线性代数第1章行列式习题2

1、第一章行列式一、单项选择题1.行列式D非零的充分条件是(D)(A)D的所有元素非零(B)D最少有n个元素非零(C)D的任何两行元素不行比率(D)以D为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解2二阶行列式k120的充分必要条件是（C）2k1Ak-1Bk3Ck-1且k3Dk-1或33已知2阶行列式a1a2=m,b1b2=n,则b1b2=（B）b1b2c1c2a1c1a2c2+n（m+n）xyz2x2y2z4.设行列式4031,则行列式401（A）111311128A.D.335以下行列式等于零的是(D)321003010316A.321B.010C300D22400113000116201116行列式1

2、011第二行第一列元素的代数余子式A21=（B）11011110A-2B-1C1D23x1kx2x308若是方程组4x2x30有非零解,则k=（B）4x2kx300ab0a00b9（考研题）行列式=（B）0cd0c00d2B.adbc22d2b2c2D.b2c2a2d2A.adbcC.a二、填空题1.四阶行列式中带负号且含有因子a12和a21的项为a12a21a33a44。2.行列式111中（3，2）元素的代数余子式A32234=_-2_.491615783.设D1111，则5A+A+A=_。142444209634371575解答：5A14+A24+A44=111115020903431a2

3、10，则数a=_3_.4已知行列式230111ab05若a,b是实数，则当a=_且b=_时，有ba00。101ab0ab解答：ba0(a2b2)0a=0,b=0ba101x2236.设f(x)12x34，则x2的系数为23。213x100013000327.五阶行列式00183_。020753002600013000321)23131解答：00183(24232020753300261a1a2a38.（考研题）多项式f(x)1a1xa2a3的所有零点1a1a2x1a31a1a2a3x2为x10，x21，x32。xbcd9、（考研题）设f(x)bxcd，则方程f(x)0的根为x。bcxdbcdx

4、【解析】f(x)是关于x的四次多项式，故方程f(x)0应有四根，利用行列式的性质知，当xb,c,d时，分别会出现两行相等的情况，因此行列式为零，故xb,c,d是方程的三个根。再将后三列均加到第一列上去可以提取一个公因子为xbcd，因此当x(bcd)时，满足f(x)0，因此得方程的第四根x(bcd)。故方程的四个根分别是：b,c,d,(bcd)。二、计算题00L01000M200MMMMM1、计算D2012L00。0020130L00000L002014【解析】方法一：此行列式恰好只有n个非零元素a1n1,a2n2,an11,ann，故非零项只有一项：(1)ta1n1a2n2an11ann，其中

5、t(n1)(n2)，2(20141)(20142)因此D(1)22014!2014!方法二：按行列张开的方法也行。123423412、计算行列式D。34124123解析：若是行列式的各行（列）数的和相同时，一般第一采用的是将各列（行）加到第一列（行），提取第一列（行）的公因子(简称列（行)加法).解这个行列式的特点是各列4个数的和为10，于是，各行加到第一行，得1234101010101111234123412341D41234121041233412341234123111111110121012110121100416000003210004122222223计算2232的值。222n12

6、22120022220200解：22320210222n020n22002102(n2)!=20n2a1000a20a50a604、计算5阶行列式：D00a900的值。0a70a80a3000a4【解析】模拟上题的思路。a1a2D(a9)a5a6a7a8a3a4a1a2(aa3a49)a5a6a7a8(aa1a2a5a69)3a4a7a4(a9)a8111111115、计算行列式的值。139271248解析经过仔细观察会发现，这个行列式是个4阶范德蒙行列式的转置，因此利用范德蒙行列式的结论即可轻松算出行列式的值为240。43000143006、行列式01430=。0014300014解析关于此

7、类三对角行列式，一般采用的是递推法。按第一列张开，有4300300043014301430D54(1)214D431434D43D30143014301400140014故有D5D43(D4D3)32(D3D2)33(D2D1)33(1634)35于是D5D435(D334)35(D233)3435D132333435364111x17.求行列式11x111x11的值。1x1111【解析】利用行列式的性质，将第2，3，4列加到第1列上得111x1x11x1111x111x11x1x1111x111x111xx111x111x1x1111x1111111111x10 xx00 xxxx0 xx4

8、xx0 x000 x000 xabbbbbabbb8、计算n阶行列式bbabb。Dnbbbabbbbba【解析】行列式特点是各列（各行）元素之和都是a(n1)b，故可把各行（各列）元素均加至第一行，提出公因子a(n1)b，尔后各行再减去第一行：a(n1)ba(n1)ba(n1)ba(n1)ba(n1)bbabbbDnbbabbbbbabbbbba1111111111babbb0ab000a(n1)bbbabb(n00ab00a1)bbbbab000ab0bbbba0000aba(n1)b(ab)n11a11111a21，其中a1a2an09.计算行列式Dn111an【解析】方法一：利用行列式性

9、质，将原行列式化为上三角行列式。1a111n111a1a11a1a20i1ain1)0a20a1a2an(1Dni1aia10an00an方法二：利用加边的方法111L1111L101a11L11a10L0Dn1011a2L110a2L0MMMOMMMMOM01111an1000an1n111L1i1ai0a10L0n100a2L0a1a2Lan(1)i1aiMMMOM0000an111110.计算行列式Dabcd的值。a2b2c2d2a4b4c4d411111abcdx【解析】利用范作范德蒙行列式D1a2b2c2d2x2，则行a3b3c3d3x3a4b4c4d4x4列式D就是行列式D1元素x3的余子式M45，即DM45又()()()()()()()()()()D1