《概率论与数理统计》课件

1、随机事件与概率概率论与数理统计 同济大学数学系 & 人民邮电出版社012022/9/27随机事件与概率概率论与数理统计 同济大学数学系 & 人民目录/Contents1.11.21.31.41.5随机事件及其运算概率的定义及其性质等可能概型条件概率与事件的相互独立性全概率公式与贝叶斯公式目录/Contents1.11.21.31.41.5随机事件目录/Contents1.1随机事件及其运算一、随机试验二、样本空间三、随机事件四、随机事件间的关系和运算目录/Contents1.1随机事件及其运算一、随机试验二、一、随机试验随机现象在个别试验中呈现不确定的结果, 而在大量重复试验中结果呈现某种规律

2、性的现象.这种规律性称为统计规律性.概率论是一门研究随机现象及其统计规律的学科.为了研究随机现象的统计规律性, 就要对客观事物进行观察, 这个过程叫做试验.概率论所讨论的试验称为随机试验, 它具有以下三个特点:在相同的条件下试验可以重复进行;01OPTION02OPTION03OPTION每次试验的结果不止一个, 但是试验之前可以明确;每次试验将要发生什么样的结果是事先无法预知的.一、随机试验随机现象在个别试验中呈现不确定的结果, 而一、随机试验例1抛掷一枚均匀的硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上； 随机试验的例子42抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数；某快餐店一天内接到的订单量；航班起飞延误

3、的时间；一支正常交易的A股股票每天的涨跌幅。一、随机试验例1抛掷一枚均匀的硬币，有可能正面朝上，也有可能二、样本空间全体样本点的集合称为样本空间, 记为 , 也即样本空间是随机试验的一切可能结果组成的集合, 集合中的元素就是样本点.样本空间可以是有限集, 可数集, 一个区间（或若干区间的并集）.一个随机试验，每一个可能出现的结果称为一个样本点，记为二、样本空间全体样本点的集合称为样本空间, 记为 这些在一次试验中可能出现，也可能不出现的一类结果称为随机事件，简称为事件. 从集合的角度: 一个随机试验所对应的样本空间的子集称为一个随机事件. 用大写字母 等来表示随机事件.三、随机事件同济大学数学

4、系 & 人民邮电出版社这些在一次试验中可能出现，也可能不出现的一类结果称为随机事件仅含一个样本点的随机事件称为基本事件.三、随机事件在事件的定义中，注意以下几个概念：每次试验中一定发生的事件称为必然事件. 包含所有的样本点, 因此每次试验中必有 中的一个样本点出现, 故 是必然事件.每次试验中一定不发生的事件称为不可能事件.空集 中不包含任何样本点, 因此是不可能事件.01OPTION任一随机事件A是样本空间 的一个子集。02OPTION03OPTION当试验的结果 属于该子集时，就说事件A发生了。相反地，如果试验结果 不属于该子集，就说事件A没有发生。04OPTION05OPTION同济大学

5、数学系 & 人民邮电出版社仅含一个样本点的随机事件称为基本事件.三、随机事件在事件的定三、随机事件例 2抛掷一枚均匀的骰子的样本空间为同济大学数学系 & 人民邮电出版社三、随机事件例 2抛掷一枚均匀的骰子的样本空间为同济大学数学（1）事件的包含1、随机事件之间的关系四、随机事件之间的关系与运算 若事件 的发生必然导致事件 的发生, 则称事件 包含在事件 中.记作 .同济大学数学系 & 人民邮电出版社（1）事件的包含1、随机事件之间的关系四、随机事件之间的关系记作 .1、随机事件之间的关系（2）事件的相等 若事件 的发生必然导致事件 的发生, 且事件 的发生必然导致事件 的发生, 则称事件 与事

6、件 相等。 如果事件 与 不可能同时发生，即没有相同的样本点，则称事件 与 互不相容（互斥）.（3）互不相容事件同济大学数学系 & 人民邮电出版社记作 .1、随机事件之间的关系（2）事件2、随机事件之间的运算（1）事件的并 事件 或 至少有一个发生时, 称事件 与事件 的并事件发生, 记为 .（2）事件的交（积）事件 及事件 同时发生时, 称事件 与事件 的交事件发生, 记为 .事件的并事件的交同济大学数学系 & 人民邮电出版社2、随机事件之间的运算（1）事件的并 2、随机事件之间的运算（3）事件的差（4）对立事件 事件 发生且事件 不发生, 称事件 与事件 的差事件发生, 记为 . 事件 称

7、为事件 的对立事件（逆、余）, 记为 .同济大学数学系 & 人民邮电出版社2、随机事件之间的运算（3）事件的差（4）对立事件 2、随机事件之间的运算123同济大学数学系 & 人民邮电出版社2、随机事件之间的运算123同济大学数学系 & 人民邮电出版3、事件的运算性质交换律结合律分配律对偶律同济大学数学系 & 人民邮电出版社3、事件的运算性质交换律结合律分配律对偶律同济大学数3、事件的运算性质例 3用事件 的运算关系式表示下列事件，则：1234567同济大学数学系 & 人民邮电出版社3、事件的运算性质例 3用事件 目录/Contents1.11.21.31.41.5随机事件及其运算概率的定义及其

8、性质等可能概型条件概率与事件的相互独立性全概率公式与贝叶斯公式目录/Contents1.11.21.31.41.5随机事件公理1 非负性 公理2 规范性1.2 概率的定义及其性质 给定一个随机试验, 为相应的样本空间, 对每一个事件 , 规定一个实数 与之对应, 且满足如下公理：有公理3 可列可加性 即对任意一列两两互不相容事件则称 为事件 的概率.同济大学数学系 & 人民邮电出版社公理1 非负性 公理2 规范性1.2 概率的定 由概率的三条公理，可以推导出概率的一些性质.性质1 性质2 有限可加性1.2 概率的定义及其性质 设 为两两互不相容事件, 则有 性质4 若 则性质3 对任意事件 有

