中考数学抛物线几何问题

1、-让每一个人相同地提高自我2008年中考试题抛物线与几何问题优选、（辽宁12市）如图，在平面直角坐标系中，直线y3x3与x轴交于点A，1与y轴交于点C，抛物线223经过，三点yax3xc(a0)ABC（1）求过A，B，C三点抛物线的分析式并求出极点F的坐标；（2）在抛物线上能否存在点P，使ABP为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明原因；（3）试一试究在直线AC上能否存在一点M，使得MBF的周长最小，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明原因解：（1）直线y3x3与x轴交于点A，与y轴交于点CA(1，0)，C(0，3)点A，C都在抛物线上，y0a23a33c33cc3AOBx

2、3223CF抛物线的分析式为yx极点33x3F1，433（2）存在P1(0，3)P2(2，3)（3）存在y原因：延伸BC到点B，使BCBC，连结BF交直线AC于点M，则点M就是所求的点HAOx过点B作BHAB于点HBCB点在抛物线y32233上，B(3，0)BMFxx图9331-让每一个人相同地提高自我在RtBOC中，tanOBC3，3OBC30，BC23，在RtBBH中，BH1BB23，2BH3BH6，OH3，B(3，23)设直线BF的分析式为ykxb233kbk3643解得kb333b23x33623y3x3xy3x33解得7M3，1031037762y，7在直线AC上存在点M，使得MBF

3、的周长最小，此时M3，103772、（山东济南）已知：抛物线yax23)，与x轴交于A、bxc(a0)，极点C(1，B两点，A(1，0)1）求这条抛物线的分析式2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，挨次连结、，AD、BE，点P为线段AB上一个动点(P与AB两点不重合)，过点P作PMAE于MPNDB于N，请判断PMPN能否为定值?假如，恳求出此定值；若不是，请说明原因BEAD（3）在(2)的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FGEP，FG分别与边AE、BE订交于点F、G(F与A、E不重合，G与E、B不重合)，请判断PAEF能否成PBEG立若建立，请给出证明；

4、若不可以立，请说明原因2-让每一个人相同地提高自我【思路点拨】（2）证APMABE，PMAP同理:PNPBBEAB（3）证PH=BH且APMPBHADAB再证MEPEGF可得。yEMAOPBx解：(1)设抛物线的分析式为ya(x1)23DN将A(1，0)代入:0a(11)23a3C4抛物线的分析式为y3(x1)23，即：y3x23x944242）是定值，PMPN1BEADAB为直径，AEB=90，PMAE，PMBEAPMABE，PMAPBEAB同理:PNPB+:PMPNAPPB1ADABBEADABAB（3）直线EC为抛物线对称轴，EC垂直均分ABEA=EBAEB=90AEB为等腰直角三角形E

5、AB=EBA=45.7分如图，过点P作PHBE于H，由已知及作法可知，四边形PHEM是矩形，PH=ME且PHME在APM和PBH中AMP=PHB=90，EAB=BPH=45PH=BH且APMPBHPAPMPBBHPAPMPMPBPHME在MEP和EGF中，PEFG，FGE+SEG=90MEP+SEG=90FGE=MEPPME=FEG=90MEPEGFPMEFMEEG3-让每一个人相同地提高自我由、知：PAEFPBEG3、(浙江杭州)在直角坐标系xOy中，设点A（0，t），点Q（t，b）。平移二次函数ytx2的图象，获得的抛物线F知足两个条件：极点为Q；与x轴订交于B，C两点（OBOC），连结A

6、，B。（1）能否存在这样的抛物线F，2OBOC？请你作出判断，并说明原因；OA（2）假如AQBC，且tanABO=3，求抛物线F2对应的二次函数的分析式。【思路点拨】（1）由关系式OA2OBOC来建立对于t、b的方程；(2)讨论t的取值范围，来求抛物线F对应的二次函数的分析式。解：（1）平移ytx2的图象获得的抛物线F的极点为Q,抛物线F对应的分析式为:yt(xt)2b.抛物线与x轴有两个交点，tb0.令y0,得OBtb，OCtb,ttb|OB|OC|(t)(ttb)|t2b|t2OA2,tt即t2bt2所以当b2t3时,存在抛物线2|OB|OC|.-2分t,F使得|OA|(2)AQ/BC,t

7、b,得F:yt(xt)2t,解得x1t1,x2t1.在RtAOB中,1)当t0时,由|OB|OC|,得B(t1,0),4-让每一个人相同地提高自我当t10时,由tanABO3|OA|t,解得t3,2|OB|t1此时,二次函数分析式为y3x218x24;当t10时,由tanABO3|OA|t,解得t32|OB|t,15此时，二次函数分析式为y3x2+18x+48.5251252)当t0时,由|OB|OC|,将t代t,可得t3,t3,5（也可由x代x，y代y获得）所以二次函数分析式为y3x2+18x48或y3x218x24.5251254、(江苏常州)如图,抛物线yx24x与x轴分别订交于点B、O

