1.1集合的概念讲义-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1、 32/321.1集合的概念一、本节知识点讲解【知识点1】集合的概念集合的定义： 一般地，我们把研究对象统称为元素(element)，把一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集。集合的表示方法： 我们用大写拉丁字母，表示集合，用小写拉丁字母，表示集合中的元素。集合三要素：(1)确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况有且只有一种成立。(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的，同一集合中不应重复出现同一元素。(3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由1，2，3组成的集

2、合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合。集合相等： 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的。元素与集合的关系：(1)如果是集合A的元素，就说属于(belong to)A，记作(2)如果不是集合A的元素，就说不属于(not belong to)A，记作。常用数集及其表示 ： 自然数集:全体非负整数组成的集合记作正整数集:所有正整数组成的集合记作整数集:全体整数组成的集合记作有理数集:全体有理数组成的集合记作实数集:全体实数组成的集合集合的表示方法： （1）自然语言描述法：用文字叙述的形式描述集合的方法。如：大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合。 （2）列举

3、法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法。如：1，2，3，4，5。 （3）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。集合的分类： 按照集合元素的个数来分： 空 集：不含有任何元素的集合称为空集(empty set)，记作：。 有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集。 无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集。 按照集合的元素类型来分：点集、数集、解集、图形集、物体集等。 【题型1】集合的定义【例1】下列各组对象不能

4、组成集合的是（）A俄罗斯世界杯参赛队伍 B中国文学四大名著C我国的直辖市 D抗日战争中著名的民族英雄【变式1】下面几组对象可以构成集合的是（）A视力较差的同学 B2013年的中国富豪C充分接近2的实数的全体 D大于2小于2的所有非负奇数【变式2】下列各项中，不可以组成集合的是（）A所有的正数B等于2的数C接近于0的数D不等于0的偶数【变式3】现有以下说法，其中正确的是（）接近于0的数的全体构成一个集合； 正方体的全体构成一个集合；未来世界的高科技产品构成一个集合； 不大于3的所有自然数构成一个集合ABCD【小结】【题型2】描述法【例1】若A（1，2），（0，0），则集合A中的元素个数是（）A1

5、个B2个C3个D4个【变式1】点的集合M（x，y）|xy0是指（）A第一象限内的点集 B第三象限内的点集C第一、第三象限内的点集 D不在第二、第四象限内的点集【变式2】集合（x，y）|y2x1表示（）A方程y2x1 B点（x，y）C平面直角坐标系中的所有点组成的集合 D函数y2x1图象上的所有点组成的集合【变式3】下列命题正确的是（）A接近2017的实数可以构成集合 B很小的实数可以构成集合C集合y|yx21与集合（x，y）|yx21是同一个集合D参加2017年厦门金砖国家峰会的所有国家可以构成一个集合【小结】【题型3】元素的个数【例1】集合AxZ|1x3的元素个数是（）A1B2C3D4【变式

6、1】已知集合Ax|1x4，xZ），则集合A中元素的个数为（）A3B4C5D6【变式2】设集合A1，0，1，2，3，4，Bx|xA且2xA，则集合B中元素的个数为（）A1B2C3D4【变式3】已知集合A3，2，1，0，1，2，By|yx21，xA，则集合B中所有元素之和是（）A10B13C14D15【小结】【题型4】元素与集合关系的判断【例1】设集合Ax|x2，则（）A2AB0AC3AD【变式1】已知集合Ax|x21，且aA，则a的值可能为（）A2B1C0D1【变式2】已知集合Ax|xa0，若2A，则a的取值范围为（）A（，4B（，2C2，+）D4，+）【变式3】已知Px|2xk，xN，若集合P

7、中恰有4个元素，则（）A6k7B6k7C5k6D5k6【例2】已知集合A0，1，2，那么下列表示正确的是（）A0AB0AC1AD0，1，2A【变式1】已知集合M0，1，则下列关系式中，正确的是（）A0MB0MC0MD0M【变式2】设集合Ax|（x1）（x+1）0，则（）AAB1AC1AD1，1A【变式3】已知集合Ax|x23x+20，则下列选项正确的是（）A3AB2AC1AD1A【例3】下列4个关系中，正确的是（）A2RB|3|Q C0.5ZD0N*【变式1】下列关系中，正确的是（）A0N+B32ZCQD0【变式2】下列关系式正确的是（）A0NB2ZCRD2【变式3】下列五个关系中，正确的个数

8、为（）72R；2Q；Q；|3|N；-4A1个B2个C3个D4个【小结】【题型5】集合的确定性、互异性、无序性【例1】已知集合M3，m+1，且4M，则实数m等于（）A4B3C2D1【变式1】若1x，x2，则x（）A1B1C0或1D0或1或1【变式2】若4x+2，x2，则实数x的值为（）A2B2C2或2D2或4【变式3】已知集合A0，m，m23m+2，且2A，则实数m为（）A2B3C0或3D0，2，3均可【小结】【题型6】集合的表示法【例1】将集合（x，y）|x+y5，且2xy1表示成列举法，正确的是（）A2，3B（2，3）C（3，2）D（2，3）【变式1】已知集合Ax|x2x20，用列举法可表示