9、同济大学数学系 & 人民邮电出版社 由概率的三条公理，可以推导出概率的一些性质.性质1 性质5 设 为任意两个事件, 则 性质6 设 为任意两个事件, 则 1.2 概率的定义及其性质性质7 称为加法公式, 该公式可以推广到多个事件上. 三个事件的加法公式为:同济大学数学系 & 人民邮电出版社性质5 设 为任意两个事件, 则 则， 至少发生一个的概率是多少？1.2 概率的定义及其性质例 4已知三个随机事件 满足同济大学数学系 & 人民邮电出版社则， 至少发生一个的概率是目录/Contents1.11.21.31.41.5随机事件及其运算概率的定义及其性质等可能概型条件概率与事件的相互独立性全概率

10、公式与贝叶斯公式目录/Contents1.11.21.31.41.5随机事件目录/Contents1.3等可能概型一、古典概型二、几何概型随机事件发生的可能性的大小常用区间 中的数值加以刻划. 这个数值称为概率, 记为 规定:目录/Contents1.3等可能概型一、古典概型二、几何概一、古典概型古典概型的基本思路:随机试验的样本空间只有有限个样本点；每次试验中各个样本点发生的可能性相等.AB记 为样本点总数, 为事件 所包含的样本点个数，则事件 的概率为一、古典概型古典概型的基本思路:随机试验的样本空间只有有限个解 而总取法数（即样本点总数）为一、古典概型例 4（抽奖问题） 某公司年会抽奖,

11、 共有 张奖券, 其中只有一张有奖. 每位员工可抽取一张.求第 位员工中奖的概率（ ）.不放回情形中，第 个员工抽到有奖券意味着前 个员工均没有抽到, 相应的取法个数为同济大学数学系 & 人民邮电出版社解 而总取法数（即样本点总数）为一、古典概型例 4（抽奖问题这个结果和次序无关.因此, 所求概率为一、古典概型同济大学数学系 & 人民邮电出版社这个结果和次序无关.因此, 所求概率为一、古典概型同济大学二、几何概型 是古典概型的推广, 保留每个样本点发生的等可能性，样本空间放宽为无穷不可列个样本点，一般地，设样本空间 是某个区域 （直线、平面或空间）.则事件 的概率为这里 分别表示长度、面积或体

12、积.同济大学数学系 & 人民邮电出版社二、几何概型 是古典概型的推广, 保留每个样本点发生二、几何概型例 5碰面问题 甲、乙两人约定在中午的12时到13时在学校咖啡屋碰面，并约定先到者等候另一人10分钟，过时即可离去.求两人能碰面的概率.解 设甲到达咖啡屋的时间为 ,乙到达时间为 ，则 ,两人能碰面的事件所对应的区域为右图中带形区域所求概率为同济大学数学系 & 人民邮电出版社二、几何概型例 5碰面问题 甲、乙两人约定在中午目录/Contents1.11.21.31.41.5随机事件及其运算概率的定义及其性质等可能概型条件概率与事件的相互独立性全概率公式与贝叶斯公式目录/Contents1.11

13、.21.31.41.5随机事件目录/Contents1.4条件概率与事件的相互独立性一、条件概率二、事件的相互独立性目录/Contents1.4条件概率与事件的相互独立性一、条一、条件概率定义1给定一个随机试验, 是它的样本空间, 任意两个事件 , 其中 , 称为已知事件 发生的条件下事件 发生的条件概率.同济大学数学系 & 人民邮电出版社一、条件概率定义1给定一个随机试验, 是它的样本空 条件概率也满足概率的公理化定义的三条基本性质, 即:（1）公理1 非负性（2）公理2规范性（3）公理3 对可列无限个两两不相容事件可列可加性一、条件概率同济大学数学系 & 人民邮电出版社 条件概率也满足概率

14、的公理化定义的三条基本性质, 即相仿可以得到如下性质:以及等类似七条性质.一、条件概率同济大学数学系 & 人民邮电出版社相仿可以得到如下性质:以及等类似七条性质.一、条件概率同济大变形后有 由条件概率公式: 当 （或 ）时,有或或上式称为概率的乘法公式.一、条件概率 乘法公式可推广到多个事件上去, 例如,三个事件的乘法公式为同济大学数学系 & 人民邮电出版社变形后有 由条件概率公式: 当 注意：相互独立与互不相容有何区别?二、事件的相互独立性称两个事件 是相互独立的, 如果 上式等价于 独立性的直观意义是一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率.独立性往往蕴含在事物的内部. 当 时.同济大学数

15、学系 & 人民邮电出版社注意：相互独立与互不相容有何区别?二、事件的相互独立性称两个不难计算可见二、事件的相互独立性例 6抛掷两枚均匀硬币2次, 则: 事件 与 是独立的.解即事件 与 是独立的.同济大学数学系 & 人民邮电出版社不难计算可见二、事件的相互独立性例 6抛掷两枚均匀硬币2次,也相互独立. 即有相应可列出其它等式.定义2 若事件 独立，则二、事件的相互独立性同济大学数学系 & 人民邮电出版社也相互独立. 即有相应可列出其它等式.定义2 若事件 三个等式都成立.定义3 称事件组 是两两独立的, 如果有二、事件的相互独立性同济大学数学系 & 人民邮电出版社三个等式都成立.定义3 称事件

