经典单方程计量经济学模型放宽基本假定的模型

1、第四章 经典典单方程计量量经济学模型型：放宽基本本假定的模型型一、内容提要本章主要介绍计计量经济模型型的二级检检检验问题，即即计量经济检检验。主要讨讨论对回归模模型的若干基基本经典假定定是否成立进进行检验、当当检验发现不不成立时继续续采用OLSS估计模型所所带来的不良良后果以及如如何修正等问问题。具体包包括异方差性性问题、序列列相关性问题题、多重共线线性问题以及及随机解释变变量这四大类类问题。异方差是模型随随机扰动项的的方差不同时时产生的一类类现象。在异异方差存在的的情况下，OOLS估计尽尽管是无偏、一一致的，但通通常的假设检检验却不再可可靠，这时仍仍采用通常的的t检验和FF检验，则有有可能导

2、致出出现错误的结结论。同样地地，由于随机机项异方差的的存在而导致致的参数估计计值的标准差差的偏误，也也会使采用模模型的预测变变得无效。对对模型的异方方差性有若干干种检测方法法，如图示法法、Parkk与Gleisser检验法法、Golddfeld-Quanddt检验法以以及Whitte检验法等等。而当检测测出模型确实实存在异方差差性时，通过过采用加权最最小二乘法进进行修正的估估计。序列相关性也是是模型随机扰扰动项出现序序列相关时产产生的一类现现象。与异方方差的情形相相类似，在序序列相关存在在的情况下，OOLS估计量量仍具无偏性性与一致性，但但通常的假设设检验不再可可靠，预测也也变得无效。序序列相

3、关性的的检测方法也也有若干种，如如图示法、回回归检验法、DDurbinn-Watsson检验法法以及Laggrangee 乘子检验验法等。存在在序列相关性性时，修正的的估计方法有有广义最小二二乘法（GLLS）以及广广义差分法。多重共线性是多多元回归模型型可能存在的的一类现象，分分为完全共线线与近似共线线两类。模型型的多个解释释变量间出现现完全共线性性时，模型的的参数无法估估计。更多的的情况则是近近似共线性，这这时，由于并并不违背所有有的基本假定定，模型参数数的估计仍是是无偏、一致致且有效的，但但估计的参数数的标准差往往往较大，从从而使得t-统计值减小小，参数的显显著性下降，导导致某些本应应存在

4、于模型型中的变量被被排除，甚至至出现参数正正负号方面的的一些混乱。显显然，近似多多重共线性使使得模型偏回回归系数的特特征不再明显显，从而很难难对单个系数数的经济含义义进行解释。多多重共线性的的检验包括检检验多重共线线性是否存在在以及估计多多重共线性的的范围两层递递进的检验。而而解决多重共共线性的办法法通常有逐步步回归法、差差分法以及使使用额外信息息、增大样本本容量等方法法。当模型中的解释释变量是随机机解释变量时时，需要区分分三种类型：随机解释变变量与随机扰扰动项独立，随随机解释变量量与随机扰动动项同期无关关、但异期相相关，随机解解释变量与随随机扰动项同同期相关。第第一种类型不不会对OLSS估计

5、带来任任何问题。第第二种类型则则往往导致模模型估计的有有偏性，但随随着样本容量量的增大，偏偏误会逐渐减减小，因而具具有一致性。所所以，扩大样样本容量是克克服偏误的有有效途径。第第三种类型的的OLS估计计则既是有偏偏、也是非一一致的，需要要采用工具变变量法来加以以克服。二、典型例题分分析1、下列哪种情情况是异方差差性造成的结结果？ （1）OLLS估计量是是有偏的 （2）通常常的t检验不不再服从t分分布。 （3）OLLS估计量不不再具有最佳佳线性无偏性性。解答： 第（2）与与（3）种情情况可能由于于异方差性造造成。异方差差性并不会引引起OLS估估计量出现偏偏误。2、已知模型式中，Y、X11、X2和

