广西南宁市2022届高三第一次适应性考试数学(理)试题(含答案解析)

1、 PAGE 5 5 页广西南宁市 2022 届高三第一次适应性考试数学（理）试题学:姓名班级考号 一、单选题B （1设集合A x2B 则B （A1,1,2C1,2,3D1,1,2,352已知i是虚数单位，若复数z (i则| z （）55A25C2D2223已知sin cos ，则sin （）22 2 252425725C 2325D 24254(1 2x)4 的展开式中含x2项的系数为（）A24B24C16D161111ABCD ABC 1111OAABB的中心，O1ABC 的中心.若 E111111为CD 中点，则异面直线 AE 与OO1111111所成角的余弦值为（）105A2 5BC10

2、555D 5 5设一组样本数据x x 12, x2022的平均数为 100，方差为 10，则0.1x1 1,0.1x21的平均数和方差分别为（）,0.1x2022A10,1B10,0.1C11,1,0.1x20227己知直线l m 2) x m 1)y m 1 0(m R) 与圆C x y 2)2 9 交于B 两点，则| AB |的最小值为（）5377AB2CD25377sinx cos x 14 14 8函数f (x) ABAB e 的图像可能是（）CD过抛物线Cy22pxp0的焦点F 60的直线交抛物线C于ACDAFFBAFFBA3C32D1f (x) 2sin(x0,| 的图象如图所示，

3、则下列说法正确的22是（）f (x) 个单位长度，得到新函数为奇函数12 8f (x) 的图象关于点 80 对称f (xf (x) 2sin2x 33f (x) 在区间 上的值域为12632设FF 是双曲线C: x2 y2 1(a 0,b 0) 的左 右焦点.若双曲线 C 上存在点 P 满足12a2b2PF : PF2:1且F 90，则双曲线C的渐近线方程是（）1212Ax 2 y 0B2x y 0C5x 4y 0D4x5y 0f (x) 是定义在(0,，都有x f xf x fff 123.1211x x1220.记a ,b , c3.23.13.23.13.2，则（）AabcBbacCc

4、a bDcba二、填空题13已知向量a (2,2),b (1,m)，若(2a b)b ，则实数m .14已知函数 f (x) x2 x a在x1处取得极值，则f (x) 的极小.ex152021 9 17 3 名英航天员的神舟十二号载人飞船返回舱成功着陆.假设返回舱 D CB D 的仰角分别为B 间距离为10 千米（其中向量CA与CB同向|CD |约为3 千米（结果保留整数，参考数据： 1.732）.33ABCDABD , BCD和ABD均是边长为23的正三角形，则该三棱锥的外接球体积.三、解答题己知数列nn 项和为n，满足Sn nn1, a2 3.求n的通项公式；设b 1 的前n项和为.若T

5、 2 对于任意n N*恒成立，求 n 的取值范na an围.nn1nn5某市公安交管部门曾于 2017 涉及电动自行车的交通事故（一般程序）共3558 326 人死亡（因颅脑损伤导致死亡占81.2%，死亡人数中有263人未佩戴头盔（占80.7%.驾乘电动自行车必需该市经过长期开展安全教 表一是该市某主干路口连续5 年监控设备抓拍到的驾乘人员未佩戴头盔的统计数据：表一年度20172018201920202021年度序号 x12345未佩戴头盔人数y125012001010920870yx，2022 年驾乘人员未佩戴头盔的人数；交管部门从2017 202150起作为样本制作出表二：未佩戴头盔佩戴头

6、盔合计伤亡61016无伤亡43034合计104050请问能否有95%的把握认为驾乘电动自行车未佩戴头盔的行为与事故伤亡有关？附：参考公式及数据：n x y nxyx x y y b i ii1ii1, y x,x y 14710 ；n x22x xi ii1ii1ii1K2n(ad bc)2(ad)(ad)，其中n a b c d .P K 2 k 0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.879如图所示，已知四棱锥PABCDABCD是矩形，平面PAD 底面ABCDAB 1,PA AD 2, E PD 中点.AEPC；PBABCD ，求二面角

7、A CE B 的正弦值.626已知椭圆C: x2 y2 1FFxCB43Bx轴的两条直线ll12，设l , l1分别与直线x 4 交于点M N R 是MN 的中点(1)AR/FN ；S(2若AR 与x轴交于点D（异于点R，求S FDN的取值范围.f xlnxax a 0.x当a 1f x的单调性，并证明：21 1 1 1 3 111 1e4nN*,n2 ；22 32 42 n2 y f xyln2的图象恰有三个不同的交点，求实数a的取值范x围.22x 22 t2在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t为参数以O为极2y2t2点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为