16、组 四个等式都成立.二、事件的相互独立性定义4 称事件组 是相互独立的, 如果有同济大学数学系 & 人民邮电出版社四个等式都成立.二、事件的相互独立性定义4 称事件组 二、事件的相互独立性独立性的定义可推广到 个事件上去. 特别地, 当事件 相互独立时, 有同济大学数学系 & 人民邮电出版社二、事件的相互独立性独立性的定义可推广到 个事件上去. 一个产品或一个元件、一个系统的可靠性可以用可靠度来刻划. 所谓可靠度指的是产品能正常工作的概率. 以下讨论中, 假定一个系统中的各个元件能否正常工作是相互独立的.二、事件的相互独立性例 7系统可靠性问题同济大学数学系 & 人民邮电出版社 一个产品或一个

17、元件、一个系统的可靠性可以用可靠度来刻 两个基本模型:（1）串联系统二、事件的相互独立性元件的可靠度为 , 则系统的可靠度为设一个系统由 个元件串联而成, 第 个（2）并联系统 设一个系统由 个元件并联而成, 第 个元件的可靠度为 , 则系统的可靠度为同济大学数学系 & 人民邮电出版社 两个基本模型:（1）串联系统二、事件的相互独立性元件目录/Contents1.11.21.31.41.5随机事件及其运算概率的定义及其性质等可能概型条件概率与事件的相互独立性全概率公式与贝叶斯公式目录/Contents1.11.21.31.41.5随机事件全概率公式与贝叶斯公式 设 为随机试验, 为相应的样本空

18、间, 为事件组, 若满足（1）（2）则称该事件组为完备事件组.完备事件组同济大学数学系 & 人民邮电出版社全概率公式与贝叶斯公式 设 为随机试验, 定理1 全概率公式全概率公式与贝叶斯公式同济大学数学系 & 人民邮电出版社定理1 全概率公式全概率公式与贝叶斯公式同济大学数学系 &定理2 贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式当 时,贝叶斯公式是已知“结果”，推断该“结果”由某“原因”发生的概率。原因A1原因A2原因An结果B 同济大学数学系 & 人民邮电出版社定理2 贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式当 求（1）取到白球的概率；（2）已知取到的是白球，则这个白球属于第二个箱子的的概率。全概率公式与贝叶

19、斯公式例 8有三只箱子：第一个箱子中有四个黑球和一个白球；第二个箱子中有三个黑球和三个白球；第三个箱子中有三个黑球和五个白球。任取一箱, 再从中任取一个球.同济大学数学系 & 人民邮电出版社求（1）取到白球的概率；（2）已知取到的是白球，则这个白球属且又全概率公式与贝叶斯公式解以 分别表示取到的是第 个箱子， 表示取到的是白球, 则事件组 构成一个完备事件组. 所以, 由全概率公式得再由贝叶斯公式得同济大学数学系 & 人民邮电出版社且又全概率公式与贝叶斯公式解以 全概率公式与贝叶斯公式例 9 某种疾病的患病率为0.1%，某项血液医学检查的误诊率为1%，即非患者中有1%的人验血结果为阳性. 患者

20、中有1%的人验血结果为阴性。 现知某人验血结果是阳性,求他确实患有该种疾病的概率. 以 表示验血结果为阳性, 表示该人患此疾病解因此所求概率为同济大学数学系 & 人民邮电出版社全概率公式与贝叶斯公式例 9 某种疾病的患病率为0.总结/summary两个概念：随机事件与概率基本理论：随机事件的性质与运算 随机事件的相互独立性与乘法公式几类概率模型：等可能概型（包括古典概型、几何概率） 条件概率 全概率公式；贝叶斯公式总结/summary两个概念：随机事件与概率谢谢观赏概率论与数理统计同济大学数学系 & 人民邮电出版社谢谢观赏概率论与数理统计同济大学数学系 & 人民邮电出随机变量及其分布概率论与数

21、理统计同济大学数学系 & 人民邮电出版社02随机变量及其分布概率论与数理统计同济大学数学系 & 人目录/Contents2.12.22.32.4随机变量及其分布常用的离散型随机变量常用的连续型随机变量随机变量函数的分布目录/Contents2.12.22.32.4随机变量及其分目录/Contents2.1随机变量及其分布一、随机变量的定义二、随机变量的分布函数三、离散型随机变量及其分布律四、连续型随机变量及其密度函数目录/Contents2.1随机变量及其分布一、随机变量的定 许多随机试验的结果与实数密切联系, 也有些随机试验结果从表面上看并不与实数相联系. 下面我们通过几个例子来引入随机变量

22、的概念.一、随机变量的定义例 1 抛掷一颗均匀的骰子，出现的点数 X的取值样本空间=正面朝上, 反面朝上,样本空间不是一个数集. 但是我们可以人为地把试验结果和实数对应起来.令同济大学数学系 & 人民邮电出版社 许多随机试验的结果与实数密切联系, 也有些随称为是（一维）随机变量. 引进随机变量后, 随机事件及其概率可以通过随机变量来表达.一、随机变量的定义定义1 在随机试验E中, 是相应的样本空间, 如果对 中的每一个样本点 , 有唯一一个实数 与它对应, 那么就把这个定义域为 的单值实值函数 随机变量一般用大写字母 表示.同济大学数学系 & 人民邮电出版社称为是（一维）随机变量. 引进随机变

23、量后, 随机事件随机变量离散型随机变量连续型随机变量一、随机变量的定义如果一个随机变量仅可能取有限或可列个值，则称其为离散型随机变量、AB如果一个随机变量的取值充满了数轴上的一个区间（或某几个区间的并），则称其为连续型随机变量。同济大学数学系 & 人民邮电出版社随机变量离散型随机变量连续型随机变量一、随机变量的定义如果一一、随机变量的定义随机变量的直观解释 随机变量X是样本点的函数，这个函数的自变量是样本点，可以是数，也可以不是数，定义域是样本空间，而因变量必须是实数。这个函数可以让不同的样本点对应不同的实数，也可以让多个样本点对应于一个实数。同济大学数学系 & 人民邮电出版社一、随机变量的定