6、Z的数据据已知。假设设给定权数，加加权最小二乘乘法就是求下下式中的各，以使的该该式最小（1）求RSSS对1、2和2的偏微分并并写出正规方方程。（2）用Z去除除原模型，写写出所得新模模型的正规方方程组。（3）把带入（11）中的正规规方程，并证证明它们和在在（2）中推推导的结果一一样。解答： （1）由对对各求偏导得如如下正规方程程组： （2）用Z去除除原模型，得得如下新模型型对应的正规方程程组如下所示示：（3）如果用代代替（1）中中的，则容易易看到与（22）中的正规规方程组是一一样的。3、已知模型 式中，为某公司司在第i个地地区的销售额额；为该地区区的总收入；为该公司在在该地区投入入的广告费用用（

7、i=0,1,2,50）。（1）由于不同同地区人口规规模可能影响响着该公司在在该地区的销销售，因此有有理由怀疑随随机误差项uui是异方差的的。假设依赖赖于总体的容容量，请逐步步描述你如何何对此进行检检验。需说明明：1）零假假设和备择假假设；2）要要进行的回归归；3）要计计算的检验统统计值及它的的分布（包括括自由度）；4）接受或或拒绝零假设设的标准。 （2）假假设。逐步描描述如何求得得BLUE并并给出理论依依据。解答：（1）如果依赖赖于总体的容容量，则随机机扰动项的方方差依赖于。因此此，要进行的的回归的一种种形式为。于于是，要检验验的零假设HH0：，备择择假设H1：。检验步骤骤如下：第一步：使用O

8、OLS方法估估计模型，并并保存残差平平方项；第二步：做对常常数项C和的的回归第三步：考察估估计的参数的的t统计量，它它在零假设下下服从自由度度为2的t分分布。第四步：给定显显著性水平面面0.05（或或其他），查查相应的自由由度为2的tt分布的临界界值，如果估估计的参数的的t统计值大大于该临界值值，则拒绝同同方差的零假假设。（2）假设时，模模型除以有：由于，所以在该该变换模型中中可以使用OOLS方法，得得出BLUEE估计值。方方法是对关于于、做回归，不不包括常数项项。 4、以以某地区222年的年度数数据估计了如如下工业就业业回归方程（-0.56）(2.3) (-1.7) (5.8) 式中，Y为总

9、就就业量；X11为总收入；X2为平均均月工资率；X3为地方方政府的总支支出。（1）试证明：一阶自相关关的DW检验验是无定论的的。（2）逐步描述述如何使用LLM检验解答：（1）由于样本本容量n=222，解释变变量个数为kk=3，在55%在显著性性水平下，相相应的上下临临界值为、。由于DWW=1.1447位于这两两个值之间，所所以DW检验验是无定论的的。（2）进行LMM检验：第一步，做Y关关于常数项、llnX1、llnX2和llnX3的回回归并保存残残差； 第二步，做关于于常数项、llnX1、llnX2和llnX3和的的回归并计算算；第三步，计算检检验统计值(n-1)=210.9996=200.9

10、16；第四步，由于在在不存在一阶阶序列相关的的零假设下(n-1)呈呈自由度为11的分布。在在5%的显著著性水平下，该该分布的相应应临界值为33.841。由由于20.99163.841，因因此拒绝零假假设，意味着着原模型随机机扰动项存在在一阶序列相相关。 5、某地地区供水部门门利用最近115年的用水水年度数据得得出如下估计计模型：（-1.7） (0.99) (1.4) (-0.66) (-1.2) (-0.88)F=38.9式中，wateer用水总量量（百万立方方米）,hoouse住户总数（千千户）,poop总人口（千千人）,pccy人均收入入（元）,pprice价格（元元/100立立方米）,r

