线性变换的几何意义

1、本科生毕业论文论文题目：线性变换的几何背景学.院 专业 学号 学生姓名 指导教师 指导教师职称 指导教师单位学位论文写作声明本人重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得 的成果。除文中已经注明引用的容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的 作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声 明的法律结果由本人承担。论文作者签名：日期： 年 月 日论文作者签名：导师签名:日期： 年 月 日线性变换的几何背景线性变换可以通过几何现象直观化，几何现象也可以通过线性变换精练化。 本文就通过研究几何现象所表现出来的线性变换、思考矩阵

2、与线性变换在几何意 义上的关系、思考线性变换一些性质所具备的几何意义、思考线性变换的非矩阵 表现形式、思考线性变换和几何联系起来解决问题的思路以及思考射影几何上的 线性变换。我们可以得出线性变换是运动的、线性的，许多几何现象都是线性变 换，我们可以用矩阵来研究线性变换的几何意义，但矩阵只是研究线性变换的几 何意义的工具之一，线性变换许多拓展相关的问题也涉及到几何现象，并且线性 变换与几何联合起来对于解决某些问题存在好处，但不同的几何体系的研究客体 对于线性变换来说也存在不同方面。关键词：线性变换；几何现象；矩阵The geometry background of linear transfor

3、mationAbstract： Linear transformation could be visualized through the geometric phenomena, geometric phenomenon could be refined through the linear transformation. The article analyzes the linear transformation, reflects by geometric phenomenon, studies the relationship of matrix and linear transfor

4、mation on the basis of geometric meaning, researches the geometric meanings of linear transformation, reflects the expression of nonnegativematrix of linear transformation, discusses the solutions to the questions on the basis of connection between linear transformation and geometry, and considers t

5、he linear transformation of projective geometry. In conclusion, the thesis finds out that the linear transformation is athletic, linear, and many geometry phenomena are linear transformation. The matrix could be used to analyze the geometry meaning of linear meaning, but the matrix is one of the too

6、ls to study the geometry meaning of linear transformation. Many of the linear transformation related problems are involved in the geometric phenomena, and the combination of linear transformation and geometry is beneficial to the solutions to some problems, but different geometry research objects ha

7、ve various aspects.Key words: linear transformation; geometry phenomenon; matrix目 录 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark25 o Current Document 一、基本定义和结论1 HYPERLINK l bookmark35 o Current Document 二、几何现象中线性变换的影子2 HYPERLINK l bookmark39 o Current Document 2.1旋转变换的几何形象2 HYPERLINK l bookmark42 o Current Do

8、cument 2.2反射变换的几何形象3 HYPERLINK l bookmark47 o Current Document 2.3投影变换的几何现象4 HYPERLINK l bookmark52 o Current Document 2.4伸压变换的几何形象5 HYPERLINK l bookmark55 o Current Document 2.5其他线性变换的几何形象5 HYPERLINK l bookmark58 o Current Document 三、线性变换的几何意义与矩阵的几何意义的关系6 HYPERLINK l bookmark62 o Current Document 四

9、、与线性变换有关的分支问题的几何意义9 HYPERLINK l bookmark66 o Current Document 4.1、几何解释线性变换是否存在交换律9 HYPERLINK l bookmark69 o Current Document 4.2、几何解释线性变换是否消去律9 HYPERLINK l bookmark72 o Current Document 4.3几何解释线性变换的逆10 HYPERLINK l bookmark75 o Current Document 4.4同一线性变换下的矩阵相似的几何直观例子10 HYPERLINK l bookmark78 o Curren

10、t Document 4.5线性变换对角化的几何意义11 HYPERLINK l bookmark81 o Current Document 4.6正交变换的几何意义11 HYPERLINK l bookmark84 o Current Document 4.7线性变换中特征值及特征向量的几何意义11 HYPERLINK l bookmark87 o Current Document 五、具有几何意义的非矩阵表示的线性变换11 HYPERLINK l bookmark91 o Current Document 六、具体问题中线性变换与几何的息息相关12 HYPERLINK l bookmark

