试谈自动化车床管理的数学模型

1、第6组 组员员自动化车床管理理的数学模型型摘要本文解决的是自自动化车床管管理问题。用用自动化车床床连续加工某某种零件时，由由于各种原因因会导致生产产工序发生故故障，而当生生产工序故障障时，生产的的零件大多为为不合格产品品，这样会给给生产带来巨巨大损失。为为解决该问题题，我们对工工序设计了三三种最优的检检查间隔和刀刀具更换策略略模型：对于问题一：我我们建立了模模型一，即单单目标期望值值模型。我们们将一个周期期内单个零件件的平均生产产费用，作为为衡量检查间间隔和刀具更更换策略优劣劣的标准。因因为检查间隔隔和定期更换换刀具都与刀刀具的寿命有有密切联系，所所以我们利用用6SQ统计计软件对附录录一中的1

2、000次刀具故故障记录进行行卡方拟合优优度检验得知知：刀具的寿寿命服从正态态分布。根据据工序出现故故障的随机性性，为了简化化计算，又假假设在一个周周期内出现刀具损坏故障的概率服从均匀分分布，这样我我们便很容易易地列出每个个零件的平均均生产费用，即即：模型一的的目标函数，再再用计算机穷穷举法对此进行了求求解，得出每每生产14个个零件检查一一次，4200个零件更换换一次刀具，每每个零件的平平均生产费用用为3.888元为最优解。对于问题二：我我们建立了模模型二，我们们延用问题一一的指标，并并对变化了的的因素做出了了考虑。与问题一不同同的是，工序序正常时产出出的零件不全全是合格品，有有2%为不合合格品

3、；而工工序故障时产产出的零件也也不全是不合合格品，有440%的合格格品。相对于于模型一，模模型二较为复复杂得多，但但整体的解题题思想与模型型一雷同。分分情况分阶段段对各类费用用进行了细算算，最终得到到的结果为：每生产9个个零件检查一一次，3788个零件更换换一次刀具，每每个零件的平平均生产费用用为8.522元为最优解解。对于问题三：我我们建立了模模型三，考虑虑到刀具工作作初期产生不不合格零件的的概率相对较较小，采取了了变间隔检查查的办法，并并构造了一递递减等差数列列作为我们的的检查间隔，沿沿用问题一的的指标，建立立了模型。关键词：单目标标期望值模型型 6SQ统统计软件 卡方拟合优优度检验 计算

4、机穷举举法 最优解 等差差数列1问题重述问题背景：一道道工序用自动化车床床连续加工某某种零件，由由于刀具损坏坏等原因该工工序会出现故故障，其中刀刀具损坏故障障占95%, 其它故障障仅占5%，工序出现故故障是完全随随机的，工作作人员通过检检查零件来确确定工序是否否出现故障。现现计划在刀具具加工一定件件数后定期更更换新刀具。 在本文文，我们需要要建立自动化化车床管理的的数学模型来来解决以下问问题。由于工工序出现故障障是完全随机机的，因此每每一次故障时时完成的零件件数均不相同同。附录一中中给出1000次刀具故障障记录及故障障出现时该刀刀具完成的零零件数。本文需要解决的的问题：问题一：假定工工序故障时

5、产产出的零件均均为不合格品品，正常时产产出的零件均均为合格品, 试对该工工序设计效益益最好的检查查间隔（生产产多少零件检检查一次）和和刀具更换策策略。问题二：如果该该工序正常时时产出的零件件不全是合格格品，有2%为不合格品品；而工序故故障时产出的的零件有400%为合格品品，60%为为不合格品。工工序正常而误误认有故障停停机产生的损损失费用为11500元/次。对该工工序设计效益益最好的检查查间隔和刀具具更换策略。问题三：在问题题二的情况下下，可否改进进检查方式获获得更高的利利益。 2.模型假设和和符号说明2.1模型的假假设假设1: 不考考虑5%的其其他故障；假设2：在生产产任一零件时时工序出现故

6、故障的机会均均相等；假设3：每次只只检查一个零零件，且检查查时间很小，可可忽略不计；假设4：工作人人员检查到有有不合格产品品时，就判断断工序发生故故障；假设5：附录一一中100次次刀具故障记记录在误差范范围内是准确确的。2.2符号说明明符号符号说明每生产个零件检检查一次检查第次时更换换新刀具工序发生故障时时每次的检查费费用工序发生故障时时产出的零件件损失费用，单单位：元/件件工序发现故障进进行调节使恢恢复正常的平平均费用（包包括刀具费），单单位：元工序未发现故障障时更新一把把新刀具的费费用，单位:元/次工序正常而误认认为有故障停停机产生的损损失费用更换刀具的周期期，即：定期期更换刀具时时已生产

