函数中存在与恒成立问题

1、 解集为f|x10g3=匚j,(2)由/(x)K6得3十几3一6,即3+6,令f=3eL9,原问题等价于对止1,9恒成立，亦即2J7/(.r)成立,求实数m的取值范围.【答案】=1;(口。.【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数求曲线的切线、利用导致判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,先利用导数求出函数y=/(x)在工=0处的切线的斜率人=/=1,再求出函数函数y=g(x)在工=。处的切线的斜率幻=:,根据题意列出等式，解出a的值;第二问，先将X-八五一(X)转化为7。一如，构造函数/?(x)=x-G

2、,利用导数判断函数的单调性，求出函数的最值，从而得到m的取值范围.试题解析：(D因为/(#=,所以函数)=/(x)在x=0处的切线的斜率人=e0=l,又因为gW=!，X所以函数丁=8。)在x=处的切线的斜率k,=L-a所以，由=1,得。=1；a(2)x？J7/(x)可化为？0,所以1因为x0,所以1亦十i=(2y-+故力(X)0,所以h(x)在(0,xo)上是减函数，因此h(x)0，不等式/(X)(1卜2+61的恒成立,求整数a的最小值.【答案】Qy)；(2)2.【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导教求函数的极值和最值等基附知识,考查学生的分析问题解决问题

3、的能力、转化能力、计算能力.第一问,对求导,利用/(x)=f-吗-加2-1,将任意的x0,不等R乙/(兀)+q-1的恒成立,转化为gG)MQ恒成立，对冢力求导，讨论a的正负，判断函数千(On*Q)的最小值是否小于等于0.试题解析：(I)解：(I)fx)=-2x+l=2V+V+1(x0),XX由广(X”。,得2丁x10,又x0,所以xl.所以/W的/*)的单调减区间为(L“。).(II)令g(X)=/(A)-(-l)X2+6L-1=111X-ax2+-a)x+，所以/(x)=l-nx+(l-n)=-+l.XX当。忘0时,因为工0,所以8(刈0.所以g(x)在(0,+s)上是递增函数，13又因为g

4、(l)=lni4X+(1-4)+1=一一+20,2所以关于文的不等式l)/+ax-l不能恒成立.当0时，-。炉+(1-3+1小一(X+1),g=TOC o 1-5 h zXX令g(x)=0,得x=La所以当Xe(0-)时,g(x)0;当XEd,+8)时,g(X)0,(2)=：-11120,又因为/?伍)在。(0.+8)是减函数24所以当a、2时,(a)o,g(x)递增；xe-，+oo,gx)O,g(x)递减kI。7(x)(x)max=/-1=lii!-+1=-hin1时,g(x)o；g(x)在(L+S)区间内恒成立.IQ21【解析】（1）由/XX）=+-a-lnE得/（x=2h-=（x0）.X

5、X当口0时J（力。时，由得X=鼻2=,V2a2a则/则/（X）在（Q甯）上为激函数,在（噜,z。）上为增函数一综上，当综上，当0时，门力在3好上为混函数，在（噜，欣）上为增函教.TOC o 1-5 h z1p1ppx（2）证明：要证g（x）O（xl）,即0,即证一二，也就是证一6.xexexPXPX(Y1)令h(x)=Mhx)=，:h(x)在(1,+cq)上单调递增，则/?(x)1nm=h(l)=e,x厂即当xl时,(x)e,，当xl时,g(x)0；(3)由/(x)g(x),得or2。-Inx+ex0.xTt(x)=ax2-a-nx-+elx0,由题意知,f(x)0在Q,s)内恒成立.XTOC

6、 o 1-5 h z111_r:/=0,有/x)=2ax-+-ex=2ax+-20在(1,+qo)内恒成立.xr厂i_y1?x-2令(x)=2ax+,则x)=2a+-+=2ci+ex,r22Y+6令公尸，如人丁，函数在口,2）上单调递增.小山一.又2。N1,一0.lvx0.综上所述,x1，,X）0,在区间（1,8。）单调递增，t。）八20,即t（x）在区间（1,+8）单调递增,。1.217.巳知函数a）=a（x+1）+lnx（其中a,leR）.x(I)当=-4时，若f(x)在其定义域内为单调函数，求。的取值范围；(D)当。=-1时,是否存在实数，使得当xee,时,不等式x)0恒成立，如果存在,