8、4sin (1)设点M (xyC 上的一个动点，求2x y 的取值范围；x 1 x(2)经过变换公式2把曲线C变换到曲线C ，设点P是曲线C 上的一个动点，y y21 1求点 P 到直线l . 23fx2xm|,(mR) . (1)当m0f(xx1|(2)若对任意的 x 1,2 ，不等式 f (x) x 1恒成立，求实数 m 的取值范围. PAGE 18 18 页参考答案：1A【解析】【分析】B .解不等式求得集合A ，由此求得 B .【详解】x2 9,x2 9x3x30 A3,3， 所以AB 故选：A 2C【解析】【分析】利用复数运算求得z ，由此求得z.【详解】2z (i 1)3 i3 3

9、i2 3i 1 i 3 3i 1 2 2i ，222 222 22故选：C 3C2.已知式由诱导公式变形后平方，然后由平方关系和正弦的二倍角公式化简可得【详解】2因为sin cos ，2 2 252所以cos sin 25，所以2(cossin)2 cos2 2sincos sin2 1sin ，25sin 2 23 25故选：C4B【解析】【分析】结合二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】(12x)的展开式中含x2的项为C22x4 24x2 ，系数为24 .故选：B 5B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线AE 与OO1所成角的余弦值.【详解】设正方体的边长为2

10、，建立如图所示空间直角坐标系，A2,0,0 E ,O，AE 2,1,0 ,OO111,0,1，设异面直线 AE 与OO1所成角为 ，AEOOAE OO1AEOOAE OO12521105故选：B6D【解析】【分析】根据平均数和方差的公式计算出正确答案.【详解】依题意 x 100, S 2 10 ，所以0.1 x 1 0.1100 1 11 ，0.2 S2 0.01100.1.故选：D 7D【解析】【分析】先求得直线l 所过定点坐标，然后利用勾股定理求得的最小.【详解】圆C 的圆心为C 1,2，半径为3 .直线l 的方程(m 2) x (m 1)y m 1 0 可化为x y 1m 2x y 1

11、0 ，x y 1 0所以2x y 1 0，解得 x 2, y 3 ，即直线l 过定点 D2,3.(2 1)2 (3 2)2 2 9 ，所以 D 在圆C 内.当AB 的中点为D，也即CDAB时，最小，32 32 CD 222.9 27故选：D 89 27【解析】【分析】f (x) f (xf (x) D 错误，然后取0 x ，4通过sin x cos x 判断出此时 f (x) 0 ，即可得出结果.4444【详解】sin x cos x cos x sin x 14 14 14 14因为f (x) e e e e f (x) ，x R ，所以函数 f (x) 为奇函数，C、D 错误，当0 x ，

12、4sin x cos x sin x ，x，sin x x，sin x cos x 4424 4 14 14 14 14 ee e ， f (x) e e 0 ，B 错误，【点睛】方法点睛：本题考查函数图像的判断，在判断函数的图像的时候，可以通过函数的单调性、奇偶性、周期性、函数值的大小、是否过定点等函数性质来判断，考查数形结合思想，是中档题.9A【解析】【分析】首先，写出抛物线的焦点坐标，然后，求解直线的方程，利用焦半径公式求解比值【详解】y2 2 pxp 0) 的焦点坐标为p 0) ，2直线l 倾斜角为60，直线l 的方程为：y 03( x)2设直线与抛物线的交点为A(x y 、B(x y

13、 ，1122| AF | x p ， | BF | x p ，1222y03( x联立方程组y22pxp )2y 并整理，得12x2 20px3p2 0，解得 x 3 p ， p ，1226| AF | x p 2 p ， | BF p 2 p ，12223AF |:| BF | 3:1 ，|AF |3,| FB |故选： A10C【解析】【分析】根据给定条件求出函数 f (x) 的解析式，再逐一分析各个选项判断作答.【详解】3T函数 f (x) 的周期T ，依题意， 5 3，解得T ，则 2 2 ，46124T而当 x 时， f (x)12 2 ，则2 max12 2k kZ，又| 2，即有

14、k 0, ，23则 f (x) 2sin(2x)，3对于A，f (x) 2sin(2x)2cos 2x 是偶函数，将f (x)的图象向左平移 个单位长12212度所得新函数不是奇函数，A 错；对于B，因f 8) 2sin( 12) 0f (x) 的图象关于点 80 错；对于C， f (x) 的解折式为 f (x) 2 sin 2x ，C 正确；对于D，当 x 33 0 2x 0 sin(2x 1 ，则0 f (x) 2 ，D .6333故选：C 11B【解析】【分析】根据双曲线的定义得出a, c【详解】b的关系，求得 后可得渐近线方程a由 PF1: PF2 2:1 得 PF1 2 PF2，又

