线性代数实验报告

1、Matlab实验报告学院 计算机科学与工程专业 信息管理与信息系统班级402作者曾金伟学号0900340230实验一 Matlab的基本运算一、实验目的：掌握matlab软件的矩阵赋值方法，以及矩阵的相关运算；通过matlab软件进一步理解和认识矩阵的运算规则.二、实验指1.与本实验相关的Matalb命令创建矩阵 例如：A=1 2，一一矩阵行元素的分隔符号例如：A=1, 2;矩阵列元素的分隔符号例如：A=1, 2；3,4%注释行eye(n)创建n阶单位矩阵zeros(m,n)创建mXn阶零矩阵zeros(n)创建n阶方阵ones(m,n)创建mXn阶元素全为1的矩阵rand(m,n)创建mXn

2、阶元素从0到1均匀分布的随机数矩阵round(A)对矩阵A中所有元素进行四舍五入运算inv(A)求矩阵A的逆AJ1用幕运算求矩阵A的逆三、实验习题1 .利用函数rand和round构造一个5X5随机整数矩阵A与B,验证下列等 式是否成立？AB=BA(A+B)(A-B)=A2-B2(AB)t=AtBt解：clear all A=round(rand(5)A = TOC o 1-5 h z 1000110100 HYPERLINK l bookmark7 o Current Document 011111101111111 B=round(rand(5) B = 11100 10100 00011

3、 10111 00001 (1) A*B=B*A A*B=B*AError: The expression to the left of the equals sign is not a valid target for an assignment (A-B)(A+B)=AA2-BA2(A-B)(A+B)=AA2-BA2IError: Unbalanced or unexpected parenthesis or bracket. (AB)、=A、*B、(AB)=A*B、Error: The input character is not valid in MATLAB statements o

4、r expressions.所以上等式均不成立。1 -1 -21.已知 BA-B=A,其中 B = 210 0矩阵A.00 ，用求逆矩阵和矩阵左除两种方法求2clear all B=1 -2 0;2 1 0; 0 0 2 B =1-20210002 E=eye(3) E =100010001 C=B-E C =0-20200001 A=inv(C)*B A = TOC o 1-5 h z 1.00000.50000-0.50001.00000002.0000 A=CB A = 1.00000.50000-0.50001.00000002.0000实验二行列式与方程组的求解一、实验目的1掌握ma

5、tlab软件求行列式的命令；2掌握matlab软件对矩阵进行初等行变换的命令；3掌握matlab软件求满秩线性方程组的各种方法；4掌握matlab软件的符号变量的应用.二、实验指导1 .与本实验相关的Matlab命令clear清除工作空间的各种变量clc清除工作窗口m,n=size(A)m,n分别为A的行数与列数det(A)计算A的行列式rank(A)计算 A 的秩U=rref(A) -对矩阵A进行初等行变换，U为A的行最简型矩阵A(:, i)=b将b赋值给A的第i列A(:,1： 4)取 矩阵A的第1列到第4列A(i,j)引用矩阵A的第i行第j列的元素syms x定义 x 为符号变量=关系运算

6、符号：等于factor(D)对符号变量多项式D进行因式分解solve(D)求符号变量多项式D = 0的解三、实验内容-23x 一13尤 +14尤 +14尤 一 7 尤=一104一2尤 一 2 x + x + 6 x 一 14 x = -114123451.求解非齐次线性方程组 一4x1 一 5x2 - 9x3 + 2x4 一 9x5 = -2124 x 7 x + x + 0 x + 0 x = 56123459 x - x + x - 9 x +10 x = 120解：A=-23 -13 14 14 -7;-2 -2 1 6 -14;-4 -5 -9 2 -9;-4 -7 1 0 0;9 -

7、1 1 -9 10A =-23-131414-7-2-216-14-4-5-92-9-4-71009-11-910 b=-104;-114;-212;-56;120 b =-104-114-212-56120 u=rref(A,b)u =1000060100060010010000102000018仔31-7-10 )2.设2-18-5315，求其逆.A 二-6032-11-1-7000口2-10-10110 /解： A=5 31 -7-10;2-18 -5315;-6 03 2 -11;-1 -7 0 0 0;12 -10 -10 110531-7-102-18-5315-6032-11-1

8、-700012-10-10110 An1=ATWarning: Matrix is close to singular or badly scaled.Results may be inaccurate. RCOND = 4.375535e-018.An1 =1.0e+015 *-0.4193-0.7402-0.45351.44910.19210.05990.10570.0648-0.2070-0.0274-0.5990-1.0574-0.64782.07010.2744-0.3594-0.6344-0.38871.24210.1647-0.00000.0000-0.0000-0.0000-0

9、.00001 - a a 00 -1 1 - a a 03.已知A =，求符号变量的行列式，并将结果因011 - a a:0011 - a)式分解.解：clear all syms a A=1-a a 00;-1 1-a a 0;0 0 1 1-aA =:1-a,a,0,0-1, 1- a,a,00,0,1, 1-a D=det(A)D = a 2 - a + 1 F=Factor(A)F =:1- a,a,0,0-1, 1- a,a,00,0,1, 1- a实验三向量组的线性相关性与方程组的通解一、实验目的1掌握matlab软件分析向量组线性相关的方法；2掌握matlab软件求解线性方程组通

10、解的各种方法；3通过matlab软件进一步理解和认识齐次线性方程组解空间的概念；二、实验内容(2 1 -111)1将矩阵A =4 2 - 2 1 2化为最简行阶梯形矩阵。1 -1 -1 1 ?解： clear all A=2 1 -1 1 1;4 2 -2 1 2;2 1 -1 -1 1 A =21-11142-21221-1-11 rref(A)ans =1.00000.5000-0.500000.50000001.0000000000 x + x + x + x + x = 7123453 x + 2 x + x + x 3x = 2123452求解线性方程组x + 2 x + 2 x +