7、求人的取值范围，如果不存在，说明理由(其中e是自然对数的底数,e=2.71828).【解析】(I)由题x0J(x)=4(x3)41nx,Q(x)=仪1+?)1=一一4f+4,.XXTXX当。0时，知f(x)0时，只有对于X0,不等式/-4X+4.20恒成立才能使/(X)为单调函数，只需A=(4了16后,0，解之得aWT物1,此时421.综上所述的取值范围是(9,0UU,M).(H)/a)=lnx7,其中X八，,/、/?Ib-v2+bx+bTOC o 1-5 h zx0/(x)=l+r=；.X厂厂(1)当0时,ra)o,于是在(。，+8)上为减函数，则在e上也为减函数，知/(x)nm=/(e)=

8、一2=(1-%-e0时，由ee小4列表得X(o十步+如)2b+4b2+4b2(+正+4/)2;(X)+0/(V)/极大值若笆亘we,即Y白，则/在e门上单调递减,TOC o 1-5 h z知皿=/=-e-2=(i_3b-e,而(l-Jg-eWQ31一e=E0,eeeee+1e+1于是/(x)皿J,则/(M在,/，+)+)上为增函数，在(/)+加+4，”)上为减函数，22,/(e)0,要使在e,e-恒有/(刈0恒成立，则必有，:;、A.b.e-eb-e0,b=-r由于d一百一(2e2-l)=e由于d一百一(2e2-l)=es-3e2+l0,/?!一.e-2e2-l一=/=丁所以-1e3-e-2e

9、-1e-118.巳知函数/(x)=(x-l)e-gar2(aeR)(I)当。时，求/(x)的单调区间；(n)当x(0,+co)时,y=fx)的图象恒在y=33+V-(。一l)x的图象上方，求。的取值范围.【解析】(I)fx)=xex-ax=x(ex-a)当4Ko时,e-。0 x(yo,0)时J(x)0J(x)单调递增当0v4K1时，令fx)=0得x=0或r=Ina.(i)当01时,山。0J(x)单调递增，x(lna,0)时,/(x)0J(x)单调递增；(ii)当。=1时,Ina=0,广(x)=xe-at=x(e-1)A0恒成立，/*)在(口,转)上单调递增，无减区间；综上，当。0时J(x)的单

10、调增区间是(0,一),单调减区间是(8,0)；当04ax5+x2-(a-l)x对xw(0,+oo)恒成立即e-ar2-x-l0对(0,十8)恒成立记g(x)=ex-ax1-x-l(x0)/.g(x)=ex-2ca-l=h(x)：.hx)=ex-2a当。K；时,/?(x)=-20恒成立,g(x)在(0,-hx)上单调递增，/.g(x)g(O)=O,.g(#在(。,内)上单调递增.g(x)g(0)=0,符合题意；(ii)当a时，令=0得x=ln(2a)2/.Xw(0,ln(2。)时,/71(A)0,g(x)在(0,ln(2。)上单调递减xg(0,ln(2),gx)g(0)=0/.g(x)在(0,ln(2a)上单调递减,二.xg(0,ln(2)Bt,g(x)0【解析】试题分析：由题意函数/(X)无最小值,/=学二孚=,令=/则(x+0)(x+a)x+ax+a,工67q)=_2混+匕。=0时屈数为=心符合题意,口工0时,36即口心综上有。的取值范围是“AO.1f1V一7.若关于x的不等式x?+x-K)对任意nN在x(-8闪上恒成立属实常数人212,的取值范围是.【答案】【解析】1f1Y(i试题分析：不等式可化为x*12+-X；，由nWN:得；;2解得X2；或XW1,又XW(8,入，故实常数人的取值范围是(-8,-1.【名师点睛】不等