24、义随机变量的直观解释 随机变量X二、随机变量的分布函数定义2 称函数为随机变量 的分布函数.给定一个随机变量 , 对任意实数 对任意满足条件的实数, 有同济大学数学系 & 人民邮电出版社二、随机变量的分布函数定义2 称函数为随机变量 的例1 设一盒子中装有10个球，其中5个球上标有数字1,3个球上标有数字2，2个球上标有数字3。二、随机变量的分布函数 从中任取一球, 记随机变量 为“取得的球上标有的数字”（1）写出 的分布函数 ;（2）作出分布函数 的图像.同济大学数学系 & 人民邮电出版社例1 设一盒子中装有10个球，其中5个球上标有数字1,二、随机变量的分布函数容易得到 可取1,2,3，由

25、古典概型的计算方法，对应的概率值分别为0.5,0.3,0.2。解由分布函数定义知若 则 为不可能事件, 故所以若 则同理, 当 时, 有当 时, 有同济大学数学系 & 人民邮电出版社二、随机变量的分布函数容易得到 可取1,2,3，由古综上, 随机变量的分布函数为二、随机变量的分布函数同济大学数学系 & 人民邮电出版社综上, 随机变量的分布函数为二、随机变量的分布函数同济大学分布函数的性质二、随机变量的分布函数设 是随机变量 的分布函数，则有42分布函数单调不减;对任意的 , 分布函数右连续; 同济大学数学系 & 人民邮电出版社分布函数的性质二、随机变量的分布函数设 （1）非负性三、离散型随机变

26、量及其分布律定义3 设 且其中 满足:（2）规范性那么称表达式 为随机变量 的分布律或概率函数.同济大学数学系 & 人民邮电出版社（1）非负性三、离散型随机变量及其分布律定义3 设 换句话说，如果一个随机变量只可能取有限个值或可列无限个值, 那么称这个随机变量为（一维）离散型随机变量. 一维离散型随机变量的分布律也可表示为：三、离散型随机变量及其分布律同济大学数学系 & 人民邮电出版社 换句话说，如果一个随机变量只可能取有限个值或可三、离散型随机变量及其分布律设随机变量 的分布律如下：例 2（1）求解（2） 的分布函数 同济大学数学系 & 人民邮电出版社三、离散型随机变量及其分布律设随机变量

27、的分布律如下四、连续型随机变量及其密度函数那么称 为连续型随机变量 的概率密度函数.给定一个连续型的随机变量 , 如果存在一个定义域为 的非负实值函数 , 使得 的分布函数 可以表示为定义4 同济大学数学系 & 人民邮电出版社四、连续型随机变量及其密度函数那么称 为连四、连续型随机变量及其密度函数 概率密度函数满足下面两个条件:对照一下离散型随机变量的概率函数所满足的两个条件,注意到1212 这两个条件同样刻划了密度函数的特征性质, 即如果有实值函数具备这两条性质, 那么它必定是某个连续型随机变量的概率密度函数.同济大学数学系 & 人民邮电出版社四、连续型随机变量及其密度函数 概率密度函数满足

28、下面两四、连续型随机变量及其密度函数 分布函数和概率密度函数的关系在几何上的体现:同济大学数学系 & 人民邮电出版社四、连续型随机变量及其密度函数 分布函数和概率密度函数四、连续型随机变量及其密度函数 设 是任意连续型随机变量, 且 与 分别是它的分布函数与概率密度函数, 则有:有连续型随机变量的性质 是连续函数, 且在 的连续点处, 有1对任意常数 , 2结合结论2可知: 同济大学数学系 & 人民邮电出版社四、连续型随机变量及其密度函数 设 是任四、连续型随机变量及其密度函数例 3设随机变量 的概率密度函数为求解（1）（2） 的分布函数 （1）同济大学数学系 & 人民邮电出版社四、连续型随机

29、变量及其密度函数例 3设随机变量 的概四、连续型随机变量及其密度函数解 (2)同济大学数学系 & 人民邮电出版社四、连续型随机变量及其密度函数解 (2)同济大学数学系 & 目录/Contents2.12.22.32.4随机变量及其分布常用的离散型随机变量常用的连续型随机变量随机变量函数的分布目录/Contents2.12.22.32.4随机变量及其分目录/Contents2.2常用的离散型随机变量一、二项分布二、泊松分布三、超几何分布四、几何分布与负二项分布目录/Contents2.2常用的离散型随机变量一、二项分布一、二项分布 在 重贝努利试验中, 若以 表示事件 在 次试验中出现的次数.