11、 6 x = 232求解线性方程组5 x + 4 x + 3x + 3 x x = 12解；clear all B=1 1 1 1 1 7;3 211 -3 -2;0 1 2 2 6 23;5 4 3 3 -1 12B =1111173211-3-201226235433-112 rref(B)ans =10-1-1-5-160122623000000000000所以原方程组等价于方程组x x x 5 x =16x + 2 x + 2 x + 6 x = 232345故方程组的通解为:XX= Cf1:21+ cf1 :20+cf5:60+f-16 230100 u J210 u J301V J

12、00v J3求下列符号变量的行列式，并要求把结果因式分解。abbbbabb（1）bbabbbba解；clearall symsa symsb A=a b b b;b a b b;b b b a A = a, b, b, bb, a, b, bb, b, b, a D=det(A)D =a2*b - 2*a*b2 + b3 f=factor(A)f =a, b, b, bb, a, b, bb, b, b, aX=solve(D)X=-1/3*aa a实验4特征向量与二次型一实验目的：掌握MATLAB对向量组正交化的方法；求矩阵特征值与特征向量的方法；求矩阵对角化；化二次型为标准型；判定矩阵的正

13、定性。二实验指导P=Poly(A)求A的特征多项式roots(P )求多项式P的零点orth(A)求出矩阵A的列向量构成空间的一个规范正交基。V,D=eig(A) A的特征值与特征向量，V为A的单位特征向量，D为A的特征值构成的对角矩阵三实验内容2 1 11求矩阵A= 212的特征值与特征向量。1 2 I,解： clear all A=-2 1 1;2 1 2;-1 2 1A =-211212-121 F=eig(A)F =-2.1926-1.00003.1926 V,D=eig(A)V =0.4890-0.00000.2605-0.6621-0.70710.76950.56790.70710

14、.5831D =-2.1926000-1.00000003.1926(5 1 4)2将矩阵A =1 8 1对角化。、4 1 3,解：clear all A=5 1 4;1 8 1;4 1 3A =514181413 F,D=eig(A)F =-0.61230.55670.5614-0.0219-0.72180.69180.79030.41130.4541D =-0.12690006.65890009.4680 B=inv(F)*A*FB =-0.1269-0.00000.000006.6589-0.00000.00000.00009.46803判断二次型f 3 ,x ,x ) = 2x2 +

15、4x2 + 5x2 - 4xx的正定性。(提示：可以考虑利用1231231 2特征值) 解:clear all A=2 -2 0;-2 4 0;0 0 5A =2-20-240005 E=eig(A)E =0.76395.00005.2361所以，二次型的特征值人=0.7639,人=5.0000,人=5.2361均大于0，即二次型f= （x f= （x , x , x）为正定性。x ,x）为正定性。f=实验5综合实验一实验目的二实验指导三试验内容A小行星的轨道模型问题一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳 为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（一天文单位

16、为地球到太阳的平均距离: 1.4959787X101m）.在5个不同的时间对小行星作了 5次观察，测得轨道上5个点的坐标数 据如表6.1.表6.1坐标数据xxx2x3xX坐标5.764y16.286y26.759y37.168yY坐标0.6481.2021.8232.526_5_7.408y53.360由Kepler （开普勒）第一定律知，小行星轨道为一椭圆.现需要建立椭圆的方程以供研 究（注：椭圆的一般方程可表示为a x2 + 2a xy + a y 2 + 2a x + 2a y +1 = 0.12345问题分析与建立模型天文学家确定小行星运动的轨道时，他的依据是轨道上五个点的坐标数据：（

17、X, y1）,（x2, y2）,（x3, y3）,（x4, y4）,（x5, y5）.由Kepler第一定律知，小行星轨道为一椭圆.而椭圆属于二次曲线，二次曲线的一般方 程为a x2 + 2a xy + a y2 + 2a x + 2a y +1 = 0 .为了确定方程中的五个待定系数，将五个 TOC o 1-5 h z 12345点的坐标分别代入上面的方程，得a x2 + 2a x y + a y 2 + 2a x + 2a y = -1, 1 12 1 13 14 15 1a x2 + 2a x y + a y 2 + 2a x + 2a y = -1, 1 22223 24 25 2 a

18、 x2 + 2a x y + a y 2 + 2a x + 2a y = -1 x2 + 2a x y + a y2 + 2a x + 2a y = -1,1 42 443 44 45 4a x2 + 2a x y + a y 2 + 2a x + 2a y = -1. 152 553 54 55 5这是一个包含五个未知数的线性方程组，写成矩阵求解这一线性方程组，所得的是个二次曲线方程求解这一线性方程组，所得的是个二次曲线方程.为了知道小行星轨道的一些参数，还x 212 x1 y1y122x12 y1a 1-x 222 x2 y 2y222x22，2a2-1x232 x3 y3y232x32，3a3=-1x242 x4y 4y 22x42，4a4-1x252 x5 y5y252x52，5 Ia5-1必须将二次曲线方程化为椭圆的标准方程形式:X 2 Y 21+=1a 2 b 2由于太阳的位置是小行星轨道的一个焦点，这时可以根据椭圆的长半轴a和短半轴计算出小行星的近日点和远日点距离，以及椭圆周长L .根据二次曲线理论，可得椭圆经过旋转和平移两种变换后的方程如下:=0.所以,椭圆长半轴:所以,椭圆长半轴:a