结构力学课件静定结构位移计算

1、结构力学课件静定结构位移计算第1页，共51页，2022年，5月20日，19点1分，星期二主要内容6-3 力的虚设方法 6-2 支座移动产生的位移计算6-1 概述6-4 制造误差产生的位移计算 6-5 温度作用时的计算 6-7 图乘法 6-6 荷载作用下的位移计算 6-8 线性变形体系的互等定理第2页，共51页，2022年，5月20日，19点1分，星期二6-1 概述 1）计算所采用的理论虚功原理 复习一下以下概念： 虚功力在由其它原因产生的位移上所做的功。 其中： 虚功 虚功原理刚体虚功原理变形体虚功原理Fp1Fp2121122AB12第3页，共51页，2022年，5月20日，19点1分，星期二

2、6-1 概述 刚体虚功原理： 所有外力所做的虚功等于零，即： 虚功原理 虚力原理 虚位移原理 虚力原理位移是真的，力是虚设的。用虚设力的 办法来求真实的位移。 虚位移原理力是真的，位移是虚设的。用虚设位 移的办法来求真实的力。 变形体虚功原理：所有外力做的虚功=所有内力做的虚功，即： 第4页，共51页，2022年，5月20日，19点1分，星期二6-1 概述 很显然求位移用的是虚功原理中的虚力原理 。 显然支座移动产生的位移、制造误差产生的位移应该用刚体的虚力原理计算。荷载作用产生的位移、温度改变产生的位移应该用变形菜体的虚力原理计算。 支座移动产生的位移刚体位移 制造误差产生的位移刚体位移 荷

3、载作用产生的位移变形体位移温度改变产生的位移变形体位移2）静定结构位移的类型第5页，共51页，2022年，5月20日，19点1分，星期二6-2 支座移动产生的位移计算 支座移动产生的位移应采用刚体的虚力原理来计算。 例：图示简支梁B支座往下位移了 ，求由此产生的A点转角 。 真实的位移状态 虚设的力状态 运用刚体的虚功原理，虚设的力状态上的所有外力在真实的位移状态上所做的虚功应该等于零，有： 得：LM=1AB第6页，共51页，2022年，5月20日，19点1分，星期二可以得出由支座移动引起的位移计算公式如下： 其中： 由虚设力产生的在有支座位移处的支座反力 c 真实的支座位移 例：图示三铰刚架

4、A支座往下位移了b，B支座往右位移 了a，求C点的竖向位移 , 和C点的相对转角 。 （1）求C点的竖向位移 真实的位移状态 abL/2L/2LABC6-2 支座移动产生的位移计算 第7页，共51页，2022年，5月20日，19点1分，星期二 在C点作用一个竖向单位力，求出 和 。 虚设的力状态（2）求C点的相对转角 在C点作用一对力矩，求出 和 。 Fp=1ABC6-2 支座移动产生的位移计算 第8页，共51页，2022年，5月20日，19点1分，星期二虚设的力状态真实的位移状态 ABCLaL/2L/2bABC6-2 支座移动产生的位移计算 M=1第9页，共51页，2022年，5月20日，1

5、9点1分，星期二6-3 力的虚设方法 力的大小 一般虚设单位力 。力的位置 作用在所求位移的点及方向上。 力的方向 随意假设，若求出的位移是正的，说 明位移与假设的方向一致。若是负的， 说明与假设的方向相反 。力的性质 求线位移加单位集中力；求转角加单位 力矩；求二点的相对水平或竖向位移加 一对相反的单位集中力；求二点相对转 角要加一对单位力矩。 第10页，共51页，2022年，5月20日，19点1分，星期二Fp=1求C点竖向位移求B点水平位移Fp=1求C点转角位移M=1Fp=1求A、B两点相对竖向位移Fp=1Fp=1Fp=16-3 力的虚设方法 CBCAB求A、B两点相对水平位移AB第11页