30、分布律为则 的取值为 相应的概率为: 设对一随机试验 E, 我们只关心某个事件 发生与否,此时试验的结果可以看成只有两种: 发生或者 不发生。那么称这个试验为贝努利试验.同济大学数学系 & 人民邮电出版社一、二项分布 在 重贝努利试验中, 若以 其中 为事件 发生的概率. 则称 服从参数为 的二项分布, 记成 在概率论中, 二项分布是一个重要的分布. 在许多独立重复试验中, 都具有二项分布的形式.一、二项分布同济大学数学系 & 人民邮电出版社其中 为事件 发生的概率. 则称 服从参数一、二项分布 若二项分布 中取 ，相应的分布律为 即随机变量 的取值为 0, 1, 相应的概率记为则又称服从 分

31、布（或两点分布）. 同济大学数学系 & 人民邮电出版社一、二项分布 若二项分布 设 表示在5次重复独立射击中命中的次数，则一、二项分布例 4某人向同一目标重复独立射击5次，每次命中目标的概率为0.8，求（1）此人能命中3次的概率；（2）此人至少命中2次的概率。12同济大学数学系 & 人民邮电出版社设 表示在5次重复独立射击中命中的次数，则一、二项分二、泊松分布 设随机变量 的概率密度函数为则称 服从参数为 的泊松分布, 记为由无穷级数知识知:同济大学数学系 & 人民邮电出版社二、泊松分布 设随机变量 的概率密度函数为则称二、泊松分布泊松分布也是一种常用的离散型分布，它常常与计数过程相联系，例如

32、 某一时段内某网站的点击量；早高峰时间段内驶入高架道路的车辆数；一本书上的印刷错误数。01OPTION02OPTION03OPTION同济大学数学系 & 人民邮电出版社二、泊松分布泊松分布也是一种常用的离散型分布，它常常与计数过二、泊松分布例 5解同济大学数学系 & 人民邮电出版社二、泊松分布例 5解同济大学数学系 & 人民邮电出版社已知一购物网站每周销售的某款手表的数量X服从参数为6的泊松分布.问周初至少预备多少货源才能保证该周不脱销的概率不小于0.9.假定上周没有库存,且本周不再进货.二、泊松分布例 6解设该款手表每周的需求量为 ，则有 ；设至少需要进 块该款手表，才能满足不脱销的概率不小

33、于0.9，即要满足同济大学数学系 & 人民邮电出版社已知一购物网站每周销售的某款手表的数量X服从参数为6的泊松分二、泊松分布定理（泊松定理） 在 重贝努利试验中，记 事件在一次试验中发生的概率为 ，当 时，有 对于任意一个非负整数 , 有泊松定理告诉我们: 满足一定条件时，二项概率可以用泊松分布的概率值来近似.同济大学数学系 & 人民邮电出版社二、泊松分布定理（泊松定理） 在 重贝努利此时可近似看作参数为5的泊松分布, 二、泊松分布设某保险公司的某人寿保险险种有1000人投保，每个投保人在一年内死亡的概率为0.005，且每个人在一年内是否死亡是相互独立的，试求在未来一年中这1000个投保人中死

34、亡人数不超过10人的概率例 7解记 未来一年中这1000个投保人中死亡人数，则有同济大学数学系 & 人民邮电出版社此时可近似看作参数为5的泊松分布, 二、泊松分布设某保险公三、超几何分布则这 个产品中所含的次品 的分布律为设有 件产品, 其中 件次品. 现从中不放回任取 个产品,我们称 服从参数为 的超几何分布.同济大学数学系 & 人民邮电出版社三、超几何分布则这 个产品中所含的次品 的分布律为三、超几何分布记 , 可以证明，有同济大学数学系 & 人民邮电出版社三、超几何分布记 , 可以证明，四、几何分布与负二项分布如果随机变量 的分布律为则称 服从参数为 的几何分布.同济大学数学系 & 人民

35、邮电出版社四、几何分布与负二项分布如果随机变量 的分布律为则称四、几何分布与负二项分布几何分布也是一种常用的离散型分布，例如01OPTION02OPTION03OPTION同济大学数学系 & 人民邮电出版社四、几何分布与负二项分布几何分布也是一种常用的离散型分布，例四、几何分布与负二项分布例 8证明同济大学数学系 & 人民邮电出版社四、几何分布与负二项分布例 8证明同济大学数学系 & 人民邮四、几何分布与负二项分布同济大学数学系 & 人民邮电出版社四、几何分布与负二项分布同济大学数学系 & 人民邮电出版社目录/Contents2.12.22.32.4随机变量及其分布常用的离散型随机变量常用的连

36、续型随机变量随机变量函数的分布目录/Contents2.12.22.32.4随机变量及其分目录/Contents2.3常用的连续型随机变量一、均匀分布二、指数分布三、正态分布目录/Contents2.3常用的连续型随机变量一、均匀分布密度函数图形如右图:其余一、均匀分布 设随机变量 的概率密度函数为则称 服从区间 上的 均匀分布, 记作同济大学数学系 & 人民邮电出版社密度函数图形如右图:其余一、均匀分布 设随机变量 计算可得分布函数为：分布函数图形如右所示:一、均匀分布 我们考察一下这个分布函数, 若 , 则 这恰好是区间 和取值总区间的长度比, 只与区间长度d有关，与区间位置c无关. 同济

37、大学数学系 & 人民邮电出版社计算可得分布函数为：分布函数图形一、均匀分布 我们考察一、均匀分布例 9解同济大学数学系 & 人民邮电出版社一、均匀分布例 9解同济大学数学系 & 人民邮电出版社二、指数分布如果随机变量 的密度函数为其余则称 服从参数为 的指数分布, 其分布函数为记为指数分布的密度函数图形如下:指数分布的分布函数图形如下:二、指数分布如果随机变量 的密度函数为其余则称 由定义易得服从指数分布的随机变量的概率计算公式:设 , 则证明例 10二、指数分布同济大学数学系 & 人民邮电出版社由定义易得服从指数分布的随机变量的概率计算公式:设 三、正态分布 设随机变量 的概率密度函数为则称

