线性代数的一些证明题

1、线性代数一些证明题1题目设n阶可逆矩阵A满足A2 =A，求A的特征值。知识点特征值与特征向量矩阵的行列式解题过程解：因为A2 =A所以A 2-A=0所以 det(A2 -A)=detA(A-E)=det(A)det(A-E)=0A为可逆矩阵，所以det(A*0所以 det(A-E)=0所以A的特征值为1.常见错误设存在入，使Ax=Xx成立贝 ij det( Ax)=det(A)det(x)=det(人 x)=人n det(x)(错误在于向量取行列式) 所以有杼=det( A)成立.又因为A2 =Adet(A) 2 =det(A),艮P det(A)=0 或 det(A)=1.由于A为可逆矩阵，

2、det(A).所以 det(A)=1人n = 1当n为奇数时，入=1.当n为偶数时，入=土 1.相关例题设A为n阶矩阵，若A2 =E，试证A的特征值是1或-1.2题目设A是奇数阶正交矩阵，且det(A)=1，证明det(E-A)=0.知识点正交矩阵的定义：AtA=E单位矩阵的性质：EA=AE=A Et =E矩阵运算规律转置矩阵的性质：(A+B)t =At +Btdet(A)=det(A t )det(AB)=det(A)det(B)det(-A)=(-1) n det(A)解题过程A是正交矩阵. E-A= AtA-A= AtA-EA=( At -E)Adet(A)=1.*.det(EA)=de

3、t(A t E)A)=det(A t E)det(A)=det(A t E)Vdet(E-A)=det(E-A) t =det(EA t )det(At E)= det(EAt )= det(At E)= (1) n det(At E).n为奇数A (1) n = 1det(A t E)=0.det(EA)=0常见错误误以为 det(EA)= det(E) det(A),于是 det(EA)=1det(A)=11=0.det(A)=1 TOC o 1-5 h z .a a .3 =1(其中a ,a，,a为A作初等变换变为上三角形后 12n12n对角线上的元素).det(EA)= (1-a)(1

4、-a)(1-a)12nVdet(E-A)=det(A t -E)A)=det(A t -E)det(A)=det(A t-E)且 det(At -E)= ( a -1) ( a -1)(a -1).12n. .(1-a ) ( 1- a )(1-a ) = ( a -1) ( a -1)(a -1)12n12n=(-1) n ( 1- a ) ( 1-a )(1- a )12n.n为奇数.(一1) n = 1.(1 a)(1 a)(1 a)=012n.det(E-A)=0以上证法先把A变为上三角，再用E减去变化后的A,再求行列 式，这是错误的。相关例题证明：若A为正交矩阵，则det(A)=1.

5、题目试就a,b的各种取值情况，讨论下列线性方程组的解，若有解，则求 出解。X + X - X = 1(1)2气 + (a + 2)x2 - (b + 2)X3 = 3(1)3ax + (a + 2b) X 323知识点线性方程组解的结构解题过程1111 一1111 一r 2r2a + 2b 2321 *0ab1_03a + 2b3_03aa + 2b3解：B=r - 3rr - 3r11110a-b100a 一 b0当ab. 0,且a丰0时，rank（B）=3，增广矩阵的秩也等于3,而且等于未知数的个数，故方程组（1）有唯一解。其解为:n111.x = 0, x = , x = 1 一 ;当a

6、-b=0，且a河时，rank（B）=2,增广矩阵的秩也等于2,秩小于未 知数的个数，此时故方程组（1）有无穷多解。其解可由ax -bx = 1，解得x = 1+ bx ,，代入第一个方程232 a a 3=1得到x1a 一 1 a 一 b 1x =+x = 1 一a a 3 a般解为:1b 1般解为: x = + x = + xa a 3 a3x3 = x3(任意)（3）当a=0，b为任意数，11 -11此时增广矩阵可化为：0a 一 b 100 a 一 b 011-11 -00b1000-1可见，rank（B）=2,但增广矩阵的秩为3,所以方程组（1）无解，常见错误在讨论带参数的线性方程时，尽