6、，共51页，2022年，5月20日，19点1分，星期二M=1求C点相对转角位移求CD杆相对转角位移Fp=1/LFp=1/L6-3 力的虚设方法 C C D第12页，共51页，2022年，5月20日，19点1分，星期二6-4 制造误差产生的位移计算 制造误差产生的位移采用刚体的虚力原理计算。 例：图示桁架AC杆比要求的短了2cm,求由此产生的C 点水平位移 。解：在C点作用一水平单位力，方向朝左，求出AC杆的 内力，令虚设的力到真实的位移上去做功，由虚功 方程有 ：真实的位移状态虚设的力状态-2cmbaABCFp=1CBA第13页，共51页，2022年，5月20日，19点1分，星期二利用虚功方程

7、有：得：例：图示悬臂梁C点由于制造误差有一转角 ，求由 此引起的B点竖向位移 。 解：虚设一力状态：在B点加一竖向单位力，求出C点 的弯矩，并把C点的抗弯连系去掉，用弯矩 表示。baBCA6-4 制造误差产生的位移计算 Mc=aFp=1BCA第14页，共51页，2022年，5月20日，19点1分，星期二利用虚功方程有： 得： 由制造误差引起的位移计算公式如下： 其中： 虚设单位力作用下产生的轴力、 剪力和弯矩。 正负号规定：虚内力与变形方向一致为正，方向相反为负。 制造产生的轴向变形、弯曲变 形和剪切变形。6-4 制造误差产生的位移计算 第15页，共51页，2022年，5月20日，19点1分，

8、星期二例：图示桁架DC杆短了2cm,FE杆短长了3cm,求C点的 竖向位移。 解：在C点作用一竖向单位力，求出DC杆、FE杆的 轴力： 运用位移计算公式有： Fp=1+3-24m34=12mABEDFCABEDFC6-4 制造误差产生的位移计算 第16页，共51页，2022年，5月20日，19点1分，星期二6-5 温度作用时的计算 温度作用产生的位移采用变形体的虚力原理计算 。 计算公式推导： 图示简支梁上下温度不一样 ， 求由此起的A点转角 。 取出一微段，研究一下温度所引起的变形。 微段发生的转角为： dt2t1t1 dst2dsABLds+t2+t1h1hh2+t0t0ds第17页，共5

9、1页，2022年，5月20日，19点1分，星期二微段发生的轴向变形为： 杆件轴线处的温度变化值 其中： 杆件上下边缘的温度差值温度变化不会产生剪切变形。真实的位移状态 运用变形体的虚功原理，所有外力所做的虚功等于内力所做的虚功： 虚设的力状态 t2t1LAB6-5 温度作用时的计算 LM=1AB第18页，共51页，2022年，5月20日，19点1分，星期二有：若是结构，则公式为： 若温度沿杆长变化相同，且截面高度不变，则上式可写成：其中： 由虚设单位力产生的轴力图面积6-5 温度作用时的计算 第19页，共51页，2022年，5月20日，19点1分，星期二 由虚设单位力产生的弯矩图面积正负号的规

10、定：虚力状态中的变形与温度改变产生的变形方向一致时，取正号，反之取负号。 例：图示三铰刚架，室内温度 比原来升高了300，室外 温度没有变化，求C点的 竖向位移 ，杆件的截 面为矩形，高度h为常数， 材料的膨胀系数为 。6-5 温度作用时的计算 10m5m5mABC+300002m第20页，共51页，2022年，5月20日，19点1分，星期二解：（1）在C点作用一竖向单位力画出 和 图。 （2）运用公式求 0.2080.50.50.208Fp=12.082.082.082.08Fp=10.50.38FN图ABCABC6-5 温度作用时的计算 M1图第21页，共51页，2022年，5月20日，1

