空间向量与垂直关系

1、空间向量与垂直关系（45分钟100分）一、选择题（每小题6分，共30分）已知平面a的一个法向量为a=（x,1,-2）,直线l的一个方向向量为n=（二,y,-1）,若la,则（）x+2y=-4B.x+y=3C.x+2y=二D.x+y=- TOC o 1-5 h z 22已知平面a与B的一个法向量分别是 a=（x,2,2）, b=（1,3,y）,若aB，且a |=2饵,则 y=（）A.-5B.-1C.4 或-4D.-5 或-1(2013 -青岛高二检测)在长方体ABCD-ABCD中,AB=AA =1,BC=4,点E是DA111111 1的中点，设F在BR上,若DEXBF，则B=()A.4B.2C.

2、1D.：4.如图，四边形ABCD4.如图，四边形ABCD为正方形，PDL平面ABCD,PD QA,QA=AB=PD,则平面PQC与平面DCQ的位置关系为 2A.平行垂直A.平行相交但不垂直D.位置关系不确定（2013 -聊城高二检测）在直三棱柱ABC-A B C中，AB二AC二AA ,ABLAC,E是BC的1 1 11中点，则A1E与平面AB1C1的位置关系是（）A.相交但不垂直B.A1E平面AB1C1C.A1EX平面 AB1C1D.A1E 平面 AB1C1二、填空题(每小题8分，共24分)平面a与平面B的法向量分别是m, n,直线l的方向向量是a,给出下列论断: &mn*B ;mn习 ap；

3、HmMa ；a#mla .其中正确的论断为(把你认为正确论断的序号填在横线上).(2013 四平高二检测)已知平面a内有一个点A(2,-1,2), a的一个法向量为 n=(3,1,2),则下列各点中，在平面a内的是(把正确的序号都填上).B(1,-1,1);C(1,3，习；D(1,-3,=);E(-1,3,-W.222如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把 ABD与ACD折成互相 垂直的两个平面后，有以下四个结论：fb alo；ZBAC=60 ;三棱锥D-ABC是正三棱锥；平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直.其中正确结论的序号是(请把正确结论的序号都填上).三、解答题（

4、9题,10题14分,11题18分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形,PDL底面ABCD,AD=PD=1,AB=2a（a0）,E,F分别为CD,PB的中点.求证:EF平面PAB.如图所示，在正方体ABCD-A BCD中，E,F分别是BB ,CD的中点,求证:BCBCADDF.1平面 AED 平面 A1FD1.（能力挑战题）直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以ZABC为 直角的等腰直角三角形,AC=2a,BBj3a,D是AR的中点，在 线段AA1是否存在点F,使CF平面B1DF,若存在，求出AF 的长，若不存在,说明理由.答案解析1.【解析】选D.la ,.na,即a=入n,（x

5、,1,-2） =入（二，y,-1）=;解得【解析】选D.由|a|=2提,得x2+4+4=24,解得x=4,.以8, Aab,.a b=x+6+2y=0,当 x=4 时，得 y=-5;当 x=-4 时，得 y=-1.【误区警示】在求解本题的过程中，根据等量关系列出关系式后，切记一定不要 漏解.【解析】选D.建立如图所示的空间直角坐标系“Axyz,则 D(0,4,0),E(0,2,1),B(1,0,0),设点F(1,a,1),则2三二(0,-2,1),m =(0,a,1),VDEBF, .dm，,.史 BF=-2a+1=0,解得 a二二,即 B F=.【解析】选B.如图，以D为坐标原点，线段DA的

6、长为单位长度，射线DA为x轴的正半轴建立空间直长为单位长度，射线DA为x轴的正半轴建立空间直我p yC(0,0,1),P(0,2,0),我p y则D(=(1,1,0)QC=(0,0,1), 口(=(1,-1,0).因为口侦。口二0, 口侦脱二0, 所以 PQ DQ,PQ DC,又 DQG DC=D,所以PQ平面DCQ.又PQu平面PQC,所以平面PQC平面DCQ.5【解析】选A.如图所示，建立直角坐标系Axyz,设AB=1,则 A(0,0,0),Bi(1,0,1),Ci (0,1,1),A1 (0,0,1),eC；,0),.4B- = (1,0,1), 4匚一 二(0,1,1),上三二(二，二

7、,-1),设平面2 2AB1C1的法向量为n=(x,y,z), ( ABi =、+*= 0 则一A( * n = y z = 0 令 z=-1,则 x=y=1,故 n=(1,1,-1),.A；E n/0,故A1E与平面AB1C1不平行，又VE与n不共线，故A1E与平面 AB1C1不垂直，即A1E与平面AB1C1相交但不垂直.6.【解析】错误，因为a与8可能重合，错误，因为l与a除la外,还可能有lu a.显然，正确.答案:7.【解析】石二(-1,0,-1),lC=(T,4,-二)，上。二(-1,-2,-二)，W=(-3,4,-_), 222VAC n=0,汽Un,故 CEa.答案:8.【解析】

8、平面ABD平面ACD,BDAD,. BD 平面 ACD, .BDAC,.fb _*C=0,故不正确.AD=BD=CD,且 ZADB=ZADC=ZBDC,ABD, AACD, ABCD是全等三角形,.AB=AC二BC,NBAC=60，故正确.由可知 AB=AC=BC,DA=DB=DC,.三棱锥D-ABC是正三棱锥，故正确.建立空间直角坐标系，如图所示，设DA=DB=DC=1, 则 A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),可求出平面ADC的法向量是n1=(1,0,0), 平面 ABC 的法向量是 n2=(1,1,1), Z.n1 - n2=1+0+0=1 手0,故不正确.答案:9.【

9、证明】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,AD=1,PD=1,AB=2a(a0),则 E(a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1),F(a,三,三),得三二(0,三,三), 2 22 2二(2a,1,-1)，上 B=(2a,0,0).由E二=(0,二，二) (2a,0,0)=0,2 2得三U,即EFAB, 同理 EFPB,又 AB A PB=B,所以，EF1平面PAB.10【证明】建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设正 方体的棱长为1,则A(0,0,0),D(0,1,0), E(1,0),Fa,1,0),D1 (0,1,1).(1)因为AD=(0,1,0), D；F= G，O,T),所以AD D；F=0,所以AD F,即 AD D1F.因为W=(1,0,三)，所以圣亍二二-二二0,所以W-,所以AEDF.由(1 )知 2-2 2-1AD D1F,又 ADG AE=A,所以 D1F1 平面 AED.又DF平面AFD，所以平面AED平面A FD .1111111.【解题指南】假设存在点F,利用CF平面BDF列出方程求AF.1【解析】以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz,则C(02a,0),B1 (0,0,3a),D或,a,3a).假设存在F点，使CF平面B1DF.不妨设AF=b,则 F( 1a,0,b), C 三二( la, Ia,b