历年初中数学竞赛真题库(含答案)

1、1991 年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一、选择题本题共有 8 个小题，每小题都给出了（A）、（B）（C）、（D）四个答案结论，其中只有一个是正确的请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内a(y a) 设等式 a(a(y a)3x2 xy y 2x a a y 在实数范围内成立，其中 是两两不同的实数，则x 2 xy y 2的值是15（A）3 ； （B）3；（C）2；（D）3 答（）x2 x 1x2 x 10的解是1515（A）10；（B）12；（C）答（16；）（D）18（A） 2；（B）2；115（C） 2答（）115152x 已知：1 n2n1 1991 n （n是自然数）那么(x

2、1 x2 )n ，的值是（）19911；（）19911 ；（）(1)n 1991；（）(1)n 19911 答（） 若12399100 12nM ，其中为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则（）能被整除，但不能被整除；（）能被整除，但不能被整除；（）能被整除，但不能被整除；（）不能被整除，也不能被整除答（）是整数，b是正整数，且满足a b c b c d c d a ，那么a b c d 的最大值是答（） 如图，正方形 OPQR内接于、BOP答（） 如图，正方形 OPQR内接于、BOP和CRQS1 1S2和S3 1OPQR的边长是 3（） 2 ；（） 3 ；（）2；（）3答（）S 11

3、S 32S =13ABCAC1AB cA 60，ABCR1，则11（） 2 c 2 ；（）0 2；（D）c =2答（二、填空ABCDBC边的中点，AEBDBEG的面积是，则平行四边形ABCD的面积是已知关于 x ax2bxc 0没有实数解甲由于看错了二次项系数，误求得两根为和；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为和，那么， a(x 1)m a(x 1)m 1 (x p(m 2 2n p)2q xq恒成立，则四边形ABCD中， ABC135 ，BCD120 AB6，BC 53 ，CD= 6，则AD=120135第二试xx + x xy四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（

4、x , 二、ABCBC上，EBA的延长线上，且的外接圆与ABCF点（如图三、ABCD分割为 n2 个相等的小方格（n 是自然数），把 B，D 染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数1992 年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有 8 个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.a b ab 1的非负整数(ab的个数是(A)1;(B)2;(C)3;(D)4.若M (2axx 0 是一元二次方程0b)2 的关系是0ax2bxc0(a的根则判别式

5、 b24ac 与平方式(AM(B= M(C) M ;(D)不确定.x213x10,xx4 的个位数字是(A)1;(B)3;(C)5;(D)7.答()1 的圆中有一内接多边形,1 且小于 2 ,则这个多边形的边数必为(A)7;(B)6;(C)5;(D)4.5.如图,5.如图,yx和yax(a0的图像与反比例函数y k (k 0)x的图像分别相交于 A点和 C点.RtAOB 和COD 的面S1 S2,S1 S2 的关系是1212(A)S S(B)S S121212S S12不确定答()1在一个由888 4 的圆,的所有小方格的圆内部分的面积之和记为 S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和

6、1S2记为 S212,则 S2的整数部分是(A)0;(B)1;(C)2;(D)3.答()如图, 在等腰梯形 ABCD中,AB/CD,AB=2CD,是底边 AB 上一点,且 FE=FB=AC, FA=AB.则 AE:EB 等于(A)1:2(B)1:3(C)2:5(D)3:10答()A 60 ,又 E8.设x , x , x , , 8.设123均为正整数,且12x 12 x , x x 220 ,则当 x x x x 的值最大时,x的最小值是91291234591(A)8;(B)9;(C)10;(D)11.91291234591答()二.填空题1 x2 x4 1 x2 x4 1 x4若x 0 ,

7、则x的最大值是.在ABC, C 90 , A和B P E BC AC 3，则AEEB.111ba若a,ba0()3 ()3 a，则.a第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程 x2 6x a 0 一个时，求a 的取值范围.二、如图， 在 ABC 中， AB AC, D 是底边 BC 上一点， E 是线段 AD 上一点， 且BED 2CED A .求证： BD 2CD .M N 0，1，2，3，5，6 这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A：320651B：105263C：612305D：316250A、B、C、D M N 相同.D MN 相同.试求：M N.1993 年全国初中数学联

8、合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有 8 个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.x61x1的余式是(A)1;(B)-1;(C) x 1;(D) x 1;对于命题.内角相等的圆内接五边形是正五边形.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是(A),都对(B)对,错(C)错,对.(D),都错3.设x 是实数,y x1 x1.下列四个结论:. y 没有最小值;x y 取到最小值;x y x y 取到最小值.其中正确的是(A)(B)(C)(D)4.实数x , x , x , x , x4.实数