11、9点1分，星期二荷载作用下的位移计算采用的是变形体的虚力原理。 结构位移计算的一般公式推导： 图示悬臂梁微段 发生了 轴向变形 剪切变形 弯曲变形 ，求B点的竖向位移。 把微段的变形浓缩至D点： 1）积分法 dd6-6 荷载作用下的位移计算 ABCDdsDCddddDC第22页，共51页，2022年，5月20日，19点1分，星期二虚设一力状态 ：B点的竖向位移为： 若整根梁上都由变形，则B点的竖向变形为： 由材料力学可知 ：对结构则有： ABFP=16-6 荷载作用下的位移计算 第23页，共51页，2022年，5月20日，19点1分，星期二6-6 荷载作用下的位移计算 其中: 荷载作用下结构产

12、生的弯矩 剪力、轴力 单位力作用下结构产生的弯矩 剪力、轴力 做题步骤 ： （1）写出结构在荷载作用下每根杆子的弯矩、剪力、 轴力的方程； （2）写出结构在虚设单位力作用下每根杆子的弯矩、 剪力、轴力的方程； （3）代入公式计算。 第24页，共51页，2022年，5月20日，19点1分，星期二例：求图示简支梁中点C的竖向位移 。解：（1）取虚力状态如图： （2）写出 弯矩、剪力 的方程：当时（3）计算 Fp=1C/CABL/2L/22/L/2L6-6 荷载作用下的位移计算 q kNm第25页，共51页，2022年，5月20日，19点1分，星期二（4）比较弯曲变形与剪切变形的影响 弯曲变形： 剪

13、切变形： 两者的比值： 若高跨比为： 则：6-6 荷载作用下的位移计算 第26页，共51页，2022年，5月20日，19点1分，星期二 结论： 在计算受弯构件时，若截面的高度远小于杆件的长度的话，一般可以不考虑剪切变形及轴向变形的影响。 例：计算图示刚架C点的水平位移 和C点的转角 ，各杆的EI为常数。 解：（1）求 写出杆件的 方程 BC杆： BA杆： 6-6 荷载作用下的位移计算 LACBLEIEIqACBFP=1第27页，共51页，2022年，5月20日，19点1分，星期二（2）求 写出杆件的 方程 BC杆： BA杆： 6-6 荷载作用下的位移计算 ACBM=1第28页，共51页，202

14、2年，5月20日，19点1分，星期二各种静定结构位移的计算公式如下: （1）梁、刚架 只考虑弯曲变形 （2）桁架 只有轴向变形 （3）组合结构受弯构件只考虑弯曲变形 6-6 荷载作用下的位移计算 第29页，共51页，2022年，5月20日，19点1分，星期二（4）三铰拱 曲杆要考虑弯曲变形和轴向变形, 拉杆只有轴向变形 。曲杆的积分计算可用数值计算代替: 、其中:都取段上中点的值。 6-6 荷载作用下的位移计算 第30页，共51页，2022年，5月20日，19点1分，星期二例：求图示半径为R的圆弧形曲梁B点的竖向位移 ， 已知EI为常数。 解：取虚力状态如下所示： 为求 取kB隔离体如下： p

15、BOkFQkNkMkd6-6 荷载作用下的位移计算 dsORABFpkORABF =1p第31页，共51页，2022年，5月20日，19点1分，星期二6-7 图乘法 受弯构件的位移计算公式: 若EI是常数就可提到积分号的外面,上式就变为: 若和中有一个是直线图,如图所示:代入上式有: 是常数,可提到积分号的外面x0yoC形心xy0ddxABM 图AMP图BxM第32页，共51页，2022年，5月20日，19点1分，星期二6-7 图乘法 x0yoC形心ddxxy0ABM 图AMP图BxM是图对Y轴的面积矩,可写成: 其中: -是图的面积 -是图的形心到Y轴的距离 有: 令: 得：-是图形心位置所

