2021-2022学年湖南省衡阳市 衡东县石湾中学高三数学理下学期期末试卷含解析

1、2021-2022学年湖南省衡阳市 衡东县石湾中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知平面向量，且，则的值为（ ） A.3 B.-1 C.1 D.3参考答案：C2. 设向量=（2，1），=（0，2）则与+2垂直的向量可以是（）A（3，2）B（3，2）C（4，6）D（4，6）参考答案：A【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】求出+2=（2，3），由此利用向量垂直的性质能求出与+2垂直的向量的可能结果【解答】解：向量=（2，1），=（0，2）+2=（2，3），（2，3）?（3，2）

2、=66=0，与+2垂直的向量可以是（3，2）故选：A3. 设(e是自然对数的底数），则( )A. B. C. D. 参考答案：D4. 设直线x3y+m=0（m0）与双曲线=1（a0，b0）的两条渐近线分别交于点A，B，若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是( )ABCD+1参考答案：A【考点】双曲线的简单性质 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先求出A，B的坐标，可得AB中点坐标为（，），利用点P（m，0）满足|PA|=|PB|，可得=3，从而可求双曲线的离心率【解答】解：由双曲线的方程可知，渐近线为y=x，分别与x3y+m=0（m0）联立，解得A（，），

3、B（，），AB中点坐标为（，），点P（m，0）满足|PA|=|PB|，=3，a=2b，c=b，e=故选：A【点评】本题考查双曲线的离心率，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题5. 参考答案：C6. 将函数的图象向右平移个单位，再向下平移2个单位，则平移后得到图象的解析式是（ ）A B C D参考答案：A，故选择A。7. 若圆关于直线对称，则的最小值为（ ）A1 B5 C. D4参考答案：D由题设直线过圆心即故选8. 二项式的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）ABC5D15参考答案：B【考点】二项式定理的应用【专题】综合题；转化思想；演绎法；二项式

4、定理【分析】先利用展开式中只有第四项的二项式系数最大求出n=6，再求出其通项公式，令x的指数为0，求出r，再代入通项公式即可求出常数项的值【解答】解：的展开式中只有第四项的二项式系数最大，所以n=6其通项公式Tr+1=C6r?（）r?，令3=0，求得r=2，可得展开式中的常数项为C62?（）2=，故选：B【点评】本题主要考查二项式定理中的常用结论：如果n为奇数，那么是正中间两项的二项式系数最大；如果n为偶数，那么是正中间一项的二项式系数最大9. 过圆的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足则直线AB有（ ）（A） 0条 （B） 1条 （C） 2

5、条 （D） 3条参考答案：B解析：由已知，得：，第II，IV部分的面积是定值，所以，为定值，即为定值，当直线AB绕着圆心C移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB只有一条，故选B。10. 某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩，并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在250，400)内的学生共有 人参考答案：750 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 执行如图所示的程序框图，输入N的值为2012，则输出S的值是 。 参考答案：2011略12. 函数的图象为C,如下结论

6、中正确的是 ， (写出所有正确结论的编号).图象C关于直线对称; 图象C关于点对称;函数)内是增函数;由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.参考答案：略13. 容量为60的样本的频率分布直方图共有n（n1）个小矩形，若其中一个小矩形的面积等于其余n1个小矩形面积和的，则这个小矩形对应的频数是_ 参考答案：略14. 已知圆C的圆心是直线与y轴的交点，且圆C与直线相切，则圆的标准方程为 参考答案：X2+(Y-1)2=8略15. 若实数满足，则的范围是参考答案：【知识点】三角函数的图象与性质C3实数x，y满足，（2x+）2+（y+）2= ,即2（2x+）2+2（y+）2=1，令（2x+）=cos

7、，（y+）=sin，x=cos-，y=sin-2x+y=cos+sin-1=sin（+）-1-2，0，故x+y的范围是-2，0，【思路点拨】将圆，化为参数方程，进而根据正弦型函数的图象和性质，可得x+y的范围16. 设m是实数，若xR时，不等式|xm|x1|1恒成立，则m的取值范围是参考答案：0，2【考点】绝对值不等式的解法【专题】不等式的解法及应用【分析】由绝对值三角不等式，可得|xm|x1|m1|，再根据|m1|1求得m的取值范围【解答】解：|xm|x1|（xm）（x1）|=|m1|，故由不等式|xm|x1|1恒成立，可得|m1|1，1m11，求得0m2，故答案为：0，2【点评】本题主要考