7、的零零件总数，一个周期内零件件生产的总费用一个周期内单个个零件的平均均生产费用第一次刀具故障障时完成的零件数数工序正常时生产产的零件的不不合格率工序正常时生产产的零件的合合格率工序故障时生产产的零件的不不合格率工序故障时生产产得零件的合合格率3.问题分析此题研究的是自自动化车床的的合理性管理理的数学模型型问题。要对对车床进行合合理性的管理理，就要有合合理的管理措措施，这样才才能使工序效效益最好。本本文主要考虑虑的是由刀具具损坏故障和和非刀具故障障导致的一系系列问题，在在生产过程中中，工序出现现故障是完全全随机的，即即在生产任一一零件时都有有可能出现故故障，其中刀刀具损坏故障障占95%，其其它故

8、障占55%。由于工作人人员在检查零零件时，一旦旦发现零件不不合格，只能能判断该工序序出现故障，但但不能判断故故障是由刀具具损伤引起的的还是其它故故障引起的，我我们暂且不考考虑5%的其其他故障（其其他故障的比比例较小，可可忽略不计）。当检查员检查到到不合格零件件时，就认为为自动化车床床出现故障，应应该进行调整使其其恢复正常。由由于厂家计划划在刀具加工工一定零件数数之后要定期期更换新刀具具，这就涉及及到零件的检检查间隔和刀刀具的更换周周期。如果检检查间隔太长长，故障不能能及时发现，就就会生产出更更多的不合格格产品，给生生产带来损失失；如果检查查间隔太短，那么检检查次数就会会增加，这样样会增加检查查

9、费用。综上上所述，我们应应该设计出合合理的检查间间隔，使得在在每次更换新新刀具时，每每个零件的平平均费用最低低。针对问题一：我我们首先假设设自动化车床床每生产件产产品时对其进进行一次检查查，第次检查查以后更换新新的刀具，这样，工序序更换刀具的的周期为，即即：自动化车车床每生产个个零件时更换换一次刀具。由由于更换刀具具是定期的，更换刀具时，可能已经出现故障，也可能还没有出现故障。因此，我们分为两种情况讨论。第一种情况：第次检查时零件合格，则更换刀具时刀具还未出现故障；第二种情况：在这次检查中，第次检查时就发现是不合格品，那么我们认为在第次检查完以后生产的第个零件时刀具损坏，在这之后生产出的零件全

10、部为不合格品，即故障出现在一个周期的第个零件。由此，我们根据可能出现的两种情况，分别计算出一个周期内每个零件的平均费用。针对问题二：考考虑到情况比比较复杂，我我们将问题分分为四种情况况，在换刀周周期内，工序序正常情况下下没有检查出出不合格的零零件，工序正正常时检查出出了不合格的的零件，工序序故障时未检检查出了不合合格零件，工工序故障时检检查出不合格格零件。计算算这四种情况况下的费用，取取单个零件生生产费用最低低的情况下得得检查间隔和和换刀周期为为最优解。针对问题三：考考虑到刀具工工作初期产生生不合格零件件的概率相对对较小，采取取了变间隔检检查的办法，并并构造了一递递减等差数列列作为我们的的检查

11、间隔，分分情况分概率率计算出单个个零件生产费费用的期望。4.数据分析定义：刀具的寿寿命是指从换换新刀具到该该刀具损坏故故障这一段时时间按内工序序完成的零件件数4.1刀具的寿寿命服从正态态分布根据附录一给出出的数据，我我们利用6SSQ统计软件件对其进行卡卡方拟合优度度检验，得到到如下结果（结结果见表4.1）：表4.1刀具的的寿命服从正正态分布的卡卡方拟合优度度检验结果假设检验零假设服从正态分布自由度9卡方统计量2.52183397p值0.98029904显著性水平0.05结果接受零假设根据以上假设检检验的结果可可知：刀具的的寿命服从正正态分布。4.2刀具寿命命的统计 由附录录一中给出的的100个

