立；m的取值范围是，+）20. 利用数学归纳法证明不等式：（nN*）参考答案：【考点】数学归纳法【分析】数学归纳法的步骤：证明n=1时A式成立然后假设当n=k时，A式成立证明当n=k+1时，A式也成立下绪论：A式对所有的正整数n都成立【解答】证明：（1）当n=1时，左边=，右边=，左边右边，不等式成立，（2）4n214n2，即（2n+1）（2n1）（2n）2即，假设当n=k时，原式成立，即，那么当n=k+1时，即?=，即n=k+1时结论成立根据（1）和

7、（2）可知不等式对任意正整数n都成立21. 如图，F1，F2分别是椭圆C： +=1（ab0）的左、右焦点，A是椭圆C的上顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，F1AF2=60（1）求椭圆C的离心率；（2）若a=2，求AF1B的面积参考答案：【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由题意可知：AF1B为等边三角形，因此a=2c，e=，即可求得椭圆C的离心率；（2）由题意题意可知：当a=2，则c=1，由b2=a2c2=3，即可求得椭圆方程，由直线的斜率k=tanAF1F2=，即可求得直线方程，代入椭圆方程，即可求得B点坐标，由=+=丨F1F2丨?丨AO丨+丨F1F2丨?丨yB丨，代入即可求得AF1B的面积【解答】解：（1）由题意可知，AF1B为等边三角形，a=2c，e=，椭圆C的离心率；（2）由（1）可知：a=2c，a=2，c=1，则b2=a2c2，b=，椭圆方程为：，A（0，），F2（1，0），直线AC的斜率k=tanAF1F2=，直线AC的方程为y0=（x1）=x+，解得：或（舍）点B的坐标为（，），所以=+=丨F1F2丨?丨AO丨+丨F1F2丨?丨yB丨=?2?+?2