11、rain降雨量（毫毫米）。（1）根据经济济理论和直觉觉,请计回归归系数的符号号是什么(不不包括常量)，为什么？观察符号与与你的直觉相相符吗？（2）在10%的显著性水水平下，请进进行变量的tt-检验与方方程的F-检检验。T检验与F检检验结果有相相矛盾的现象象吗？（3）你认为估估计值是（11）有偏的；（2）无效效的或（3）不不一致的吗？详细阐述理理由。解答：（1）在其他变变量不变的情情况下，一城城市的人口越越多或房屋数数量越多，则则对用水的需需求越高。所所以可期望hhouse和和pop的符符号为正；收收入较高的个个人可能用水水较多，因此此pcy的预预期符号为正正，但它可能能是不显著的的。如果水价价

12、上涨，则用用户会节约用用水，所以可可预期priice的系数数为负。显然然如果降雨量量较大，则草草地和其他花花园或耕地的的用水需求就就会下降，所所以可以期望望rain的的系数符号为为负。从估计计的模型看，除除了pcy之之外，所有符符号都与预期期相符。（2）t-统计计量检验单个个变量的显著著性，F-统统计值检验变变量是否是联联合显著的。这里t-检验的的自由度为115-5-11=9，在110%的显著著性水平下的的临界值为11.833。可可见，所有参参数估计值的的t值的绝对对值都小于该该值，所以即即使在10%的水平下这这些变量也不不是显著的。这里，F-统计计值的分子自自由度为5，分分母自由度为为9。1

13、0%显著性水平平下F分布的的临界值为22.61。可可见计算的FF值大于该临临界值，表明明回归系数是是联合显著的的。T检验与F检验验结果的矛盾盾可能是由于于多重共线性性造成的。hhouse、ppop、pccy都是高度度相关的，这这将使它们的的t-值降低低且表现为不不显著。prrice和rrain不显显著另有原因因。根据经验验，如果一个个变量的值在在样本期间没没有很大的变变化，则它对对被解释变量量的影响就不不能够很好地地被度量。可可以预期水价价与年降雨量量在各年中一一般没有太大大的变化，所所以它们的影影响很难度量量。（3）多重共线线性往往表现现的是解释变变量间的样本本观察现象，在在不存在完全全共线

14、性的情情况下，近似似共线并不意意味着基本假假定的任何改改变，所以OOLS估计量量的无偏性、一一致性和有效效性仍然成立立，即仍是BBLUE估计计量。但共线线性往往导致致参数估计值值的方差大于于不存在多重重共线性的情情况。6、一个对某地地区大学生就就业增长影响响的简单模型型可描述如下下式中，为新就业业的大学生人人数，MINN1为该地区区最低限度工工资，POPP为新毕业的的大学生人数数，GDP11为该地区国国内生产总值值，GDP为为该国国内生生产总值；gg表示年增长长率。（1）如果该地地区政府以多多多少少不易易观测的却对对新毕业大学学生就业有影影响的因素作作为基础来选选择最低限度度工资，则OOLS估

15、计将将会存在什么么问题？（2）令MINN为该国的最最低限度工资资，它与随机机扰动项相关关吗？（3）按照法律律，各地区最最低限度工资资不得低于国国家最低工资资，哪么gMMIN能成为为gMIN11的工具变量量吗？解答：（1）由于地方方政府往往是是根据过去的的经验、当前前的经济状况况以及期望的的经济发展前前景来定制地地区最低限度度工资水平的的，而这些因因素没有反映映在上述模型型中，而是被被归结到了模模型的随机扰扰动项中，因因此 gMIIN1 与不不仅异期相关关，而且往往往是同期相关关的，这将引引起OLS估估计量的偏误误，甚至当样样本容量增大大时也不具有有一致性。（2）全国最低低限度的制定定主要根据全