11、95 o Current Document 七、射影几何中的线性变换13 HYPERLINK l bookmark99 o Current Document 7.1仿射几何中的平移变换13 HYPERLINK l bookmark102 o Current Document 7.2仿射变换的优点14 HYPERLINK l bookmark105 o Current Document 7.3射影几何中线性变换分解反应出的几何意义14 HYPERLINK l bookmark108 o Current Document 总结16 HYPERLINK l bookmark111 o Current

12、 Document 参考文献17致18页脚.一、基本定义和结论我们在讨论这个问题时，首先给出几个熟悉的定义与结论。定义1：设U, V为数域K上的线性空间，f : U T V为映射，且满足以下两个 条件：i)、f (a + P) = f (a) + f (P),(Va,PeU)；ii)、f (ka) = kf (a),(Vae U,k e K)。则称中为(由U到V的)线性映射，而此时如果f是线性空间U到自身的线性映射，则称它为线性变换。而定义中的i)和讥)二条件也可用下述一条代替：顿ka +1P) = k顿a) + k顿P), (Va, P e U, k, l e K)定义2：设8,8, ,8是

13、数域K上线性空间U的一组基，门m, m是数域 TOC o 1-5 h z 12n12mK上线性空间V的一组基，设f为由U到V的线性映射，U上基向量的像可由V上的基线性表出：f (8 ) = a + a 门 +11 121 2f (8 ) 二 a 门 + a 门 + amnn+ amnnm -f (8 ) 二 a 门 + a 门 + n1n 12 n 2于是(f(81),fq(f(81),fq ),f(8)=mm12，门(a11a21a12a22叮a2nI a：m1a:m 2其中令(a11(a11a21a12a22a1na2 n则称A则称A为f在基匕,七,I am1和 h1,h2,a:m 2,n

14、m下的矩阵，而此时如果f是线性空间u到自身的线性映射，则称A为f在基8 ,8 , ,8下的矩阵。12n定义3：设U和V是数域P上的两个线性空间，若满足:i)、b是U到V的一个双射；、b(a + 0) =b(a) + b(p),(Va,p gU)；、b (ka) = kb (a),(Va g U, k g P)。则称b是U到V的同构映射。此时称U与V是同构的。结论1：线性空间U到V上全体线性映射，对于下面定义的加法和数量乘法， 也构成数域K上的一个线性空间，我们记它为Hom (U ,V)。(其中f, g为由U到 kV的两个线性映射)。、fg(a) = f(a) + g(a),(VaGV)；、(f

15、 + g)(a) = f (a) + g(a), (Va g V)。而此时如果f是线性空间U到自身的线性映射，我们则称线空间U上的全体 线性变换，对于上面定义的加法和数量乘法，也构成数域K上的一个线性空间， 我们记它为End(V)。结论2：数域P上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的 维数。线性空间的元与其坐标向量之间的对应是同构的，数域P上的维向量空间U与维向量空间Pn是同构的。结论3：正交变换是保持点之间距离不变的线性变换。且它在任一组标准正 交基下的矩阵为正交矩阵。二、几何现象中线性变换的影子让我们先在欧式几何中看看，一些几何现象是否具有线性变换的影子？例如 一缕照射在物体

16、在地面留下的影子的现象，某一物体发生旋转的现象，用手把一 本书沿着一条对称轴翻过去的现象，用手压缩或拉伸某一固定物体的现象。2.1旋转变换的几何形象我们先看旋转，在平面，把一个图形绕点。旋转一个角度的图形变换叫做旋 转。我们考虑此类变换中的一个例子。我们考虑把平面中每一个向量旋转90的变换f :R 2 R 2，其中A = COS90 fin90对于R 2上的任意向量，我们先来 X Axsin90。 cos90。看这一变换的几何形象(见图一和图二、图三)。（图一）（图二）（图三）从图中我们可以直观看出两点：i）、X和y分别逆时针旋转90之后的向量之和等于f对X + J作用得到的向量。ii）、将X

17、的k倍逆时针旋转90之后的向量等于f对kx作用得到的向量。O我们再从定义1严格验证上述变换f，可以容易得出它保持加法和数量乘法， 故它是线性变换。即向量旋转90的变换是线性变换。2.2反射变换的几何形象我们再看反射，物体或图形在某种变换条件下，其相同部分间有规律重复的 现象，即在一定变换下的不变现象叫做反射。我们考虑此类变换中的一个例子。我们考虑关于的X轴反射的变换R 2 i R 210 _f : RR，其中B=。对于R 2上的任意向量，我们先来看这一变换的x Bx0 -1几何形象（见图四和图五、图六）。（图四）（图五）（图六）从图中我们可以直观看出两点：i）、x和y分别作关于x轴反射得到的向