8、,它的极点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,获得直线l,设P是直线l上一动点.1）求点A的坐标;2）以点A、B、O、P为极点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特别四边形的极点P的坐标;（3）设以点A、B、O、P为极点的四边形的面积为S,点P的横坐标为x,当462S682时,求x的取值范围.【思路点拨】（3）可求得直线l的函数关系式是y=-2x，所以应讨论当点P在第二象限时，x0这二种状况。解：（1）yx24x(x2)24A(-2,-4)2）四边形ABP1O为菱形时，P1(-2,4)四边形ABOP2为等腰梯形时，P1(2，4)5548四边形AB

9、P3O为直角梯形时，P1(，)555-让每一个人相同地提高自我四边形ABOP4为直角梯形时，P1(6，12)553）由已知条件可求得AB所在直线的函数关系式是y=-2x-8,所以直线l的函数关系式是y=-2x当点P在第二象限时，x0,过点A、P分别作x轴的垂线，垂足为则四边形POAA的面积SPOAAS梯形PPAA42xSPPO2A、P(x2)1(2x)x4x426-让每一个人相同地提高自我AAB的面积SAAB14242SSPOAASAAB4x8(x0)462S682，322S4624x8462x2即S6824x8682421S2x的取值范围是322x421225、（浙江丽水）如图，在平面直角坐

10、标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x2与x轴订交于点B，连结OA，抛物线yx2从点O沿OA方向平移，与直线x2交于点P，极点M到A点时停止挪动y（1）求线段OA所在直线的函数分析式；（2）设抛物线极点M的横坐标为m,用m的代数式表示点P的坐标；当m为什么值时，线段PB最短；（3）当线段PB最短时，相应的抛物线上能否存在点Q，使QMA的面积与PMA的面积相等，若存在，恳求出点Q的坐标；若不存在，请说明原因APMBOxx2解：（1）设OA所在直线的函数分析式为ykx，A（2，4），2k4,k2,OA所在直线的函数分析式为y2x2）极点M的横坐标为m，且在线段OA上挪动，y2m（0m2）.极点M

11、的坐标为(m,2m).抛物线函数分析式为y(xm)22m.7-让每一个人相同地提高自我当x2时，y(2m)22mm22m4（0m2）.点P的坐标是（2，m22m4）.PB=m22m4=(m1)23，又0m2，当m1时，PB最短（3）当线段PB最短时，此时抛物线的分析式为yx122.假定在抛物线上存在点Q，使SQMASPMA.设点Q的坐标为（x，x22x3）.当点Q落在直线OA的下方时，过yDP作直线AOyPB3AB4AP1OC1123APCCCP的坐标是（），直线PC点，的函数分析式为y2x1.PMESQMASPMA，点Q落在直线y2x1上.Bx22x3=2x1.OxCx2解得x12,x222

12、3.，即点Q（，）点Q与点P重合.此时抛物线上不存在点Q，使QMA与APM的面积相等.当点Q落在直线OA的上方时，作点P对于点A的对称称点D，过D作直线DEAOyEAP1EODA1EDDEy2x1SQMASPMA，点Q落在直线y2x1上.x22x3=2x1.8-让每一个人相同地提高自我解得：x122，x222.代入y2x1，得y1522，y2522.此时抛物线上存在点Q122,522，Q222,522使QMA与PMA的面积相等.综上所述，抛物线上存在点Q122,522，Q222,522使QMA与PMA的面积相等.6、（广东省深圳市）如图9，在平面直角坐标系中，二次函数yax2bxc(a0)的图

13、象的极点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左边，B点的坐标为（3，0），OBOC，tanACO13（1）求这个二次函数的表达式（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上能否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为极点的四边形为平行四边形？若存在，恳求出点F的坐标；若不存在，请说明原因（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度（4）如图10，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么地点时，APG的面积最大？求出此时P点的坐标和APG的最大面积.yyEAOBxAO

14、BxCG点的坐CD（3）讨论当直线DMN标，再代入抛物线的表达式查验。MN在x轴上方时、当直线图9图10在x轴下方时二种状况。（4）建立S对于x的二次函数，求它的最大值。解：（1）由已知得：C（0，3），A（1，0）9-让每一个人相同地提高自我abc0将A、B、C三点的坐标代入得9a3bc0c3a1解得：b2c3所以这个二次函数的表达式为：yx22x3（2）存在，F点的坐标为（2，3）易得D（1，4），所以直线CD的分析式为：yx3E点的坐标为（3，0）以A、C、E、F为极点的四边形为平行四边形F点的坐标为（2，3）或（2，3）或（4，3）代入抛物线的表达式查验，只有（2，3）符合存在点F，坐