12、统统计数据，我我们利用6SSQ统计软件件对其进行统统计，统计结结果如下（见见表4.2）： 表4.2刀具的的寿命服从正正态分布的统统计量统计量数据个数100平均值600标准偏差196.62991695最小值84最大值1153小数位数0区间个数16区间宽度66.875根据以上的统计计表可以得到到：刀具寿命命的期望值，标标准差.则该正态分分布的密度函函数为：正态分布函数为为：4.3刀具寿命命的正态概率分布布 我们将附录一中中的100个个数据分成116个区间，由由刀具损坏故故障的随机性性大致可以了了解刀具寿命命的概率分布布，结果见下下表：表4.3刀具的的寿命服从正正态分布的概概率分布由该正态分布的的概

13、率分布图图可以看出：数学期望在在600左右右，波动范围围从116.9到11220，说明标标准差较大，即即：刀具寿命命的随机性较较强。5.问题一的解解答本文研究的是自自动化车床管管理的数学模模型。管理方方案设计的优优劣我们不能能主观臆断，而而要确定合理理的评价指标标进行判断。为此，我我们确定以下下评价指标：5.1评价指标标：单个零件的的平均费用一个周期内的单单位零件的生生产费用，即即：一个周期期内生产零件件的总费用除除以周期长，数数学表达式为为：该指标越小，说说明设计方案案越好。针对问题一我们们建立了模型型一。5.2模型一的的建立5.2.1确定定目标函数该模型是设计出出效益最好的的检查间隔和和刀

14、具更换策策略，使单个个零件的平均均费用最小。由于在定期换刀时，故障可能出现也可能未出现，所以我们分为以下两种情况进行讨论：一个周期内未发发现不合格品品，即：第次检检查时零件全全部合格，则则一个周期内零件件的总费用为为：，其中这里表示刀具的的寿命，所以以服从正态分分布，即，是指刀具的寿命命大于更换刀刀具的周期，也也就是说，换换刀具时工序序还未出现故故障。第次检查时零件件不合格，故故障出现在第第次与第次检查查之间，即生生产第个零件件时刀具损坏坏，则一个周周期内零件的的总费用为： 这里同样样服从上述正正态分布，表表示刀具的寿寿命在第次和和第次之间，即即：更换刀具具时工序已经经出现故障。综上两种情况，

15、我我们得到：一一个周期内生生产的零件的的总费用为：我们建立问题一一的目标函数数为：5.3模型一的的求解及结果果分析根据上述目标函函数，用maatlab软软件编程以后后得到以结果果（结果见表表5.1）：表5.1检查间间隔与平均费费用分布表检查次数检查间隔平均费用14025.7143324013.178223409.09014407.14975406.10566405.54787395.29558355.13249324.996110304.879111284.777512264.688413254.609014244.539915224.474116214.415217214.361018204

16、.308019194.260120184.219821184.175122174.137723174.099024174.066425164.029126164.001527153.966728153.935529153.911130143.8800由于该分布表涉涉及到的数据据比较多，我我们在观察检检查间隔和平平均费用变化化的时候很困困难，为此，我我们制作出如如图5.2的的折线图，便便于观察每个个零件的平均均费用的变化化趋势。表5.2检查间间隔与平均费费用的折线图图由以上的折线图图，我们可以以很直观的看看出单个零件件的平均费用用随着检查次次数和检查间间隔的细微变变化。当检查查间隔在300左右时

17、，平平均费用的变变化很小，这这时我们基本本可以认为每每个零件的检检查费用已经经趋于稳定，且且每个零件的的平均费用稳稳定在4元左左右，也就是是说每生产4420个零件件就要换刀一一次，依照附附录一可知：我们的结果果是比较合理理的。6.问题二的解解答6.1评价指标标：单个零件的的平均费用我们依旧沿用模模型一，一个个周期内的单单位零件的生生产费用，即即：一个周期期内生产零件件的总费用除除以周期长，数数学表达式为为：该指标越小，说说明设计方案案越好。针对问题二我们们建立了模型型二。6.2模型二的的建立6.2.1确定定目标函数该模型是设计出出效益最好的的检查间隔和和刀具更换策策略，使单个个零件的平均均费用

18、最小。由由于在定期换换刀时，故障障可能出现也也可能未出现现，所以我们们分为以下三三种情况进行行讨论：工序正常的概率率为：；次检查有次发发现不合格产产 品品，其概率为： 此种条件件下的误判费费为： 零件不合合格损失费为为： 检查费为为： 换刀费为为： 总费用为为：故障发生在第个个零件的概率率为： 直至第次检查查零件不合格格才换刀 此种条件件下的误判费费为：为故障前的误判判次数，为换换刀后的误判判次数。零件不合格损失失费为：检查费为：换刀费为：调节费为：总费用为：其中：3.工序出现故故障，故障发发生在第个零零件的概率为为，但一直未未查出故障。此种条件下的误误判费为：不合格损失费为为：检查费为：换刀