38、 服从参数为 的正态分布, 记为服从正态分布的随机变量统称为正态随机变量.同济大学数学系 & 人民邮电出版社三、正态分布 设随机变量 的概率密度函数为则称正态分布的密度函数曲线图形三、正态分布同济大学数学系 & 人民邮电出版社正态分布的密度函数曲线图形三、正态分布同济大学数学系 & 人三、正态分布正态分布概率密度函数的曲线特征:密度函数 的图形关于 对称; 13当 时, ;2 在 处取得最大值 ;同济大学数学系 & 人民邮电出版社三、正态分布正态分布概率密度函数的曲线特征:密度函数 三、正态分布正态分布概率密度函数的曲线特征:4当 较大时曲线比较平坦, 当 较小时曲线比较陡峭.同济大学数学系

39、& 人民邮电出版社三、正态分布正态分布概率密度函数的曲线特征:4当 时的正态分布称为标准正态分布.其概率密度函数和分布函数分别为标准正态分布密度函数图形三、正态分布同济大学数学系 & 人民邮电出版社 三、正态分布关于标准正态分布有以下结果:特别地, 有 ; 当 时, 的值可以查概率函数值表得到, 且 13若 , 则特别地 当 时, 由密度函数对称性可得 ,2同济大学数学系 & 人民邮电出版社三、正态分布关于标准正态分布有以下结果:特别地, 有 查表并计算可得例 11设随机变量 , 查表求下列概率值:解(2) 同样地三、正态分布同济大学数学系 & 人民邮电出版社 查表并计算可得例 11设随机变量

40、 一般地, 有下列结论:三、正态分布设随机变量 , 则特别地 若 , 则同济大学数学系 & 人民邮电出版社一般地, 有下列结论:三、正态分布设随机变量 查表并计算可得 三、正态分布例 12设 , 试求概率 解同济大学数学系 & 人民邮电出版社查表并计算可得 三、正态分布例 12设 三、正态分布例 13设随机变量 服从标准正态分布 , 为何值时才能满足解由 , 查附录4知同济大学数学系 & 人民邮电出版社三、正态分布例 13设随机变量 服从标准正态分布 右图为分位数的几何意义 设对给定的 若 数 满足称 为随机变量X的 分位数三、正态分布标准正态分布的分位数概念:同济大学数学系 & 人民邮电出版

41、社右图为分位数的几何意义 设对给定的 若 某学校规定划分考生成绩的等级方法如下：考试成绩的实际考分在前10%的为A等，考分在前10%以后但在前50%的为B等，考分在前50%以后但在前85%的为C等，考分在后10%的为D等.某次期末考试中，设考生的成绩X服从正态分布 ，经计算可知 ， ，求这次期末考试等级划分的具体分数线。 例 14三、正态分布解由题意可知 , 则同济大学数学系 & 人民邮电出版社某学校规定划分考生成绩的等级方法如下：考试成绩的实际考分在前又又 综述所求，可知，在此次考试中，分数在88.384以上的，为等级A，分数在73至88.384之间的，为等级B，分数在57.616至73之间

42、的，为等级C，分数在57.616以下的，为等级D。三、正态分布同济大学数学系 & 人民邮电出版社又又 综述所求，可知，在此次考试中，分数在88.目录/Contents2.12.22.32.4随机变量及其分布常用的离散型随机变量常用的连续型随机变量随机变量函数的分布目录/Contents2.12.22.32.4随机变量及其分目录/Contents2.4随机变量函数的分布一、离散型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布设随机变量 ，定义一个函数 ,则 是随机变量 的函数，也是一个随机变量。问题：已知 的分布, 如何求 的分布.目录/Contents2.4随机变量函数的分布一、离散型随机一、

43、离散型随机变量函数的分布同济大学数学系 & 人民邮电出版社一、离散型随机变量函数的分布同济大学数学系 & 人民邮电出版一、离散型随机变量函数的分布例 15设随机变量 的分布律为1求 的分布律;2求 的分布律。同济大学数学系 & 人民邮电出版社一、离散型随机变量函数的分布例 15设随机变量 的分由此得到相应的分布律:一、离散型随机变量函数的分布解(1) 随机变量 的取值为 且(2) 随机变量 的取值为 同理可得对应的分布律为:同济大学数学系 & 人民邮电出版社由此得到相应的分布律:一、离散型随机变量函数的分布解(1) 二、连续型随机变量函数的分布例 16解同济大学数学系 & 人民邮电出版社二、连

44、续型随机变量函数的分布例 16解同济大学数学系 & 人二、连续型随机变量函数的分布01OPTION02OPTION03OPTION同济大学数学系 & 人民邮电出版社二、连续型随机变量函数的分布01OPTION02OPTION的分布函数与密度函数求解的一般步骤：二、连续型随机变量函数的分布1324同济大学数学系 & 人民邮电出版社的分布函数与密度函数求解的一般步骤：二、连续型随机变量函数的二、连续型随机变量函数的分布例 17解同济大学数学系 & 人民邮电出版社二、连续型随机变量函数的分布例 17解同济大学数学系 & 人二、连续型随机变量函数的分布定理 1定理 2二、连续型随机变量函数的分布定理

45、1定理 2二、连续型随机变量函数的分布例 18解二、连续型随机变量函数的分布例 18解总结/summary随机变量分布函数离散型随机变量、分布律、二项分布、泊松分布、几何分布连续型随机变量、密度函数、均匀分布、指数分布、正态分布随机变量函数的分布总结/summary随机变量分布函数离散型随机变量、分布律、谢谢观赏概率论与数理统计同济大学数学系 & 人民邮电出版社谢谢观赏概率论与数理统计同济大学数学系 & 人民邮电出多维随机变量及其分布概率论与数理统计 同济大学数学系 & 人民邮电出版社03多维随机变量及其分布概率论与数理统计 同济大学数学系 &目录/Contents3.13.23.33.43.