9、为A 【变式2】用列举法表示集合x|x22x30，xZ 【变式3】用列举法表示集合AxZ|32x13，A 【小结】四、当堂检测 一选择题（共9小题）1设集合A2，1a，a2a+2，若4A，则a（）A3或1或2B3或1C3或2D1或22设集合A1，2，4，集合Bx|xa+b，aA，bA，则集合B中有（）个元素A4B5C6D73已知集合Aa2，2a2+5a，12，且3A，则a等于（）A1B-23C-324集合A1，2，3，5，当xA时，若x1A且x+1A，则称x为A的一个“孤立元素”，则A中孤立元素的个数为（）A1B2C3D45把集合x|x23x+20用列举法表示为（）Ax1，x2Bx|x1，x2

10、Cx23x+20D1，26已知集合A1，1，B1，0，1，则集合Ca+b|aA，bB中元素的个数为（）A2B3C4D57已知A=1，2A1B2C4D88已知a=5，Ax|x3，xRAaABaACaADaA9若a1，a22a+2，则实数a的值为（）A1B2C0D1 或2二填空题（共1小题）10含有三个实数的集合既可表示为b，ba，0，也可表示为a，a+b，1，则a+三、家庭作业一选择题（共16小题）1非空集合S1，2，3，4，5且满足“若aS，则6aS”，这样的S共有（）A4B5C6D72集合 A1，2，3，4，5，B1，2，3，Cz|zxy，xA且yB，则集合C中的元素个数为（）A3B11C8

11、D123设AxZ|x|2，By|yx2+1，xA，则B的元素个数是（）A5B4C3D24设集合Ax|x2，则下列四个关系中正确的是（）A1AB1AC1AD1A5设集合A1，2，3，B4，5，Mx|xa+b，aA，bB，则M中元素的个数为（）A3B4C5D66如果集合Ax|ax2+2x+10中只有一个元素，则a的值是（）A0B0或1C1D不能确定7若集合Ax|x2+x60，则下列关系正确的是（）A2AB3AC2AD3A8下列元素与集合的关系表示正确的是（）0N*； 2Z； 32Q； ABCD9给出下列关系：2Q，0N，21，2，A0B1C2D310设集合A1，2，3，B1，3，9，xA，且xB，

12、则x（）A1B2C3D911已知集合A12，a2+4a，a2，且3A，则a（）A1B3或1C3D312下列五个关系中，正确的个数为（）72R；2Q；Q；|3|N；-4A1个B2个C3个D4个13已知x1，2，x2x，则实数x为（）A0B1C0或1D0或1或214集合3，x，x22x中，x应满足的条件是（）Ax1Bx0Cx1且x0且x3Dx1或x0或x315设集合Ax|3x1m，若1A且2A，则实数m的取值范围是（）A2m5B2m5C2m5D2m516下列关系式正确的是（）A0NB2ZCRD21.1集合的概念一、本节知识点讲解【知识点1】集合的含义与表示集合的定义： 一般地，我们把研究对象统称为

13、元素(element)，把一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集。集合的表示方法： 我们用大写拉丁字母，表示集合，用小写拉丁字母，表示集合中的元素。集合三要素：(1)确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况有且只有一种成立。(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的，同一集合中不应重复出现同一元素。(3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合。集合相等： 只要构成两个集合的元素是一样的，就称

14、这两个集合是相等的。元素与集合的关系：(1)如果是集合A的元素，就说属于(belong to)A，记作(2)如果不是集合A的元素，就说不属于(not belong to)A，记作。常用数集及其表示 ： 自然数集:全体非负整数组成的集合记作正整数集:所有正整数组成的集合记作整数集:全体整数组成的集合记作有理数集:全体有理数组成的集合记作实数集:全体实数组成的集合集合的表示方法： （1）自然语言描述法：用文字叙述的形式描述集合的方法。如：大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合。 （2）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法。如：1，2，3，4，5。 （3）描

15、述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。集合的分类： 按照集合元素的个数来分： 空 集：不含有任何元素的集合称为空集(empty set)，记作：。 有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集。 无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集。 按照集合的元素类型来分：点集、数集、解集、图形集、物体集等。 【题型1】集合的定义【例1】下列各组对象不能组成集合的是（）A俄罗斯世界杯参赛队伍 B中国文学四大名著C我国的直辖市 D抗日战争中著名的民族英雄故选：D【