18、量之和等于f对x + y作用得到的向 量。ii）、将x的k倍作关于x轴反射得到的向量等于f对kx作用得到的向量。我们再从定义1严格验证上述变换f，可以容易得出它保持加法和数量乘法， 故它是线性变换。即向量关于的x轴反射变换是线性变换。2.3投影变换的几何现象我们紧接着看投影，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）或者直 线上得到的影子叫做物体的投影。我们考虑此类变换中的一个例子。我们考虑投影到的x轴变换f : R 2 T R 2，x Cx其中C= 1 0。对于R 2上的任意向量，我们先来看这一变换的几何形象（见图 七和图八、图九）。（图七）（图八）（图九）从图中我们可以直观看出两点：i）、

19、X和y分别投影于X轴的向量之和等于f对x + y作用得到的向量。ii）、将x的k倍投影于x轴得到的向量等于f对kx作用得到的向量。我们再从定义1严格验证上述变换f，可以容易得出它保持加法和数量乘法，故它是线性变换。即向量关于的x轴的投影是线性变换。通过上面的例子，我们可以看出一些几何现象确实具有线性变换的影子，这 些几何现象可以用线性变换来表示。当中我们也可发现：线性变换具有线性和运 动的观念。所谓线性，我们可以称它是自始自终保持某种组合不变的对应关系， 所谓运动，是它可以看成从一个空间射到此空间的函数。这时，我们可以再来回 头看看前面提出的问题，一缕照射在物体在地面留下的影子的现象，某一物体

20、发 生旋转的现象，用手把一本书沿着一条对称轴翻过去的现象都是线性变换，因为 我们知道图形是由无数个向量组成的，故几何体的旋转、反射、投影来说都是线 性变换，我们用伸压变换来验证。2.4伸压变换的几何形象我们考虑用手去水平压缩一块正方形的物体，我们考虑建立平面直角坐标系，假设正方形所处的区域为0,1X0,1，手用力的方向为X轴的负半轴，且使它在接触线上受力均匀，它使物体被压缩了，倍。我们可以用下面的图（见图十和图十一）来表示这个形变过程。（图十）（图十一）而我们再考虑它是不是线性变换时，由于它是无数多向量组成，我们只需考虑变换f: r 2 t r 2，其中D=0是不是线性变换，就可以判断上述的压

21、缩物x Dx0 1体的变换是不是线性变换。我们很容易验证此变换f满足线性变换的加法和数量 乘法，故f是线性变换，则此压缩物体的变换也为线性变换。2.5其他线性变换的几何形象此外，我们还可以通过检验发现更多的线性变换，他们各具几何特点，下面 列表如下（见表一）。表1常见的线性变换类型变换名称变换矩阵几何特征恒等变换1 0 E=L o 1图形F变成图形F伸压变换1、沿M =2i X轴方1 0 0 t向：M =1t 0 _ 0 1 _2、沿j轴方向图形F变成图形F， 大小和形状可能变化反射变换1、关M =2关于j于x轴1 00 1原点反反射M13、关-射M =4=_于-1_01 00 -10 X反0

22、 一-1_2、关于j轴反射0 1, 射 M 3 = L1 J 4、图形F变成图形F，大小和形状不变，位置 可能改变旋转变换M=cos 0 一 sin 0 sin 0 cos 0图形f变成图形F，大小和形状不变，位置 可能改变投影变换1、iM =2殳影到0 0_0 1X轴M =11 0 _ 0 0 _2、投影到j轴图形F变成线或点切变变换1、沿M =2fx轴方1 0 _ k 1 _向：M =11 k_ 0 12、沿j轴方向图形F变成图形F， 大小和形状可能变化三、线性变换的几何意义与矩阵的几何意义的关系从上面的例子，我们可以看出，这些几何现象都有线性变换的影子，而在这 些线性变换中，我们可以看出