46、5多维随机变量及其联合分布常用的多维随机变量边缘分布条件分布二维随机变量函数的分布目录/Contents3.13.23.33.43.5多维随机目录/Contents3.1多维随机变量及其联合分布一、多维随机变量二、联合分布函数三、二维离散型随机变量及其联合分布律四、二维连续型随机变量及其 联合密度函数目录/Contents3.1多维随机变量及其联合分布一、多维一、随机试验定义1同济大学数学系 & 人民邮电出版社一、随机试验定义1同济大学数学系 & 人民邮电出版社一、随机试验例1解同济大学数学系 & 人民邮电出版社一、随机试验例1解同济大学数学系 & 人民邮电出版社一、随机试验同济大学数学系 &

47、 人民邮电出版社一、随机试验同济大学数学系 & 人民邮电出版社一、随机试验定义2同济大学数学系 & 人民邮电出版社一、随机试验定义2同济大学数学系 & 人民邮电出版社为随机向量 的（联合）分布函数.设 为二维随机变量, 对任意的 称二、联合分布函数 由定义可知, 对平面上任一点 , 定义3同济大学数学系 & 人民邮电出版社为随机向量 的（联合）分布函数.设 为随机变量 的(联合)分布函数.定义4 设 为 维随机变量, 对任意的 称二、联合分布函数定义4同济大学数学系 & 人民邮电出版社为随机变量 的(联合联合分布函数的性质:当固定 时， 是变量 的单调非减函数; 当固定 时， 是变量 的单调非

48、减函数; 二、联合分布函数定理 1123同济大学数学系 & 人民邮电出版社联合分布函数的性质:当固定 时， 对任意的 , 有矩形公式当固定 时， 是变量 的右连续函数;当固定 时， 是变量 的右连续函数;二、联合分布函数45如图所示:联合分布函数的矩形公式同济大学数学系 & 人民邮电出版社对任意的 设二维随机变量 仅可能取有限个值，则称 为二维离散型随机变量.设二维随机变量 为二维随机变量 的联合分布律.其中三、二维离散型随机变量及其联合分布律定义 5定义 6同济大学数学系 & 人民邮电出版社设二维随机变量 仅可能取有限个值，则称 二维随机变量 的联合分布律的表格法表示.三、二维离散型随机变量

49、及其联合分布律同济大学数学系 & 人民邮电出版社二维随机变量 的联合分布律的表格法表示.三三、二维离散型随机变量及其联合分布律例2解同济大学数学系 & 人民邮电出版社三、二维离散型随机变量及其联合分布律例2解同济大学数学系 &(2)三、二维离散型随机变量及其联合分布律同济大学数学系 & 人民邮电出版社(2)三、二维离散型随机变量及其联合分布律同济大学数学系 &联合概率密度函数两个常见的二维连续型分布边缘概率密度函数四、二维连续型随机变量及其联合密度函数同济大学数学系 & 人民邮电出版社联合概率密度函数两个常见的二维连续型分布边缘概率密度函数四、则称 为二维连续型随机变量，称 为二维连续型随机变

50、量 的联合（概率）密度函数.设二维随机变量 的联合分布函数 为 ,如果存在二元非负实值函数 , 使得对任意的 有定义7 四、二维连续型随机变量及其联合密度函数则称 为二维连续型随机变量，称 四、二维连续型随机变量及其联合密度函数定义8 同济大学数学系 & 人民邮电出版社四、二维连续型随机变量及其联合密度函数定义8 同济大学数学系设 为二维连续非负性规范性型随机变量 的联合密度函数，则四、二维连续型随机变量及其联合密度函数（联合密度函数的性质）定理 2同济大学数学系 & 人民邮电出版社设 为二维连续非负性规范性型随机（二维连续型随机变量的性质） 为连续函数, 在 的连续点处有任意一条平面曲线 ,

51、 有 ;对 平面上任意一区域 , 有四、二维连续型随机变量及其联合密度函数定理 3123同济大学数学系 & 人民邮电出版社（二维连续型随机变量的性质） 为连设二维随机变量 的联合密度函数为常数 四、二维连续型随机变量及其联合密度函数例3其余01OPTION02OPTION03OPTION求联合分布函数同济大学数学系 & 人民邮电出版社设二维随机变量 的联合密度函数为常数(1) 由密度函数性质所以 .(2) 由已知得四、二维连续型随机变量及其联合密度函数解同济大学数学系 & 人民邮电出版社(1) 由密度函数性质所以 .(2四、二维连续型随机变量及其联合密度函数 (3) 如右图所示:同济大学数学系

52、 & 人民邮电出版社四、二维连续型随机变量及其联合密度函数 (3) 如右图所目录/Contents3.13.23.33.43.5多维随机变量及其联合分布常用的多维随机变量边缘分布条件分布二维随机变量函数的分布目录/Contents3.13.23.33.43.5多维随机目录/Contents3.2常用的多维随机变量一、二维均匀分布二、二维正态分布目录/Contents3.2常用的多维随机变量一、二维均匀分设二维随机变量 的联合密度函数为则称随机变量 服从区域 上的二维均匀分布.其中 是平面 上的某个区域, 为区域 的面积, 一、二维均匀分布定义 1同济大学数学系 & 人民邮电出版社设二维随机变量

53、 的联合密度函数为则称随机变设 服从区域 上的均匀分布, (1)因区域 的面积为 1, 故由定义得联合密度函数为:计算概率 一、二维均匀分布例1解1写出 的联合密度函数 2同济大学数学系 & 人民邮电出版社设 服从区域 上的均匀分布, (2) 所求概率为 一、二维均匀分布同济大学数学系 & 人民邮电出版社(2) 所求概率为 一、二维均匀分布同济大学数学系 & 人定义 2如果 的联合密度函数为并记为则称 服从参数为 的二维正态分布,其中二、二维正态分布同济大学数学系 & 人民邮电出版社定义 2如果 的联合密度函数为并记为目录/Contents3.13.23.33.43.5多维随机变量及其联合分布

