空间向量及其运算(讲义)

1、空间向量及其运算(讲义)知识点睛一、空间向量的定义及定理定义：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量.空间向量的有关定理及推论共线向量定理对空间任意两个向量a, b (b#0), ab的充要条件是：存在实数1,使扩充：对空间三点P, A, B,可通过证明下列任意一个结论成立来证明三点共线：pr=x pb；对空间任一点O, OT= OT+ tAJT ；对空间任一点 O, g= xOA+ yOBT ( x + y = 1).共面向量定理如果两个向量a, b,那么向量p与向量a, b共面的充要条件是: 存在 的有序实数对(x, y),使.扩充：对空间四点P, M, A, B,可通过证明下列任意一个

2、结论成立来证明四点共面:MP= xM!+ yMMB ；对空间任一点O, OT= OM+ xMA+ yMB ；对空间任一点 O, g= xOWT+ yOA+ zOB( ( x + y + z = 1)；PM AT (或 PT MB 或 PIT AM ).空间向量基本定理如果三个向量a, b, c不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组x, y, z,使得.其中，叫做空间的一个基底.二、空间向量的线性运算 类比平面向量三、空间向量的坐标运算a=(a1, a2, a3), b=(b1, b2, b3) (a, b 均为非零向量)： a+b=, a-b=Aa=；a b =, a =；cos=；ab

3、 o o；ab o o.四、空间位置关系直线的方向向量与平面的法向量（1）直线的方向向量：l是空间一直线，A, B是直线l上任意两点，则称 2 为直线l的方向向量.与AiT平行的任意 也是直线的方向向量.（2）平面的法向量定义：与平面 的向量，称作平面的法向量.确定：设a, b是平面内两不共线向量，n为平面a的法向量，则求法向 量的方程组为.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，12的方向 向量分别为m1=（x1， y1， zj，m2=（x2，y2，z2）/JmJ m2 o1112m1m2 o直线1的方向向量为m=（x1， y1， z1），平面a的法向量为n=（x2，y2，z2）/a

4、mn o1am n o平面a，6的法向量 分别为n1=（x1， y1， z1），n2=（x2，y2，z2）a 6njl n2 oa6n1n2 o精讲精练1.如图，在空间四边形ABCD中，若G是CD的中点，则AT+ 2（ BD+ BC）=（）A. BCB. CGA. BCB. CGC. AGD. 1BC2第1题图第2题图2.如图，在四面体OABC中，设OC= a , OC = b , OC= c ,若D为BC的中点，E为AD的中点，则OE =.（用a, b，c表示）3,已知向量 a，b，若CT= a + 2b，BC=-5a + 6b，CDt= 7a-2b，则一定共线的二点是（ ）A的二点是（ ）

5、A.A，B，DC.B，C，DB.A，B，CD.A，C，D下列条件：111OM = OA+ OTT-OC ；OCM = - O/+-（C1T+-OC ；532 MC+ MC+ MC = 0 ； OM+ OC+ OC+ OC= 0 .能推出M，A，B，C四点共面的是.（填写序号）已知a，b，c是空间向量的一个单位正交基底，a+b，a-b，c是空间的另 一个基底，若向量p在基底a+b，a-b，c下31的坐标为（3，-万，3），则p在基底 a，b，c 下的坐标为已知 a=(x, 4, 1), b=(-2, y, -1), c=(3, -2, z),且 ab, bc. x=, y=, z=； a+c与b

6、+c所成角的余弦值为.如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都为1,若E, F分别是AB, TOC o 1-5 h z AD的中点，则EF - DC =()11-顷3D.A. B. C.D.第7题图第8题图如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都为S若E, F分别是BC,AD的中点，则A矿.AF=()A. A. a 211B. a2 C. a2若n是平面a的法向量，a是直线/的方向向量，则下列结论正确的是()A. 若 /a，贝。anB. 若/a，贝。anC.若 an，贝。/aD.若 a-n=0，则 /a已知 A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1)三点，

7、n=(1, 1, 1),则以n为方向向量的直线/与平面ABC的关系是( )A.垂直B.不垂直仁平行D.以上都有可能 TOC o 1-5 h z 11.若直线/的方向向量为a,平面a的法向量为n,则下列能使/a的是()a=(1, 0,0),n=(-2,0,0)a=(1, 3, 5), n=(1, 0, 1)a=(0, 2,1),n=(-1,0,-1)D. a=(1, -1, 3), n=(0, 3, 1)12,已知平面a, 6的法向量分别为a=(1, 1, 2), b=(x, -2, 3),若a6，则x的值为()A. -A. -2B. -4C. 3D. 43),则平面ABC的单位法向量是13.已

8、知 AT =(2 , 2 , 1), AC3),则平面ABC的单位法向量是14,如图，在空间直角坐标系中，直三棱柱ABC - A1 3的顶点C与原点O重合， TOC o 1-5 h z 顶点A, C 1, B分别在x轴、y轴、z轴上，若AC = CC广2BC ,则直线BC1 与直线AB的夹角的余弦值为()1A5n5厂2为c3A.B.C.D.-535515,如图，在正方体15,如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E, EF1A1D.F分别是BB1，B1Dj的中点，求证:16,如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E, F, G分别是A1B1, B1C1, C1D1的中点.

9、求证：入弓平面BEF；在棱BB1上找一点M,使。心上平面8归尸，并证明你的 结论.【参考答案】知识点睛一、空间向量的定义及定理2.(1) a=Ab不共线，唯一，p=xa+ybp=xa+yb+zc，a，b，c三、空间向量的坐标运算(a.+b.，a +b， a3+b3)， (a.-b.，a2-b2, a3-b3)， (Aa.，Aa2, Aa3)a1b1+a2b2+a3b3，: a 2 + a 2 + a 21 12 23 3* 123a - b a b + a b + a b 1_1 _ _ ,a bJa.2 + a2 + a2 Jb2 + b2 + b2b b b ,一、b-Aa, i = 2 = 3 = X ( a , a , a 丰 0 )123a b = 0 , 少1+2力2+3力3=0四、空间位置关系1.(1)非零向量(2)垂直，n - a = 0n - b = 0 x y z2-2 = -2 = -2 ( x ， y ， z 丰 0 )， x x + y y + z z 0 xyz 111121212xx + y y + z z = 0，