23、每一种几何现象都对应一种矩阵。此时，我们不禁 会问：矩阵的几何意义与线性变换的几何意义有什么关系？能不能用线性变换的 观点看矩阵，或者说用矩阵的观点看线性变换？那么我们就该研究在固定一组基下，线性变换与矩阵是否具有一一对应的关系？这个答案是肯定的。但是当中又 蕴含着怎样的思想呢？其实，我们在定义2中已经给出了线性映射的矩阵的定义，但是这个线性映 射是否是唯一的，如果这个线性映射是唯一的，我们又能说明什么？而通过定义 2,我们又可以从中得到什么更一般的结论呢，得出的结论对于几何背景的研究 又有什么用呢？我们可以得到答案：这里面蕴含着线性变换当中同构的思想，而同构是理解 矩阵与线性变换关系的桥梁。

24、我们可以通过用同构的思想更好地解释定义2,并 且在解释这个定义后对一个命题进行证明，从而得到更一般的结论。在定义2中，我们知道，由于U上基向量的像可由V上的基线性表出，则可 写成：a1na1na2n=(r|1，n2，nmM(f G), f G ),f G ) = (n ,n , m ) a21以&12n12 mI %am 2. amn 此时参考上面的结论2,由于dimV = m = Pm，f (a )与矩阵A的氟列的坐标 i向量的对应关系是同构的(i = 1,2,n)。此时我们只要得出线性变换f是由基像f (a )(i = 1,2, ,n)唯一确定，就表明确定f在基点，点和r ,r , ,r下

25、的矩i12n 12m 阵，就确定了f。而一个线性映射完全是被它在一组基上的作用决定的，我们假 设有另一个线性映射g，使得:f ( ) = g( ),(i = 1,2, , n)ii则必有f=g。这是因为对于空间U中的任意向量&，我们有:g = x + x + + x1122nnf f (&) = f (x + X + 1 12 2=xg ( ) + x g ( ) +1122+ x ) = xf ( ) + x f ( ) + + x f ( ) n n 1122n n+ x g ( ) = g (x + x + + x ) = g (& )n n112 2n n而反之，当f确定时，则必有基像

26、唯一确定，故在固定两组基下，线性映射与矩 阵具有一一对应的关系。而下面我们通过定义2的铺垫落实到线性空间上，对 一个命题进行证明，给出了更一般的结论。命题：设和V是数域K上的线性空间，dim U = n，dim V = m，则Hom. (U, V) 同构于K上的mx n矩阵的全体构成的线性空间。证明：取定u和v的基, ,和r ,r , ,r，考察映射12n 12mb : Hom(U, V) T M (K),f A.mXn其中人是f的矩阵。/ 口 a = k 8 + k 8 其中人是f的矩阵。a e U，1 1 乌2n nf (a I (8f (a I (81，8 2,X ( f (81，82,

27、，七)，气)A(k )k2于是f (a )在V中的坐标为Ak 七k2I kn)1、证明b是单射，设f丰g，若它们的矩阵分别为A,B，则A古B。否则U中任一向量在f, g下的像坐标相同n f = g ;2、证明b是满射，任给C e M，定义从U到V的映射f，满足(f (8), f (8), , f (8) = (n ,n ,n )C。再对任一a = k8 + k 8 + + k 8 e u 令12n12m112 2n nf (k 8 + k 8 + + k 8 ) = kf (8 ) + k f (8 ) + + k f (8 )，112 2n n 1122n n易见f线性，即线性映射f的矩阵就

28、是C。3、证明b是线性映射，设f, g e Hom(U, V)，它们的矩阵分别为A,B，(f+g)(8)=f (8)+g(8) = (a n + a n + + a n )+(b n + b n + + b n ) iiii1 1 i2 2im m i1 1 i2 2im mi1i11 i2=(a + b 川 +(a + b.2)n2+(a + b 川i1i11 i2于是 f于是 f + g 在8,8, ,8 和n ,n ,12n 12,n下的矩阵为a+b ；故可得到：b(f + g) =b(f ) +b(g)。+aM)+ (ka )n (i = 1,2, , n)(kf )(8 ) = +a