8、查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题17. 已知幂函数的图像过定点且点在直线则的最小值为.参考答案：3三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. .定义函数，为型函数，共中（1）若是型函数，求函数的值域；（2）若是型函数，求函极值点个数；（3）若是型函数，在上有三点A、B、C横坐标分別为、，其中，试判断直线AB的斜率与直线BC的斜率的大小并说明理由参考答案：（1）；（2）1个；（3）见解析.【分析】（1）先对函数求导求出其单调性，结合端点值求出值域；（2）先求导令导数等于0，求极值点个数只需判断导数

9、零点的个数，化简整理后得，将导数零点转化为两个函数的交点问题，利用图像观察求出交点个数；（3）先求导再进行二阶求导，利用二阶导数研究一阶导数的单调性与范围，再得出原函数的单调性，因为二阶导数小于0，所以函数是三凸的单调递减函数，结合函数图像很容易得出两直线斜率的关系.【详解】解：（1）因为，所以当时，单调递增当时，单调递减又因为，所以函数的值域为（2）因为，所以，当时，结合函数图像易知与在上有且只有一个交点当，时，当时，当时，且当时，当 时，函数单调递增当 时，函数单调递减所以函数只有一个极大值点，极值点个数为1个（3）因为，所以所以所以在上单调递减，且，所以构造函数则记,则当时，单调递增当时

10、，单调递减又因为，所以，所以所以在和上单调递减因为所以所以所以直线AB的斜率大于直线BC的斜率【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值、极值，遇到一阶导数等于0不好解时，常继续进行二阶求导，在解题的过程中多结合函数简图可以更加形象直观.19. （本小题满分12分）已知椭圆（ab0）的离心率为，且过点（） （）求椭圆E的方程；（）设直线l:y=kx+t 与圆（1R2）相切于点A，且l与椭圆E只有一个公共点B.求证：； 当R为何值时，取得最大值？并求出最大值参考答案：() ；（）证明见解析；时，取得最大值为1（） 因为直线与圆C: 相切于A, 得, 即 . . . . . . . .5分

11、又因为与椭圆E只有一个公共点B， 由 得 ,且此方程有唯一解. 则 即 由,得 . . . . .8分 设，由 得 由韦达定理, 点在椭圆上, , . . . . . .10分在直角三角形OAB中, . . .12分考点：椭圆的标准方程，直线与圆相切，直线与椭圆相切.20. 设椭圆、抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上至少取两个点，将其坐标记录于下表中：x324y0 4- （1）求的标准方程； （2）设直线与椭圆交于不同两点且，请问是否存在这样的直线过抛物线的焦点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由参考答案：解：（1）设抛物线，则有，据此验证5个点知只有（3，）、

12、（4，-4）在统一抛物线上，易求 2分 设，把点（-2，0）（，）代入得 解得 方程为 5分 （2）假设存在这样的直线过抛物线焦点（1，0） 设其方程为设， 由。得 7分 由消去，得 9分 将代入（*）式，得 解得 11分 假设成立，即存在直线过抛物线焦点F 的方程为： 12分21. 已知函数，aR（I）若a=-1，求函数f（x）的单调区间；（）若f（x）0在x1，+）上恒成立，求正数a的取值范围；（）证明：参考答案：（I）单调递增区间为，单调递减区间为；（II）；（III）详见解析.【分析】（）求出导函数，解不等式和可得单调递增、递减区间；（）采用参数讨论的方法求出函数在区间上的最小值，通过

13、逐步排除可得正数的取值范围；（）根据（）中的结论，当时有，然后令，代入整理得，相加后可得所证不等式【详解】（）当时，所以，则当时，则单调递增；当时，则单调递减；所以单调递增区间为，单调递减区间为（）因为，则，.当 ，时，有，故当，则，在上是减函数，所以当时，与在恒成立矛盾。 当时，此时在上成立， 所以在上是增函数，所以，即在上恒成立综上所述，所求的取值范围为（）由（）知当时，在上恒成立，即，当时，则有，所以当时，令，则有，即，将上述个不等式依次相加得：，整理得.【点睛】（1）解决不等式恒成立问题时，常用的方法是分离参数，即通过分离参数转化为求函数的最值的问题处理；若参数不易分离时，则可采用参数讨论的方法，通过逐步排除参数的取值从而达到求解的目的（2）对于函