16、对应图中的竖标 的第33页，共51页，2022年，5月20日，19点1分，星期二图乘法应用的前提： 杆件的EI是常数； 杆件是直杆；的图形至少有一个是直线图形。 两个直线图形的图乘公式： 上述公式的适用所有直线图形的情况。 w2w16-7 图乘法 bacdy2y1A BL第34页，共51页，2022年，5月20日，19点1分，星期二上述图乘公式的适用所有直线图形的情况，例： 6-7 图乘法 第35页，共51页，2022年，5月20日，19点1分，星期二l/2l/2habhl+b/3l+a/3顶点hl/43l/43l/85l/8h顶点2l/53l/5l/54l/56-7 图乘法 h2l/3l/3

17、l几种图形的面积及形心第36页，共51页，2022年，5月20日，19点1分，星期二复杂图形的处理：+=+=6-7 图乘法 第37页，共51页，2022年，5月20日，19点1分，星期二例：求A点的转角和C点的 竖向位移。 解：（1）求A点的转角（2）求C点的竖向位移CAB20kN10kN/m6m6m6Fp=1MC图1M=1MA图6-7 图乘法 30045MP图第38页，共51页，2022年，5月20日，19点1分，星期二例：求图示三铰刚架C点的 相对转角。解：荷载作用下的弯矩图和虚 设力作用下的弯矩图如图 所示。B20kN/m6-7 图乘法 ACED8m6m2mAEDBAEDB1201204

18、0403/43/41MC图Mp图M=1第39页，共51页，2022年，5月20日，19点1分，星期二6-7 图乘法 3/43/41AEDB1201204040Mp图AEDBMC图M=1第40页，共51页，2022年，5月20日，19点1分，星期二6-8 线性变形体系的互等定理 本节介绍线性变形体系的四个互等定理，其中最基本的是功的互等定理，其它三个定理均可由此推导出来。 1) 功的互等定理 设有两组外力FP1和FP2分别作用于同一线弹性结构上，如图所示，(a)、(b)分别称为结构的第一状态和第二状态。(a) 第一状态 FP1121121(b) 第二状态 FP21 21222第41页，共51页，

19、2022年，5月20日，19点1分，星期二 这两组力按不同次序先后作用于同一结构上时所作的总功分别为：(1)先加FP1后加FP2，外力的总功(2)先加FP2后加FP1，外力的总功(a) 第一状态FP1121121(b) 第二状态FP21 212226-8 线性变形体系的互等定理第42页，共51页，2022年，5月20日，19点1分，星期二功的互等定理: 即第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功，等于第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功。 外力所作总功与加载次序无关， 即：W1 = W2 由1、2可得：6-8 线性变形体系的互等定理第43页，共51页，2022年，5月20日，19点1分

20、，星期二2) 位移互等定理在功的互等定理中，令：FP1 =FP2 =1由功的互等定理式（a）则有：即：(a) 第一状态 FP111221(b) 第二状态 FP211 2126-8 线性变形体系的互等定理第44页，共51页，2022年，5月20日，19点1分，星期二位移互等定理: 即第二个单位力所引起的第一个单位力作用点沿其方向上的位移，等于第一个单位力所引起的第二个单位力作用点沿其方向上的位移。在位移互等定理中： 单位力广义力（单位力偶、单位集中力）； 位 移广义位移（线位移、角位移）。6-8 线性变形体系的互等定理第45页，共51页，2022年，5月20日，19点1分，星期二 左图分别表示二种状态，即支座1发生单位位移11时，使支座2产生的反力r21；另一种即为支座2发生单位位移21时，使支座1产生的反力r12。3）反力互等定理反力互等定理也是功的互等定理的一个特例。 (a) 第一状态 r211112(b) 第二状态21r126-8 线性变形体系的互等定理第46页，共51页，2022年，5月20日，19点1分，星期二 左图分别表示二种状态，即支座1发生单位位移11时，使支座2产生的反力r21；另一种即为支座2发生单位位移21时，使支座1产生的