29、M)+ (ka )n (i = 1,2, , n)iii1 1 i 2 2=(ka )n + (ka )n +于是kf在8,8, ,8和n ,n ,，甲下的矩阵为kA ；故可得到:12n 12m同理可证b(kf) = kb(f)。命题得证。因此，抽象的线性映射就可以通过同构的思想用具体的矩阵的观点来研究， 矩阵当中成立的性质对于线性映射也同样成立；同样，矩阵也可以用线性映射的 观点来研究，在线性映射中成立的性质在矩阵当中也成立。故线性映射的几何意 义其实可以说就是矩阵的几何意义。这个命题意义重大，它可以提供很多判断不是线性变换的例子。例如照相机 照相，它把3维向量射为2维向量。而我们肯定不能找

30、出一个线性变换，使它对 应一个3 X 2的矩阵，故照相机照相不是线性变换。四、与线性变换有关的分支问题的几何意义我们再来看与线性变换有关的问题中的几何意义。我们不通过矩阵的语言， 而通过几何形象来解释线性变换中的一些性质和相关问题。4. 1、几何解释线性变换是否存在交换律首先我们讨论线性变换是否具有交换律。即对于两个线性变换f、g，是否有fg = gf。我们考虑一种情况：f为关于X轴的反射变换，g为关于J X的反射变换。=我们假设平面第一象限有一个正方形，则gf对其作用的过程如下图（见图 十二、图十三、图十四）。（图十二）（图十三）（图十四）而gf对其作用的过程如下图（见图十五、图十六、图十七

31、）。（图十五）（图十六）（图十七）故从上面直观的几何形象，最终变换的结果不同，我们可以得到线性变换不 具有交换律。4.2、几何解释线性变换是否消去律其次我们讨论线性变换是否具有消去律。即对于三个线性变换f、g、h，当gf = hf，是否存在g =h。我们考虑一种情况：g为关于X轴的反射变换，h为 关于原点的反射变换，f是关于J轴的反射变换。我们假设平面第一象限有一个正方形，则gf对其作用的过程如下图（见图 十八、图十九、图二十）。（图十八）（图十九）（图二十）而gf对其作用的过程如下图（见图二十一、图二十二、图二十三）。（图二十一）（图二十二）（图二十三）从上我们可以得到g卫h，故线性变换不存

32、在消去律。4.3几何解释线性变换的逆我们知道，当线性变换fg =8时（其中为恒等变换）时，就称f、g是可逆的线性变换。对于压缩变换f= 2 0，伸长变换g = 2 0，此时fg =8，则f、L 1o 1g互为对方的逆矩阵。我们此时用可以从中得到什么线性变换分支问题的几何形 象呢？我们可以下结论：对于一个物体，处于某种状态，给它一个线性变换f， 若它能经过一系列线性变换之后回到这种状态，则f一定是可逆的。而此时我们 就可以得出例如的正投影就不是可逆的，因为点不能通过线性变换再次变成。4.4同一线性变换下的矩阵相似的几何直观例子接下来我们再来探讨一个有趣的例子。例如我们在照相时拍一个物体，比 如一

33、栋建筑，从正面照相就是正面的几何形象、从侧面照相是侧面的几何形象， 各个不同的角度都呈现建筑的不同几何形象。但是，虽然照出来的几何形象不同， 但是我们能说这就是一个不同的建筑了吗？所有这样照出来的照片都是这同一 栋建筑的描述，但是又都不是这栋建筑本身。此时，我们就可以考虑一个问题： 给两这栋建筑的照片，怎么判断它就是同一栋建筑？这种生活中的几何形象能解 释线性变换中什么的相关问题呢？其实这里面的几何背景当中隐含的是同一线 性变换下的矩阵是相似的思想，因为只有这样，才能得出建筑是只有一个，但是 各个角度照都不一样的现实。4.5线性变换对角化的几何意义我们再对线性变换的对角化问题进行思考。我们此时

34、或许会提出为什么要 提出线性变换对角化呢？我们很明显就是为了研究问题简便。但是其中又蕴含怎 样的思想呢？我们可以得出：线性变换的对角化实质是寻找一个恰当的坐标系， 使得这个变换对这个新的坐标系的单位向量只做伸压变换，不做旋转变换。我们做具体分析，假设对于线性空间 U中的线性变换f，它在一组基e点，点下的矩阵为A，且U中的向量a在这组基的下的坐标为 X，则 12nf (a) = (e*2,，七MX。但若A为对角矩阵，我们就可以先把向量a在基向量 方向上分解成若干个分量：ai，a2,气。故f (a) A f (气)，则可以得到此线性 i=1变换对这些分量ai，a 2,气做了伸.压变换。4.6正交变