15、PF1PF2 2a ，所以 PF2 2a ，PF1 4a ，b又F PF 90 ，则(4a)2 2a)2 2c)2 5a2 c2 a2 b2 b 2a ， 2 ，12a渐近线方程为 y 2x ，即2x y 0 故选：B12A【解析】【分析】y 大小即可推理判断作答.f (x) 在(0, 上单调递减，再构造函数比较与的x【详解】f xf x 对任意两个不相等的正数x , ， x f x x f xx 1x 2，12211020 x x12x x12y f (x) 在(0, ) 上单调递减，xg(x) ln x x e g(x) 1 ln x 0 g(x在(e, 上单调递减，xx2g(3.1) g

16、(3.2) ，即有ln 3.1 ln 3.2 ，从而有ln ln 3.23.1 ，3.13.23.23.1 13.1 0 f (3.13.2 ) f (3.23.1 ) f (log3.23.1)，所以abc故选：A【点睛】3.23.23.13.23.1思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，131【解析】【分析】由向量平行的坐标表示计算【详解】由题意2a b (3, 4 m) ，由(2abb 得3m(4m0m 1， 1141【解析】【分析】求出导函数，由极值点确定参数a 的值，再根据导数与单调性的关系得极值【详解】f (x) x2 x a

17、 1 ，exf (xx 1 f (1) a 1 0 a ，ef ( x)x2 x 1 ， f (x) x2 x x(x 1) ，exexexx 0 x 1f (x) 0 0 x 1 f (x) 0 ，f (x) 在(,0) 和(1,) 上递减，在(0,1)上递增，0 0 1x 0 f (x) f (0) 故答案为：1 1514【解析】【分析】 1 ，e0利用正弦定理求得 AC ，由此求得CD .【详解】在三角形 ABC 中， A 45, ABC 180 75 105, ACB 30 ，由正弦定理得，ABACsin30sin105ABACAC 20sin105 20sin60 45 20sin6

18、0cos45cos60sin455 6 2所 以 CD AC 2故答案为：14 5 622232223 5 14 千米.16#20520533205【解析】【分析】求得三棱锥 A BCD 外接球的半径，由此求得外接球的体积.【详解】3依题意，平面 ABD 平面 BCD, BCD 和ABD均是边长为23的正三角形，设GBDAGBD,CGBDABDBCD且交线为BD， AGBCDCGABD.EF ABD和等边三角形BCD的中心，则 AE CF 2GE 2GF 2 CG 2 3 2 ,33设O A BCD 则OE ABDOF BCD.OF2 OF2 CF2所以外接球的体积为 4 3，12 22520

19、5512 2252053205故选：205317(1) an 2n 1(2) n 2 且n N*【解析】【分析】利用S ,n 求得的通项公式. 1nS S, n2nnn1利用裂项求和法求得T ，进而求得题目所求n .(1)依题意Sn nn1, a2n 3，当n2a a12 2a21，a13 23 1, a1 1.S n2 n an1，当n2时， n1n n11，并化简得a a 2，nn1所以数列an是首项为1，公差为2 的等差数列，所以a 2n1.n(2)b 11 111，na a12n12 2n12n 1n所以Tn1 1 1 1 1 1 12n 121 12n 121.2n33522n12n

20、 152T 2 , 1152n12n2n2 n 2 且 N*.n5n18(1) 104 x 1362 738(2)有95%的把握认为驾乘电动自行车未佩戴头盔的行为与事故伤亡有关【解析】【分析】.计算K (1)x 1 2 3 4 5 3, y 1250 1200 1010 920 870 1050 ，55b 14710 5310501491625532104， yx 105010431362.所以 y 104 x 1362 ，当n 6 时，预测值为104 6 1362 738人. (2)506304102K2 4.504 3.841，10 4016347所以有95%的把握认为驾乘电动自行车未佩戴

21、头盔的行为与事故伤亡有关. 19(1)证明见解析7(2)7【解析】【分析】AEPCDAEPC.作PO AD，垂足为O，利用PBABCD所成角的正切值证得OAD中点， 建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角ACEB . (1)PAD ABCDAD ABCDCD AD ，所以CD PAD AE PAD ，所以CD AE .PD D因为 PA AD ， E 为 PD 中点，所以 AE PD D由于CDAE PCD，PCPCDAEPC(2)如图，作PO AD ，垂足为O ，连接OB .因为平面PAD ABCDAD PO ABCD，所以 PB 与平面 ABCD所成角为PBO，所以tanPBOPO ，4

22、AO24AO21AO26AO 1，即O AD .分别以OD,OP x, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz ， B C D ，313P 0,0,3 ，E22 ，333所以AE ,0, AC 2,1,0,BE ,3 , BC 2,0,0 ，2222 设m xyz ACE 的法向量，则m AE 0 ，m AC 0 3xz 0则 2232x y 3，故可设m 1,2,.33同理可求得n 0,3,2是平面BCE的法向.设二面角 A CE B 的平面角为 ，由图可知 为锐角，|mn|43|mn|43|m|n|2274271 cos27故sin 1 cos2777所以二面角ACEB的正弦值为.7