15、标为（2，3）（3）如图，当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R0），则N（R+1，R），代入抛物线的表达式，解得R1172y1R当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r0），则N（r+1，r），代入抛物线的表达式，解得r1172圆的半径为117或11722（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，易得G（2，3），直线AG为yx1MNRAOBx1rrMND设P（x，x22x3），则Q（x，x1），PQx2x210-让每一个人相同地提高自我SAPGSAPQSGPQ1(x2x2)312当x时，APG的面积最大2此时P点的坐标为1,15，SAPG的最大值为272487、（广东梅州）以以下图，

16、在梯形ABCD中，已知ABCD，ADDB，AD=DC=CB，AB=4以AB所在直线为x轴，过D且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系1）求DAB的度数及A、D、C三点的坐标；2）求过A、D、C三点的抛物线的分析式及其对称轴L（3）若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使PDB为等腰三角形的点P有几个?（不用求点P的坐标，只要说明原因）解：（1）DCAB，AD=DC=CB，CDB=CBD=DBA，DAB=CBA，DAB=2DBA，DAB+DBA=90，DAB=60，DBA=30，AB=4，DC=AD=2，RtAOD，OA=1，OD=3，A（-1，0），D（0，3），C（2，3）（2）依据抛物线和

17、等腰梯形的对称性知，知足条件的抛物线必过点A（1，0），B（3，0），故可设所求为y=a（x+1）（x-3）将点D（0，3）的坐标代入上式得，3a=3所求抛物线的分析式为y=3(x1)(x3).其对称轴L为直线x=13（3）PDB为等腰三角形，有以下三种状况：11-让每一个人相同地提高自我因直线L与DB不平行，DB的垂直均分线与L仅有一个交点P1，P1D=P1B，P1DB为等腰三角形；因为以D为圆心，DB为半径的圆与直线L有两个交点P2323，、P，DB=DP，DB=DPPDB，PDB为等腰三角形；23与同理，L上也有两个点P4、P5，使得BD=BP4，BD=BP5因为以上各点互不重合，所以在

18、直线L上，使PDB为等腰三角形的点P有5个8、（广东肇庆）已知点A（a，y1）、B（2a，y2）、C（3a，y3）都在抛物线y5x212x上.1）求抛物线与x轴的交点坐标；2）当a=1时，求ABC的面积；3）能否存在含有y1、y2、y3，且与a没关的等式？假如存在，试给出一个，并加以证明；假如不存在，说明原因.解：（1）由5x212x=0，（1分）得x10，x212抛物线与x轴的交点坐标为（12，0）（3分）50，0）、（5（2）当a=1时，得A（1，17）、B（2，44）、C（3，81），分别过点A、B、C作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，则有SABC=S梯形ADFC-S梯形ADEB-S梯

19、形BEFC(1781)2(1744)1(4481)1=2-22=5（个单位面积）（3）如：y33(y2y1)事实上，y35(3a)212(3a)=45a2+36a3（y2y1）=35（2a）2+122a-（5a2+12a）=45a2+36ay33(y2y1)9、（青海西宁）如图，已知半径为1的O1与x轴交于A，B两点，OM为O1的切线，切点为M，圆心2BO1的坐标为，二次函数yxbxc的图象经过，两(20)A点y（1）求二次函数的分析式；M（2）求切线OM的函数分析式；12OAO1Bx-让每一个人相同地提高自我（3）线段OM上能否存在一点P，使得以P，O，A为极点的三角形与OO1M相似若存在，

20、恳求出全部符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明原因解：（1）圆心O1的坐标为(2，0)，O1半径为1，A(10)，B(3，0)1分二次函数yx2bxc的图象经过点A，B，可得方程组1bc093bc0解得：b4二次函数分析式为yx24x3c3（2）过点M作MFx轴，垂足为FOM是O1的切线，M为切点，O1MOM（圆的切线垂直于经过切点的半径）在RtOO1M中，sinO1OMO1M1OO12yO1OM为锐角，O1OM30P1MP23OHAFO1xOMOO1cos3023，B2在RtMOF中，OFOMcos3033322MFOMsin3031322点M坐标为3，322设切线OM的函数分析式为ykx

21、(k0)，由题意可知33k，k3切223线OM的函数分析式为y3x313-让每一个人相同地提高自我（3）存在过点A作APx轴，与OM交于点P可得RtAPORtMOO（两角对1111应相等两三角形相像）P1AOAtanAOP1tan303，P1，3313过点A作AP2OM，垂足为P2，过P2点作P2HOA，垂足为H可得RtAP2ORtO1MO（两角对应相等两三角开相像）在RtOP2A中，OA1，OP2OAcos303，2在RtOP2H中，OHOP2cosAOP233322，4P2HOP2sinAOP2313，P23，322444符合条件的P点坐标有1，3，3，334410、（四川资阳）如图，已知