35、换的几何意义我们在探讨线性变换的几何意义时，我们可以发觉引入带有度量的线性空 间具有很重要的意义，带有度量的线性空间里的线性变换带有更深的几何意义。 而在这样的线性空间里，正交变换是其重要的变换之一，它保持距离不变。而我 们根据结论3和表一中各变换的矩阵，我们可以得出伸压变换、投影变换不是正 交变换，而通过查阅正交变换的定义，我们也可以得到旋转变换和反射变换是正 交变换。4.7线性变换中特征值及特征向量的几何意义若存在一个非零向量X和属于数域户的非零数人，使得数域P上线性空间V 上的线性变换f，满足f (X) = XX，则称人为线性变换f的特征值，而X为线性变 换f属于特征值人的特征向量。但是

36、它们有什么几何意义呢？其实这里的几何意 义也非常直观，特征向量X就是经过线性变换f后扔保持与其平行的向量，而特 征值就是经过线性变换后向量X的伸压系数。五、具有几何意义的非矩阵表示的线性变换尽管我们已经得到全体线性变换组成的空间与对应的矩阵空间同构。但有时 把线性变换用矩阵表示不一定是最好的，有时用非矩阵表示的线性变换同样具有 几何意义。例如积的表示等等。从这里，我们可以看出矩阵只是研究线性变换几 何意义的工具之一。在三维几何空间中，我们定义这样的变换f，它体现出了射影的几何形象。即对于空间的某一向量a，有f （x）= 些）以（如图二十四）。a（a, a）（图二十四）我们可以验证此变换满足加法

37、和数量乘法，故它是线性变换，则我们得出用 积也是研究线性变换的工具之一。六、具体问题中线性变换与几何的息息相关当我们把线性变换和几何联系在一起考虑一个具体的问题时，我们或许会 发现解决这个问题的途径。而我们通过线性变换的转换，我们也可能解决一些几 何问题。所以我们此时可以形象的形容线性变换是一个“几何朋友”，它们互相 离不开谁，密不可分，息息相关。其中不乏例子，例如由于在同一基下一个线性变换对应这一个矩阵，故矩 阵的秩就是对应的线性变换的秩，而矩阵的秩关系到直线、平面的位置关系，故 线性变换的知识就和几何联系起来了。我们举一个例子，来阐述线性变换与几何的息息相关。例子：设曲面T为球面X2 +产

38、+2 =a2。试计算第一型曲面积分2I = jj (x 2j + 2z)3dS。T分析：我们考虑用选取适当的线性变换来简化这个问题，此时，我们选择 具有几何形象的旋转变换，它是正交变换，它会使得原来的空间直角坐标系变成 新的直角坐标系。从而，线性变换与几何就联系起来了。我们考虑这样的线性变 换：x = 3 (2 x + 2 j + z) y = 3(2 x + j + 2 z) z = 3( x 2 j + 2 z)在此变换下，空间的点不变，而只是空间中的点的坐标变了，则此时T的2一八一 ，、一 ,方程变为T: x 2 + y2 + z 2 = a 2。故所求的积分变为I = jj (3z )

39、3 dS，。再利用球面的T参数坐标，有：r = (x ，y, z) = (a sin 8 cos 0, a sin 8 sin 0, a cos 5 ),0 8 k ,0 0 2 兀则曲面面积元素dS = d8d0 = a2sin8d8d0。合8洲即得I =卜d033(acos8)3a2 sin8d8 =以39兀。；。这样，我们就通过建立 o o5线性变换与几何的联系之后顺利地解决了问题。七、射影几何中的线性变换我们在前面研究线性变换的几何意义时，立足在欧式几何当中，现在我们 考虑在射影几何里面的线性变换与欧式几何里面的线性变换是否存在区别？射 影几何中的线性变换有什么用，能不能比欧式几何更容