16、全国国整体的的情况而定，因因此gMINN基本与上述述模型的随机机扰动项无关关。 （3）由由于地方政府府在制定本地地区最低工资资水平时往往往考虑全国的的最低工资水水平的要求，因因此gMINN1与gMIIN具有较强强的相关性。结结合（2）知知gMIN可可以作为gMMIN1的工工具变量使用用。三、习题（一）基本知识识类题型4-1解释下下列概念：（1）异方差性性（2）序列相关关性（3）多重共线线性（4）偏回归系系数（5）完全多重重共线性（6）不完全多多重共线性（7）随机解释释变量（8）差分法（9）广义最小小二乘法（10）D.WW.检验4-2判断下下列各题对错错，并简单说说明理由：在存在异方差情情况下，

17、普通通最小二乘法法（OLS）估估计量是有偏偏的和无效的的；如果存在异方差差，通常使用用的t检验和和F检验是无无效的；在存在异方差情情况下，常用用的OLS法法总是高估了了估计量的标标准差；如果从OLS回回归中估计的的残差呈现系系统模式，则则意味着数据据中存在着异异方差；当存在序列相关关时，OLSS估计量是有有偏的并且也也是无效的；消除序列相关的的一阶差分变变换假定自相相关系数必须须等于1；两个模型，一个个是一阶差分分形式，一个个是水平形式式，这两个模模型的R2值是不可以以直接比较的的。回归模型中误差差项存在异方方差时，OLLS估计不再再是有效的；回归模型中误差差项存在序列列相关时，OOLS估计不

18、不再是无偏的的；4-3简述异异方差对下列列各项有何影影响：（1）OOLS估计量量及其方差；（2）置信信区间；（33）显著性tt检验和F检检验的使用。4-4在存在在AR（1）自自相关的情形形下，什么估估计方法能够够产生BLUUE估计量？简述这个方方法的具体步步骤。（二）基本证明明与问答类题题型4-5在存在在AR（1）的的情形下，估估计自相关参参数有哪些不不同的方法？4-6在如下下回归中，你你是否预期存存在着异方差差？YX样本公司利润净财富财富5000强公司利润的对数数净财富的对数财富5000强道琼斯工业平均均指数时间196019990年（年年平均）婴儿死亡率人均收入100个发达国国家和发展中中国

19、家通货膨胀率货币增长率美国、加拿大和和15个拉美美国家4-7已知消消费模型：其中：消费费支出个人可支配配收入消费者的流流动资产要求：（1）进行适当当变换消除异异方差，并证证明之；（2）写出消除除异方差后，模模型的参数估估计量的表达达式。4-8什么是是异方差性？举例说明经经济现象中的的异方差性。检检验异方差性性的方法思路路是什么？4-9什么是是序列相关性性？举例说明明经济现象中中序列相关性性的存在。检检验序列相关关性的方法思思路是什么？熟悉D.WW.统计量的的计算方法和和查表判断。4-10什么么是多重共线线性？产生多多重共线性的的经济背景是是什么？多重重共线性的危危害是什么？为什么会造造成这些危

20、害害？检验多重重共线性的方方法思路是什什么？有哪些些克服方法？4-11随机机解释变量的的来源有哪些些？随机解释释变量可以造造成哪些结果果？4-12当模模型中出现随随机解释变量量时，最小二二乘估计量具具有什么特征征？4-13试比比较说明普通通最小二乘法法与加权最小小二乘法的区区别与联系。4-14估计计量的渐近统统计性质的含含义是什么？什么是渐近近无偏性？ 4-15什么么是估计的一一致性？证明明对于工具变变量法的估计计量是的一致估计计。4-16为什什么回归残差差序列可以作作为检验线性性回归模型误误差项的各种种问题的基础础？4-17对于于线性回归模模型： ，已已知为一阶自自回归形式：，要求：证证明的

