线性代数论文

1、线性代数论文一：行列式a1naa1na2n TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark1 o Current Document aaz(1)t( j j2z(1)t( j j2 jn) aa a1 j1 2 j 2njnj1j2 jn2122anna aann HYPERLINK l bookmark10 o Current Document n1n 2因此在这之前必须提出逆序数的概念：在一个n级排列(，”)中，若数1 2 t s nii ,贝愀数i与i构成一个逆序。一个n级排列中逆序的总数称为该排列的逆序数 记 t st s为T 2in).一个排列逆序数为偶数则为偶

2、排列，否则为奇排列。有定义可以看出n阶行列式表示所有取自不同行、不同列的n个元素乘积a a2.a.1 2n的代数和，各项的符号是：当该项各元素的行标按自然顺序排列后，若对应的列标构成的排 列是偶排列则取正号；是奇排列则取负号.由此则可推出行列式的几个性质：1：行列互换行列式的值不变，行列地位是对称的；2：用一个数乘行列式的某一行等于用这个数乘此行列式。因此相反的行列式的某一行 有公因子可以提出来；3：如果行列式中某一行是两组数的和，则这个行列式等于两个行列式的和，这两个行 列式分别以这两组数作为该行，而其余各行与原行列式对应相同；4：对换行列式中两行的位置，行列式反号；5：如果行列式中有两行成

3、比例饿，则行列式等于0；6：把一行的某个倍数加到另一行，行列式的值不变；有上述六条性质可以很好的对一些高阶行列式进行化简，进而求值。简化行列式计算的 另一条途径则是降阶，即把高阶行列式的计算化为低低阶行列式运算。在这方面则是发现 了行列式的展开公式。首先为方便表达计算有如下定义：在一个n级行列式D中,把元素aij (i,j=1,2,.n)所在的行与列划去后，剩下的 (n-1)A2个元素按照原来的次序组成的一个 n-1阶行列式Mij,称为元素aij的余子式 Mij带上符号(-1)A(i+j)称为aij的代数余子式，记作Aij=(-1)A(i+j)Mij之后则有行列式展开公式：行列式等于它的任意一

4、行(列)的各元素与对应 的代数余子式乘积之和，即:二勺也+阳为+网)最后则回到最原先的问题，用行列式表示方程的解:由克拉默法则知：茅L吃用+赤+巧方=吗口 11改财a22a2ji IIIII I I D不等于0时，那么方程(1)有唯一解 气=D1，气=D2，x = D，(2)1 D 2 D n D其中D ( j = 1,2,)是把系数行列式中第j列的元素用方程右端的自由项代替后所 得到的n阶行列式，即aiiaiiD =jan1- abaa1,j-111，j+11n - abaan,j -1nn，j+1nn)Ax + 1)Ax + 1iLa A :x + 1k 1 kj71kkkkkJ k=1/

5、jk k = 1b A,k kjJ，k=1aknAkn /a的系数等于D，而其余土( 2 j )的系数D Xj = Dj , (j = 1,2 , . ,n ).(3)D Da i + a + + a=b , (i = 1,2,，n).证明：用D中第j列元素代数余子式A , A ,，An依次乘方程组(1)的n个方程， 再把它们相加，得上式中x上式中xj均为零;又等右端即是q，于是当D / 0时方程组(3侑唯一的一个解(2)。由于方程组(10)是由方程组(1)经乘数与相加两种运算而得，故(1)的解一定是(10)的解，今(3)仅有一个解，故(1)如果有解的话，就只可能是解(2)。下面验证解(2)是

6、方程组(1)的解。也就是要证明：为此考虑两行相同的n + 1阶行列式aina1n (i = 1,2,，n ),b an1ab an1nn它的值等于0，把它按第一行展开，由于第1行中%的代数余子式为ba aa a1111,j11, j+11n(1)1+j+1 ba aa ann1n,j1n, j+1nnDaii D1 + ai2 D=(1)j+2(1)j-lD =D,所以有 0=bDaDDaii D1 + ai2 D2 + a 气=b ,(i = 1,2,.,n).in D i得证行列式发展于方程组求解，但是行列式的运用却不仅仅在于方程组，行列式在数学分析、 几何学、二次型理论等多方面都有着重要

7、应用。随着对行列式的计算应用，发展出了矩阵理论。二：矩阵矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究 和应用的一个重要工具，许多实际问题都可以化为矩阵模型来运算。简单地说矩阵就是指纵横排列的二维数据表格，NX M矩阵Q/ggA是-个N行M 列数字构成的方阵，己为：方阵A的行列式称为矩阵的行列式。之后就有一系列矩阵运算定义：1矩阵加法：设A，B，C是三个同型矩阵，则A+(B+C)=(A+B)+C； A+B=B+A.；A+O=0+A=A，其中0是与A同型的矩阵。2矩阵的数乘：设A，B是个同型矩阵，k,l是两个常数，则lA=A,0A=0;k(lA)=(kl)A;k(A+

8、B)=kA+kB;(k+l)A=kA+lA;3维数相容的两个矩阵可以相乘，具体要求是第一个矩阵的列数应等于第二个矩阵的行 数。若A是N*M矩阵，B是M*L矩阵，则C=AB是N*L矩阵，其第个元素是。矩阵乘 法一般不满足交换率(即一般j岫御_= CA更ABBA)1M.1叫呵k4矩阵的转置则是将矩阵的行列互换；逆矩阵的定义：设A是n阶方阵，若存在n阶方阵B，使得AB=BA=I，则称A可逆的，B为A的逆矩阵；其中逆矩阵有着重要的应用，初等矩阵即是可逆矩阵，可逆矩阵也可拆成多个初等矩 阵的乘积，因此在对矩阵进行初等变换、考虑矩阵的相似性、相抵型、相向型、二次型等 等都需要用到可逆矩阵的性质。求可逆矩阵

9、的最基础的方法则是待定系数法，解方程组求解；显然待定系数比较繁琐，容易出错；还有一种则是用伴随矩阵；% -妃对任意n阶矩阵A，称才=AJ为A的伴随矩 阵，其中，可是A中元素的代数余子式。=招崩=4因此A可逆的充要条件是Wn 0，可逆矩阵为应-1 =,伴随矩阵性质证明：设 A=(aij),记 AA*=(bij),则 bij=ai1Ai1+ai2Ai2+.+ainAin= 或，其中i=j*0,当用时bij=0； 故 AA*=国I,同理A*A=冈I可逆矩阵的证明：必要性。若A可逆，则有日，使得AB=I，两边取行列式，可推出!#0； 充分性。若0，则有互1 =闰由上述定义性质可推出矩阵的初等变换和分块矩阵的运算，分块矩阵的运算等同于矩阵运 算0当数学研究领域扩展到N维向量空间、线性空间时，矩阵起着重要作用！ 一组向量组 可以理解为一个矩阵，同时研究向量组的极大线性无关组时也可以转换成矩阵来求；因此 先得引入矩阵秩的概念，矩阵的非零子式的最高阶数r称为矩阵的秩，记为r(A)=r.零矩阵的 秩规定为0；通过计算可以得出矩阵秩的一些性质：1： maxr(A), r(S) r(A: B) r(A)+r(B),特别当 B=b 时,r(A) r(A: b) r(A) +1.fr (A 土 B) ) r (A)