40、易解决问题？并且我们在 射影几何中还讨论线性变换的分解问题中相关例子的几何意义。7.1仿射几何中的平移变换我们都知道平移变换在欧式几何中不是线性变换，而在射影几何当中，它 是不是线性变换呢？要研究这个问题，我们首先要研究仿射几何为什么是线性变 换？我们参考高等几何第十一页上关于仿射变换的定义。定义4 :平面上点之间的一个线性变换I = 11+ ai2 + ai3I y = a x + a y + a212223A= aii ai2丰0叫做仿射变换。a a而如果当我们从定义1出发，我们会直觉地认为这个定义4不是一个线性 变换，但是我们知道科学研究几何的顺序是先定义射影几何，再定义仿射几何， 最后

41、定义欧式几何。因此，定义4的仿射变换只是一种简写形式。我们首先必须 清楚如下的定义5。定义5：平面兀的点P(x ,x ,x )到平面兀的点P，(x，,x,x)的射影变换为i 23i 23p x=a x+ a x+a xaaaIii iI2 2I3 3iiI2i3p x=a x+a x+a x ，其中aaa 0 且 p 0。22i i22 223 32i2223p x=a x+a x+a xaaa1 33i i32 233 33i3233而我们此时当上述定义5使得直线x=0上的点通过变换仍为该直线上的点3时，则此变换为仿射变换，此时我们可以得到a3i = a32 = 0，故仿射变换的实质是p x

42、 = a x p x = a x + a x + a x、111 112 213 3可以写成 s p x = a x + a x + a x221 122 223 3p x = a x 333 3(1),口工 a其中a 1133 a2112丰0且p 0。故仿射 a22变换是线性变换。而上式（1）通过改写，可以改为x=aux+a12 +a13的形式， I y = a x + a y + a212223故简写形式不改其本质。现在我们就可以判断平移在仿射几何中是线性变换了，因为根据平移的定义* = aux + a13，故明显可以得出其是线性变换。1 V= a22 y + a237.2仿射变换的优点我

43、们或许要问：仿射变换什么用？其实这些变换都是保向量平行的，若两 条直线平行，经过同一仿射变换后仍是平行的。而且，在解决问题中，仿射变换 联立仿射几何相关知识优势明显。例如我们要求出椭圆的面积。我们只要把椭圆x = x方程m + b- =1做一个仿射变换一 a ，就可以得到圆x 2 +广=a 2，如图二十 I = by五所示。再加上仿射几何中封闭图形面积是仿射不变量。则：得椭圆面积为兀ab。得椭圆面积为兀ab。椭圆面积 _ 圆面积 三角形AOB面积=三角形AOB，面积（图二十五）7.3射影几何中线性变换分解反应出的几何意义在现实生活中，我们或许会感到某些运动是另一些运动的乘积。但是怎样 通过数学

44、的语言来描述它呢？这就涉及一个运动分解的问题。我们在这里用仿射 几何里面的线性变换来解释这类问题。我们举出一个例子。我们都有这样一种直观的感觉，一个图形在运动之后保持形状不变（但是 大小和位置可能发生改变），它的这种运动会不会是某些运动的乘积呢？因此，这种几何运动形象可以通过线性变换来判断它是否成立。我们知道正交变换保长 度，位似变换报角度，相似变换保图形形状不变。我们此时就可以猜想：是不是 相似变换总可以分解成一个正交变换和一个位似变换的乘积呢？我们在仿射几何里研究这个问题，我们首先根据课本给出位似变换的定义 6。定义6：满足=叩一，、+n=i），且 y = b x + a y + db1变

45、换是相似变换。一人bi这种几何运动形象可以通过线性变换来判断它是否成立。我们知道正交变换保长 度，位似变换报角度，相似变换保图形形状不变。我们此时就可以猜想：是不是 相似变换总可以分解成一个正交变换和一个位似变换的乘积呢？我们在仿射几何里研究这个问题，我们首先根据课本给出位似变换的定义 6。定义6：满足=叩一，、+n=i），且 y = b x + a y + db1变换是相似变换。一人bi人ai=(a2 + b2)丰 0 的故此时我们让a=a ， a 人 b， a = b ， a112121122人a，故此时有:a 2 + a2 = a 2 + b2a2 + a2 = (kb )2 + (人a )2 a2 + b2我们令a 2 + b2 = p 2则 a 2