19、费为：总费用为：其中综上所述，我们们建立模型二二的目标函数数为：6.3模型二的的解答以及结结果分析由于模型二建立立的过于复杂杂，我们得到到的目标函数数太过冗长，以以至于在编程程时难度大大大增加。我们们初步估计得得到的结果较粗略，检查间隔为为9，换刀周周期为3788，平均费用用为8.522元。7问题三的解解答7.1评价指标标：单个零件的的平均费用我们依旧沿用模模型一，一个个换刀周期内的的单位零件的的生产费用，即即：一个换刀刀周期内生产产零件的总费费用除以周期期长，数学表表达式为：该指标越小，说说明设计方案案越好。针对问题三我们们建立了模型型三。7.2模型三的的建立7.2.1目标标函数的确定定我们

20、按递减等差差数列设计检检查间隔，每每生产个零件件检查一次，检检查次之后进进行换刀，换换刀周期为，分为以下两种情情况讨论：故障发生在第个个零件的概率率为：（1）直到第jj次才检查到到故障的概率率为：该种条件按下的的零件损失费费为： 误判费： 检查费：调整费： 总费用：平均费用：（2）直到必须须换刀还未发发现工序故障障的概率为： 该种条件下下的零件损失失费为：误判费：检查费：换刀费：总费用:平均费用：工序没有出现故故障的概率为为：该种条件下的零零件损失费：误判费：检查费：换刀费：总费用：平均费用：综上，目标函数数为：7.3问题的解解答及结果分分析对于问题三，实实际上就是对对问题二的优优化，我们将将

21、问题二中的的等距检查改改进为不等间间隔检查，以以减少检查次次数从而使得得生产工序的的费用期望达达到更小。鉴鉴于故障时刀刀具完成的零零件数服从正正态分布，再再由正态分布布图形的特征征，知道在开开始检查的时时候，工序出出现故障的可可能性较小。最最后，我们初初步估计计算出工工序的检查间间隔：第一次次检查间隔为为156，第第二次和第三三次检查间隔隔为104，第第四次检查间间隔为52，第第五次为444而刀具的的更换周期不不变为3788。8.模型的评价价、改进及推推广8.1模型的评评价优点：(1)刀具是否否出故障具有有随机性，我我们通过已给给的数据分析析知出故障时时刀具生产零零件数服从正正态分布，为为此我

22、们建立立了随机分布布模型，求得得的结果与正正态分布的特特征吻合。(2)对于三个个问题，我们们确立了一个个评价指标，即即刀具生产单单位数量的平平均费用指标标，一方面我我们求得生产产费用少，另另一方面要求求刀具的寿命命长。 (3)根据我我们建立的模模型及评价指指标，可以很很好的确立检检查间隔和刀刀具更换周期期，以获取更更高的经济效效益。缺点：对于问题题一，我们并并没有过多的的考虑其他故故障所产生的的生产费用，导导致所得的结结果不是很精精确。对于问问题二，我们们设计的模型型过于复杂，虽虽然与实际问问题比较接近近，但是加大大了编程的难难度。8.2模型的改改进(1)对于问题题一，我们在在建立模型求求解时

23、，没有有考虑其他故故障引起的损损失费用，为为此在模型改改进过程中，可可以将其考虑虑进去深入研研究；(2)对于问题题二，我们可可根据正态分分布的图像特特征，可以设设计等差式检检查间隔，这这样可以减少少检查费用，使使得效益更高高；(3) 我们可可以确立一个个更加优化的的评价指标，即即刀具生产单单位数量合格格品的平均费费用，这比单单一求生产费费用最小所得得的生产效益益更高，一方方面我们求得得生产费用少少，另一方面面要求刀具的的寿命长(即即生产的合格格品的数量多多)。8.3模型的推推广我们建的模型不不仅可用于自自动化车床管管理问题，也也可用于其它它资源的安排排，比如定岗岗定编、进货货等类型。9.误差分析由于刀具的寿命命服从正态分分布,即：，根根据我们对附附录一中1000次刀具故故障记录的统统计得出，。可以看到该该统计数据的的波动范围较较广，根据的的分布函数求得的故障概率率误差较大。参考文献1概率论论与数理统计计袁荫棠 编，中国人人民大学出版版社 19