16、变式1】下面几组对象可以构成集合的是（）A视力较差的同学 B2013年的中国富豪C充分接近2的实数的全体 D大于2小于2的所有非负奇数故选：D【变式2】下列各项中，不可以组成集合的是（）A所有的正数B等于2的数C接近于0的数D不等于0的偶数故选：C【变式3】现有以下说法，其中正确的是（）接近于0的数的全体构成一个集合； 正方体的全体构成一个集合；未来世界的高科技产品构成一个集合； 不大于3的所有自然数构成一个集合ABCD故选：D【小结】【题型2】描述法【例1】若A（1，2），（0，0），则集合A中的元素个数是（）A1个B2个C3个D4个【解答】解：由集合A中的条件可得A中的元素有：（1，2），

17、（0，0），故选：B【变式1】点的集合M（x，y）|xy0是指（）A第一象限内的点集 B第三象限内的点集C第一、第三象限内的点集 D不在第二、第四象限内的点集【解答】解：x和y同号或至少一个为零，故为第一或第三象限内的点或坐标轴上的点故选：D【变式2】集合（x，y）|y2x1表示（）A方程y2x1 B点（x，y）C平面直角坐标系中的所有点组成的集合 D函数y2x1图象上的所有点组成的集合【解答】解：集合的元素为有序实数对（x，y），表示点，故选：D【变式3】下列命题正确的是（）A接近2017的实数可以构成集合 B很小的实数可以构成集合C集合y|yx21与集合（x，y）|yx21是同一个集合D参

18、加2017年厦门金砖国家峰会的所有国家可以构成一个集合故选：D【小结】【题型3】元素的个数【例1】集合AxZ|1x3的元素个数是（）A1B2C3D4【解答】解：集合AxZ|1x30，1，2，故选：C【变式1】已知集合Ax|1x4，xZ），则集合A中元素的个数为（）A3B4C5D6【解答】解：1x4，xz，x1，0，1，2，3故选：C【变式2】设集合A1，0，1，2，3，4，Bx|xA且2xA，则集合B中元素的个数为（）A1B2C3D4【解答】解：0A且0A，1A且2A，2A且4A，B0，1，2故选：C【变式3】已知集合A3，2，1，0，1，2，By|yx21，xA，则集合B中所有元素之和是（）

19、A10B13C14D15【解答】解：By|yx21，xA1，0，3，8，故选：A【小结】【题型4】元素与集合关系的判断【例1】设集合Ax|x2，则（）A2AB0AC3AD【解答】解：集合Ax|x2，32，则3【变式1】已知集合Ax|x21，且aA，则a的值可能为（）A2B1C0D1【解答】解：集合Ax|x21x|1x1，故选：C【变式2】已知集合Ax|xa0，若2A，则a的取值范围为（）A（，4B（，2C2，+）D4，+）【解答】解：2A；2a0；a2；a的取值范围为2，+）故选：C【变式3】已知Px|2xk，xN，若集合P中恰有4个元素，则（）A6k7B6k7C5k6D5k6【解答】解：则集

20、合P3，4，5，6，6k7，故选：B【例2】已知集合A0，1，2，那么下列表示正确的是（）A0AB0AC1AD0，1，2A【解答】解：集合A0，1，2，0A故选：B【变式1】已知集合M0，1，则下列关系式中，正确的是（）A0MB0MC0MD0M故选：C【变式2】设集合Ax|（x1）（x+1）0，则（）AAB1AC1AD1，1A【解答】解：Ax|（x1）（x+1）01，1，1A故选：B【变式3】已知集合Ax|x23x+20，则下列选项正确的是（）A3AB2AC1AD1A【解答】解：集合Ax|x23x+20，化简得：A1，2故选：C【例3】下列4个关系中，正确的是（）A2RB|3|Q C0.5ZD

21、0N*【解答】R表示实数集，Q表示有理数集，Z表示整数集，N*表示正整数集，故选：A【变式1】下列关系中，正确的是（）A0N+B32ZCQD0故选：C【变式2】下列关系式正确的是（）A0NB2ZCRD2故选：D【变式3】下列五个关系中，正确的个数为（）72R；2Q；Q；|3|N；-4A1个B2个C3个D4个故选：C【小结】【题型5】集合的确定性、互异性、无序性【例1】已知集合M3，m+1，且4M，则实数m等于（）A4B3C2D1【解答】解：集合M3，m+1，4M，4m+1，解得m3故选：B【变式1】若1x，x2，则x（）A1B1C0或1D0或1或1【解答】解：、当x1时，x21，不符合集合中元