9、1234满足方程组x x x a ; 1231x x x 23 a ;2x x x 34 a ;3x4x x a ;514x5x x1 a .5其中1a , a , a , a , a其中11234是实常数,且a a2a a a34x , x , x , x , x,则1234,则的大小顺序是1x x21x x3 x5 ;(B)x4 x2x x1x5 ;(C)x3 x x4 x2 x5 ;(D)x x3 x4 x2 .15.x 1 (x 1)2 3x 7 的整数解的个解1(A)等于4(B)小于4(C)大于5(D)等于56.在ABC中,6.在ABC中,A是钝,O是垂心,AO BC, 则cos(O

10、BC OCB)的值是(A)22(B)223 17.ABC7.ABC a, b, c,它的外心到三边的距离分那么 m:n:p 等于m, n, p,1:(A) a1:b1c ;(B)a:b:c(C)cosA:cosB:cosC(D)sinA:sinB:sinC.答()43 3(38.93 9323 932 1 )9(A) 33(32 ;(B)3(32 (C) 3 21(D) 3 2 1答()二3x2 6x 5x 变化时,1 x2x1的最小值是.1993 ,7 个小球,且每四个相邻的盒里共有30 个小球那么最右面的盒里有个小球.(x=.1)(x4) k ,且它们在数轴上对应的四个点等距排列 ,kAB

11、C 中A30.BC 边为直径作圆,AB, AC连接DE, 把三角形ABC 分成三角形ADE 与四边形BDEC,设它们的S1, S2,则S1:S2=.第二试分别交于 D, E,面积分别为一.H ABC 垂心,BC 保持不变的情况下一.H ABC 垂心,BC 保持不变的情况下 S让顶点 A至BC 的距离变小,SABCHBC的值变小,变大,还是不变证明你的结论.二.ABC中,BC=5, AC=12, AB=13, 在边AB,AC 上分别取点D,E,使线段三.已知方程x2bxc0及xcxb0分别各有两个整数根 x xx ,x 0,xx 0 .12121212(1)求证 0, 0, x 0, x 0;1

12、212(2)求证b 1c b 1; (3)求bc所有可能的值.1994年全国初中数学联赛试题第一试(4月3日上午8：309：30)考生注意：本试共两道大题，满分80分.一、选择题（本题满分48分，每小题6分）答()本题共有8个小题都给出了A，B、C，D，四个结论，其中只有一个是正确的，请把6错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分答()是不全相等的任意实数，x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,z A都不小于0B都不大于0C至少有一个小0于D至少有一个大于0答()相切，若BC=2，DA=3，则AB的长A等于4B 等 于 5 C等于6D不能确相切，若BC

13、=2，DA=3，则AB的长A等于4B 等 于 5 C等于6D不能确答()A1B-1C22001D -22001答()若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角A4对B8对C12对D16答()答答()答()7 设锐角三角形ABC的三条高ADBECF相交于H。若BC=a,AC=b,AB=c则AHAD+BHBE+CHCF答()A1001B1001,3989 C1001,1996二、填空题（本题满分32分，每小题8分） 各小题只要求在所给横线上直接填写结果.答()在ABC中，设AD是高，BE是角平分线，若BC=6，CA=7，AB=8，则DE=.把两个半径为5和一个半

14、径为8有用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于 .第二试(4月3日上午10：0011：30)考生注意：本试共三道大题，满分60分. 一、（本题满分20分）如图所示，在ABC中，AB=AC.任意延长CA到P，再延长AB到Q，使AP=BQ.求证：ABC 的外心O与A,P,Q四点共圆。思路一：OCPOAQCPO=AQOOAPQ四点共圆（视角定理.） PAOQBOOPA=AQOOAPQ（连接 OB、OA。OBA=OAB=OACPAO=QBO PA=QBPAOQBOOPA=AQO所以O与A，P,Q,四点同园二、（本题满分20分）周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？

15、若不存在，请给出证明；若存在， 请证明共有几个？三、（本题满分20分）某次数学竞赛共有15个题.下表是对于做对n(n=0,1,2,15)个题的人数的一个统计. n012312131415做对n个题的人数781021 15631如果又知其中做对4个题和4个题以上的学生每人平均做对6个题，做对10个题和10 个题以下的学生每人平均做对4个题.问这个表至少统计了多少人？1994年全国初中数学联赛参考答案第一试答案小题号12345678答案ADBBDCBC二、填空题：第二试提示及答案.一、连结OA，OC，OP，OQ.证明OCPOAQ，于是CPO=AQO，所以O，A，P，Q四点共圆. 三、这个表至少统计了200人.1995年全国初中数学联赛试题第一试一、选择题1已知a355,b444,c533,则有 AabcBcbaCcabDacb3如果方程(x1)(x22xm)03如果方程(x1)(x22xm)0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是如果边长顺次为 25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为 A62B63 C64 D65设ABOCDOABMSSCAB，N2SDAB，则 OABAMNBMNCMN DMN的大小关系不确定设实数a、b满足不等式a(ab)a|ab，Aa0且b0Ba0且b0Ca0且b0且b0二、填空题1