23、71,3320(1)(2)1,11,33【解析】【分析】AB xty1，并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，通过证明3y y 2ty y来证得 AR/FN .121 2SS(1)ADM FDNSy1y2，结合（1）y1y2ADM FDN的取值范围.AB x ty 1t 0Ax y Bx y ，1122y y ，则M4,y, N 4,y, R4,12 ,1,0122y yy 12k12y y12y 12,k y2 ，ARx142(x14)2(ty13)FN3y y要证AR/FN，只需证2(12 即可，yty 3)3y1只需证3(y1y ) 2ty y21 6y2，只需证3(y1y ) 2ty

24、 y.21 2 x ty 1联立x2y2 4 3 1 x 并化简得2 4) y2 6ty 9 0 .6t9y y12, y y3t2 41 3t2 4 ，所以3(y1y ) 2ty y21 成立，所以 AR/FN .(2)延长MD FN 于点Q ，由（1）得ADM FQD ，且MAD DFQ 因为R MN 的中点，所以D 为MQ 的中点.所以MD DQ ，则 ADM FQD AM FD ，从而 SSADM .y1y1y2y2 2 yyy24t2由（1）得 11 22 ，y y123t2 4yy4411441 yy21233 4，t23,0 3 4,33 03 4，t2t2t2 10 4 2 y

25、y1033 4， 即 1 2 ,2.yt22y101y31令m 1 ，则m 2，y3m210 10 m1m m2 133m 1m 1m, m2 12m 3 m 3 ，m m 因为 y1 y 2y (3,1) (1, 1) ，1y312故 S ADM SFDNy1y1,3故 S ADM SFDNy1y1,3.3322（）f x在0, 上是单调递减函数，证明见解析2）0,1.44【解析】【分析】将a 1 f (x) lnx x 1利用导数与函数单调性的关系即可求得函数的2单调区间，证明见解答过程；22x将两函数作差后构造新函数g(x) lnxax 4a ，在求导对a分情况讨论，结合单调x性，极值和

26、函数零点存在性定理即可得到a 的范围【详解】）当a 1时，fxlnx x 1 .222x所以 fx1 11x2 0 ，x22x22x2所以 f x在0, 上是单调递减函数.又 f 1 0，xf x0，即lnx x 1 .x 11 N*n2n222xln11 111 112n2 1 1 1n2 2n2 2 1 1 2n2n2 12 n2n2 1111n2 1，n2 12 n1n 1从而ln1 1 ln1 1 ln1 1 ln1 1 22 32 42 n2 2 1 11 1 1 1 1 121 1 1 1 1 132435n1n12nn 12 1 1 1 3 ，22242241 1 1 1 3 所

27、以111 1e4nN*,n2 .22 32 42 n2 （2）令 g x ln x ax a 3a ln 2 ln x ax 4a x 0，xx2x所以 gx 1 a 4a xx2ax2 x 4a x 0.x2设k x ax2 x 4a ，则 1 16a2.当 0, ，即a 1 gx 0 g x在单调递减，a 04所以 g x不可能有三个不同的零点； 0,11116a21116a2当，即01116a21116a2，x ，a 0412a22a所以 x2 x 0 .1又因为k x ax2 x 4a 开口向下，所以当0 x x1kx0gx0gx在x1上单调递减；当 x x xkx0gx0gx在x x

28、上单调递增；1212当 x xkx0gx0gx在(x, ) 上单调递减.2g2ln12a 4a 0 x 4 2 2 x ，所以 g x121 212 g 2 0 g x .2 1 114a1因为 g lna1 ln 2 2ln a 4a3， a2 2a2a2aa2所以令m a ln 2 2ln a 1 4a3 ，a2 1 12a 12a2 1 12a 12a4 2a 1 1 2a2aa2a2a20.所以m a在 0, 1 单调递增，44所以mm1ln22ln 144133ln 241 0 ， 4 4 416即 g 1 0 . a2 121a1又x 2a212aa2a2 0，所以x ，2a2gx

29、在区间x , 1 上有唯一的一个零点x .2 a2 0 x 4 xx14 44agxgln0 ln ag 0因为0 x 20 x2x 4，且0，所以0 4 g 0.000 x0 x01116a1116a211161116a2又x2a1 ，02a所以0 4 x ，x10g x在区间x14 ，x0故当0 a 1 时， g x存在三个不同的零点44 , 2, x .x00故实数a 的取值范围是 0, 1 .44【点睛】本题考查函数的单调性问题、利用导数研究函数零点的问题.解决零点个数问题的关键是能够选取合适的区间，利用零点存在性定理证得在区间内存在零点，从而使得零点个数满足题目要求；难点在于零点所在区间的选择上，属于难题.22(1)2 2 5, 2 2 5 ；(2) 4 2