22、点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作O，交y轴的负半轴于点C，连结AC、BC，过A、B、C三点作抛物线1）求抛物线的分析式；2）点E是AC延伸线上一点，BCE的均分线CD交O于点D，连结BD，求直线BD的分析式；3）在（2）的条件下，抛物线上能否存在点P，使得PDBCBD?假如存在，恳求出点P的坐标；假如不存在，请说明原因解：(1)以AB为直径作O，交y轴的负半轴于点C，OCA+OCB=90，又OCB+OBC=90，OCA=OBC，14-让每一个人相同地提高自我又AOC=COB=90，AOCCOB，OAOCOCOB又A(1，0)，B(9，0)，1OC，解得OC=3(负

23、值舍去)OC9C(0，3)，设抛物线分析式为y=a(x+1)(x9)，3=a(0+1)(09)，解得a=1，3二次函数的分析式为y=118(x+1)(x9)，即y=x2x3333AB为O的直径，且A(1，0)，B(9，0)，OO=4，O(4，0)，点E是AC延伸线上一点，BCE的均分线CD交O于点D，BCD=1BCE=190=45，22连结OD交BC于点M，则BOD=2BCD=245=90，OO=4，OD=1AB=52D(4，5)设直线BD的分析式为y=kx+b（k0）9kb0,k1,解得4kb5.b9.直线BD的分析式为y=x9.假定在抛物线上存在点P，使得PDB=CBD，设射线DP交O于点

24、Q，则BQCD分两种状况(如答案图1所示)：O(4，0)，D(4，5)，B(9，0)，C(0，3)把点C、D绕点O逆时针旋转90，使点D与点B重合，则点所以，点Q1(7，4)符合BQCD，D(4，5)，Q1(7，4)，用待定系数法可求出直线DQ1分析式为y=119解方程组3x3x1941，x2941，22C与点Q1重合，y1x19，33得18yx2x3.33y12941；y22941.66点P坐标为(941，2941941，29412266舍去Q1(7，4)，15-让每一个人相同地提高自我点Q1对于x轴对称的点的坐标为Q2(7，4)也符合BQCDD(4，5)，Q2(7，4)用待定系数法可求出直

25、线DQ2分析式为y=3x17y3x17，x1，x2，解方程组18得3142y1；y225.yxx3.833点P2坐标为(14，25)，坐标为(3，8)不符合题意，舍去符合条件的点P有两个：P1941，294122611、（辽宁沈阳）以以下图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB1，OB3，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60后获得矩形EFOD点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点Dyax2bxc过点A，E，D1）判断点E能否在y轴上，并说明原因；2）求抛物线的函数表达式；3）在x轴的上方能否存在点P，点Q，抛物线yEFAC

26、DxBO，使以点O，B，P，Q为极点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，恳求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明原因（1）点E在y轴上原因以下：连结AO，以以下图，在RtABO中，AB1，BO3，AO21sinAOB，AOB302由题意可知：AOE60BOEAOBAOE306090点B在x轴上，点E在y轴上16-让每一个人相同地提高自我（2）过点D作DMx轴于点MOD1，DOM3013在RtDOM中，DM，OM22点D在第一象限，点D的坐标为312，2由（1）知EOAO2，点E在y轴的正半轴上点E的坐标为(0，2)点A的坐标为(31)，抛物线yax2bxc经过

27、点E，c2由题意，将A(31)，31代入yax2bx2中得，D，223a3b21a893a3b1解得253b4229所求抛物线表达式为：y8x253x2（3）存在符合条件的点P，点Q10分99原因以下：矩形ABOC的面积ABBO3以O，B，P，Q为极点的平行四边形面积为23由题意可知OB为此平行四边形一边，又OB3OB边上的高为2依题意设点P的坐标为(m，2)17-让每一个人相同地提高自我点P在抛物线y8x253x2上998m253m2299解得，m10，m2538P1(0，2)53，P282以O，B，P，Q为极点的四边形是平行四边形，PQOB，PQOB3，y当点P1的坐标为(0，2)时，EAF点Q的坐标分别为Q1(3，2)，Q2(3，2)；CDBOMx53当点P2的坐标为，时，82点Q的坐标分别为Q3133，33，82Q42812、（苏州市）如图，抛物线ya(x1)(x5)与x轴的交点为M、N直线ykxb与x轴交于P(2，0)，与y轴交于C若A、B两点在直线ykxb上，且AOBOD为线段MN的中点，OH为RtOPC斜边上的高