54、常用的多维随机变量边缘分布条件分布二维随机变量函数的分布目录/Contents3.13.23.33.43.5多维随机目录/Contents3.3边缘分布一、边缘分布函数二、二维离散型随机变量的边缘分布律三、二维连续型随机变量的边缘密度函数四、随机变量的相互独立性目录/Contents3.3边缘分布一、边缘分布函数二、二维称设二维随机变量 的联合分布函数为为随机变量 的边缘分布函数; 为随机变量 的边缘分布函数.一、边缘分布函数定义1同济大学数学系 & 人民邮电出版社称设二维随机变量 的联合分布函数为为设二维随机变量 的联合密度函数为 分别计算 边缘分布函数.一、边缘分布函数例1同济大学数学系

55、& 人民邮电出版社设二维随机变量 的联合密度函数为 在第一节例4中已得 的联合分布函数，一、边缘分布函数解同济大学数学系 & 人民邮电出版社在第一节例4中已得 的联合分布函数，一、在第一节例4中已得 的联合分布函数，故 与 的边缘分布函数分别为一、边缘分布函数解同济大学数学系 & 人民邮电出版社在第一节例4中已得 的联合分布函数，故 定义 2，称概率设二维离散型随机变量 的联合分布律为为随机变量 的边缘分布律，记为 ，并有二、二维离散型随机变量的边缘分布律同济大学数学系 & 人民邮电出版社定义 2，称概率设二维离散型随机变量 的联在第一节例3中计算 与 的边缘分布律。直接在 联合分布律表格中计

56、算行和、列和得二、二维离散型随机变量的边缘分布律例2解同济大学数学系 & 人民邮电出版社在第一节例3中计算 与 的边缘分布律。直接在 所以 的边缘分布律为 所以 的边缘分布律为二、二维离散型随机变量的边缘分布律同济大学数学系 & 人民邮电出版社 所以 的边缘分布律为 所以 的边缘分布律则随机变量 的边缘密度函数为类似地，随机变量 的边缘密度函数为 设二维随机变量 的联合密度函数为三、二维连续型随机变量的边缘密度函数定义 3同济大学数学系 & 人民邮电出版社则随机变量 的边缘密度函数为类似地，随机变量 试求第一节例3中随机变量 的边缘密度函数.首先确定 的值域 ,当 时 所以 的边缘密度函数为:

57、三、二维连续型随机变量的边缘密度函数例3解同济大学数学系 & 人民邮电出版社试求第一节例3中随机变量 的边缘密度函数.首先然后，确定 的值域 ,当 时 所以 的边缘密度函数为:三、二维连续型随机变量的边缘密度函数同济大学数学系 & 人民邮电出版社然后，确定 的值域 设 , 则, 由边缘密度函数的定义得三、二维连续型随机变量的边缘密度函数定理 1所以 ，同理 . 证明同济大学数学系 & 人民邮电出版社设 已知 , 求的密度函数 . 由定理1知 ，又由正态分布的线性变换仍是正态分布知 三、二维连续型随机变量的边缘密度函数例4解所以同济大学数学系 & 人民邮电出版社已知 都有 设 为二维随机变量，若

58、对任意的 与 相互独立.四、随机变量的相互独立性成立，则称随机变量定义 4同济大学数学系 & 人民邮电出版社 都有 的一切公共连续点上都有相互独立的充分必要条件是对任意的 设 为二维连续型随机变量，那么， 与相互独立的充分必要条件是在四、随机变量的相互独立性定理 2设 为二维离散型随机变量，那么， 与都有 成立.定理 3同济大学数学系 & 人民邮电出版社的一切公共连续点上都有相互独立的充分必要条件是对任意的 四、随机变量的相互独立性例5同济大学数学系 & 人民邮电出版社四、随机变量的相互独立性例5同济大学数学系 & 人民邮电出版（1）由二维离散型随机变量边缘分布律定义得所以 与 的边缘分布律分

59、别为四、随机变量的相互独立性解同济大学数学系 & 人民邮电出版社（1）由二维离散型随机变量边缘分布律定义得所以 与 在第一节例 4 中， 是否相互独立？为什么？不相互独立. 的联合密度函数及边缘密度函数如下四、随机变量的相互独立性例6解同济大学数学系 & 人民邮电出版社在第一节例 4 中， 是否相互独立？为什在它们的公共连续点 处 , 因此 不相互独立.四、随机变量的相互独立性同济大学数学系 & 人民邮电出版社在它们的公共连续点 处 , 因设 , 那么 与 相互独立的充分必要条件是充分条件 当 时所以，对任意 ，都有因此 相互独立.四、随机变量的相互独立性定理 4证明同济大学数学系 & 人民邮

60、电出版社设 所以必要条件 当 相互独立时, 对任意的 都有 特别地，当 时四、随机变量的相互独立性 该等式也成立, 同济大学数学系 & 人民邮电出版社所以必要条件 当 相互独立时, 对任四、随机变量的相互独立性对多维随机变量独立性的定义如下： 定义 5 的一切公共连续点上成立。都有那么就称随机变量 连续型随机变量有设 为 维随机变量 ，若对任意的相互独立。同济大学数学系 & 人民邮电出版社四、随机变量的相互独立性对多维随机变量独立性的定义如下： 定对多维随机变量独立性的定义如下： 四、随机变量的相互独立性，都有相互独立的充要条件是在当 为离散型随机变量 时，随机变量当 为连续型随机变量 时，随