7、管初等变换结果正确，也会产生 讨论不全的错误。如，当a丰b时，就说原方程有唯一解，没有指出a丈0，当a=b 时，就说原方程组有无穷多解，没有指出a=bu0，等等。相关例题确定a,b的值，使下列方程组气 +- 3 T(a ,a , ka + k a + k a )234231 12 23 3c -k cC-酝 (a ,a ,ka)2311c3* (a ,a ,a )由于初等变换不改变矩阵的秩，所以由a1, a 2, a3线性无关，知（a , a , a ）推出气,气线性无关的秩为3,所以（a2,a3,a4）秩也为3推出气,气线性无关证法三：（反证法）假设（气, a 4）线性相关.使得 k a +

8、 k a + k a = 0使得 k a + k a + k a = 0122334123 TOC o 1-5 h z 已矢口a = ka + k a + k a，代入上式，得 41 12 23 3k a + k a + k (k a + k a + k a ) = 0 122331 12 23 3化为：kk a + (kf + kk )a + (k + kk )a = 013112322333Q k , k , k全不为0 123二 k k ,k + k k ,k + k k 不全为0 13123233(否则，由 kk =k + kk =k + k k =0 得 k =k =k =0)131

9、23233123艮P a1,a2,a3线性相关，与题目已知条件矛盾.所以假设不成立，即(气,气)线性无关.5题目设n1,n2,L E 是AX = B的解且线性无关，R(A) = r，试证AX = B的任一解可表示为X = k 门+ k 门 + L + k a ，其中 k + k2 + L + k 1 = 1知识点 基础解系 方程组解的结构解题过程证明 Q门E2,L ,n +1是AX = B的解.顼-n,n -n,l ,n n是ax = 0的解1 nr+1 2 nr+1nrnr+1由(n ,n ,l ,n ,n)8M 匚口 1 2n - r n - r+1Lc - cnr n-r+1(n n,n

10、 n ,l ,n n M )1 nr+1 2 nr+1nr nr+1 nr+1因为 门，门，L，门 线性无关，所以门一门 E -门 ,L E -门，门 线性无关，1n - r+12n - r+1n - rn - r+1n - r+1门-门，门-门,L，门-门 也线性无关，且1n - r +12n - r + 1n - rn - r +1R(n -n ,n -n ,l ,n -n ) = nr1 n 一 r+1 2 n-r+1n 一 r n 一 r+1所以n -n ,n -n ,l ,n -n 是ax = 0的基础解系 1 n - r +1 2 n - r + 1n - r n - r +1因为

11、AX = 0的任一解X *可以表示为：x * = k (n -n ) + k (n -n) + l + k (n -n )1 1 nr+12 2 nr+1nr nr nr+1AX = B的任一解X可以表示为：X = X * +n *其中n *是AX = B的一个特解扩展式，取n*=n ，得n 一 r+1x=k (n -n )+kf (n -n) + l + k f (n -n) +n1 1 nr+1 2 2 nr+1nr nr nr+1nr+1x=x=k n + k n + l + k n + (1-k - k -l1 12 2nr nr12令k= 1 k k L k ，k = k.k = k

12、 L .k一k川nr nr+1n-r+112n-r1122/ I则AX = B的解可以表示为x = k n + k n + l + k n且 k + k +L + k = k+ k +L + k +(1- k- k -L - k ) = 11 2nr+1 12nr12nr命题得证另外取牛,(1 / 1 n_r+1此时令k = k,k = k ,L ,k = k ,k = 1+k,k = k ,L ,k = k 112 2i-1 i-1 ii i+1 i+1n-r n-rkn-r+1=-k k；- L - kn-则AX = B的解可以表示为x = k q + k n + l + k n且 k +

13、 k + L + k=kf + k+L + k +(1+ k)+k +L + k +(-k -k-L -k )=112i-1ii+1n-r12n-r此时命题也成立常见错误不会应用定理.不知两个非齐次组的解的差是齐次线性方程组的解.6题目设人、人是矩阵A的两个不同的特征值，尤、尤分别属于人、人的特 121212征向量，证明气+ X2不是矩阵A的特征向量.知识点特征值特征向量解题过程用反证法.设气+七是A的对应人的特征向量，则有A(x + x ) = X(x + x ) = Xx +入x TOC o 1-5 h z 121212已矢口 Ax = X x， Ax = X x11 122 2所以 A(x + x ) = Ax + Ax = X x