22、素的互异性，舍去，、当x21，解可得x1或x1（舍）当x1时，x21，符合题意，故选：B【变式2】若4x+2，x2，则实数x的值为（）A2B2C2或2D2或4【解答】解：由于4x+2，x2，所以x+24或x24，且x+2x2；故x2；故选：A【变式3】已知集合A0，m，m23m+2，且2A，则实数m为（）A2B3C0或3D0，2，3均可【解答】解：m2或m23m+22，解得m2或m0或m3当m0时，集合A0，0，2不成立当m2时，集合A0，0，2不成立当m3时，集合A0，3，2成立故m3故选：B【小结】【题型6】集合的表示法【例1】将集合（x，y）|x+y5，且2xy1表示成列举法，正确的是（

23、）A2，3B（2，3）C（3，2）D（2，3）【解答】解：可得：x2，y3，故选：B【变式1】已知集合Ax|x2x20，用列举法可表示为A1，2【解答】解；解方程x2x20得：x1或2，【变式2】用列举法表示集合x|x22x30，xZ0，1，2【解答】解；解不等式x22x30，得：1x3，【变式3】用列举法表示集合AxZ|32x13，A0，1，2【解答】解：集合AxZ|32x13xZ|1x20，1，2，【小结】二、当堂检测 一选择题（共9小题）1设集合A2，1a，a2a+2，若4A，则a（）A3或1或2B3或1C3或2D1或2【解答】解：若1a4，则a3，a2a+214，A2，4，14；若a2

24、a+24，则a2或a1，a2时，1a1A2，1，4；a1时，1a2（舍），故选：C2设集合A1，2，4，集合Bx|xa+b，aA，bA，则集合B中有（）个元素A4B5C6D7【解答】解：由题意，B2，3，4，5，6，8；故选：C3已知集合Aa2，2a2+5a，12，且3A，则a等于（）A1B-23C-32【解答】解：3A，3a2或32a2+5a，a1或a=-当a1时，a23，2a2+5a3，不符合集合中元素的互异性，故a1应舍去当a=-32时，a2=-72，2a2+5a3，满足a4集合A1，2，3，5，当xA时，若x1A且x+1A，则称x为A的一个“孤立元素”，则A中孤立元素的个数为（）A1B

25、2C3D4【解答】解：514A且5+16A，则5是A的一个“孤立元素”，故选：A5把集合x|x23x+20用列举法表示为（）Ax1，x2Bx|x1，x2Cx23x+20D1，2【解答】解：根据题意，若x23x+20，则有x1或2，故选：D6已知集合A1，1，B1，0，1，则集合Ca+b|aA，bB中元素的个数为（）A2B3C4D5【解答】解：集合Ca+b|aA，bB2，1，0，1，2，故选：D7已知A=1，2A1B2C4D8【解答】解：B1，4，B中的元素的个数为2故选：B8已知a=5，Ax|x3，xRAaABaACaADaA【解答】解：53，aA，aA故选：9若a1，a22a+2，则实数a的

26、值为（）A1B2C0D1 或2【解答】解：则：a1或aa22a+2，当a1时：a22a+21，与集合元素的互异性矛盾，舍去；当a1时：aa22a+2，解得：a1（舍去）；或a2；故选：B二填空题（共1小题）10含有三个实数的集合既可表示为b，ba，0，也可表示为a，a+b，1，则a+由于ba中a0，所以a+b一定等于0，即a+b0，ab；ba=-1，b1，a三、家庭作业一选择题（共16小题）1非空集合S1，2，3，4，5且满足“若aS，则6aS”，这样的S共有（）A4B5C6D7【解答】解：当a1时，6a5，当a2时，6a4，当a3时，6a3即1和5，2和4，3必须在一起，S1，5，S2，4，

27、S3，S1，2，4，5，S1，3，5，S2，3，4，S1，2，3，4，5，故选：D2集合 A1，2，3，4，5，B1，2，3，Cz|zxy，xA且yB，则集合C中的元素个数为（）A3B11C8D12【解答】解：由题意得，A1，2，3，4，5，B1，2，3，Cz|zxy，xA且yB，当x1时，z1或2或3；当x2时，z2或4或6；当x3时，z3或6或9；当x4时，z4或8或12；当x5时，z5或10或15；所以C1，2，3，4，6，8，9，12，5，10，15中的元素个数为11，故选：B3设AxZ|x|2，By|yx2+1，xA，则B的元素个数是（）A5B4C3D2【解答】解：AxZ|x|22，1，0，1，2，By|yx2+1，xA5，2，1B的元素个数是3故选：C4设集合Ax|x2，则下列四个关系中正确的是（）A1AB1AC1AD1A【解答】解：集合Ax|x2，是所有不大于2的实数组成的集合，1是集合中的元素，故1A，故选：A5设集合A1，2，3，B4，5，Mx|xa+b，aA，bB，则M中元素的个数为（）A3B4C5D6【解答】解：因为集合A1，2，3，B4，5，Mx|xa+b，aA，bB，所以a+b的值可能为：1+45、1+56、2+46、2+57、3+47、3+58，所以M中元素只有