21、估计值值为：4-18证明明下面方程中中的误差项是是同方差的。， 其中：（三）基本计算算类题型4-19某上上市公司的子子公司的年销销售额Yt与其总公司司年销售额XXt的观测数据据如下表：序号XY序号XY1127.320.9611148.324.542130.021.4012146.424.303132.721.9613150.225.004129.421.5214153.125.645135.022.3915157.326.366137.122.7616160.726.987141.223.4817164.227.528142.823.6618165.627.789145.524.1019168

22、.728.2419145.324.0120171.728.78要求：(1)用最小二二乘法估计关关于的回归方方程；(2)用D.WW.检验分析析随机项的一一阶自相关性性；(3)用Durrbin两步步法估计回归归模型的参数数；(4)直接用差差分法估计回回归模型的参参数.4-20下表表是被解释变变量Y及解释释变量X1、X2、X3、X4的时间序列列观测值：Y6.06.06.57.17.27.68.09.09.09.3X140.140.347.549.252.358.061.362.564.766.8X25.54.75.26.87.38.710.214.117.121.3X3108941081009999

23、1019793102X4637286100107111114116119121要求：（1）采用适当当的方法检验验多重共线性性；（2）多重共线线性对参数估估计值有何影影响？（3）用修正FFrischh法确定一个个较好的回归归模型。4-21下表表是某种商品品的需求量、价价格以及消费费者收入的统统计资料：年份12345678910需求量Y3.54.35.06.07.09.08.0101214价格X1161310775433.52收入X215203042505465728590要求：（1）检验X11和X2是否存在严严重的多重共共线性？（2）如何解决决或减轻多重重共线性的影影响，并给出出这一问题的的回归

24、方程。4-22对于于模型：要求：（1）如果用变变量的一次差差分估计该模模型，采用何何种自相关形形式？（2）用差分估估计时，并不不删除截距，其其含义是什么么？（3）假设模型型存在一阶自自相关，如果果用OLS法法估计，试证证明其估计式式：仍然是无无偏的，式中中的，。（4）试证明不不是有效的。4-23某国国的政府税收收T（单位：百万美元）、国国内生产总值值GDP（单单位：10亿亿美元）和汽汽车数量Z（单单位：百万辆辆）的观测数数据如下表所所示：序号TGDPZ13452212357646875455657677868911798107要求：试以汽车车数量Z作为为国内生产总总值GDP的的工具变量，估估计

25、税收函数数：4-24继续续习题3-221的讨论。问问题如下：（1）假定做GGMAT分数数对GPA的的回归分析，并并且发现两变变量之间显著著正相关。那那么，你对多多重共线性问问题有何看法法？（2）对习题33-21的（11）建立方差差（ANOVVA）分析表表并检验假设设：所有偏回回归系数均为为零。（3）用R2值值，对本题（22）建立ANNOVA表进进行分析。4-25如果果解释变量之之间的相关系系数为0，则则称它们是正正交的。对于于模型：若X1与X2是是正交的，证证明下列结论论：（1）多元线性性回归的最小小二乘估计量量、分别等于YY对X1、Y对X2的一元线性性回归的最小小二乘估计量量；（2）多元回归

26、归的回归平方方和为两个一一元回归的回回归平方和的的和。4-26假设设Y为内生变变量，X为外外生变量，以以下各组方程程中哪些方程程可以用DuurbinWatsoon方法检验验一阶自相关关：（1）（2）（3）4-27有55个解释变量量的多元线性性回归模型，用用容量为933的样本数据据进行回归分分析。若根据据回归残差序序列计算的DD.W.值为为1.1，应应得出什么结结论？若D.W.值为22.35呢？4-28若已已知线性回归归模型的误差差项的方差为为，问处理该该模型的方法法是什么？4-29一个个两变量线性性回归模型的的回归残差序序列如下表所所示：n残差en残差en残差e10.0138-0.082150

27、.19820.0549-0.053160.1033-0.014100.041170.0004-0.04211-0.15118-0.0635-0.07812-0.05419-0.0586-0.056130.04270.083140.117要求：请分析该该模型的误差差项是否存在在什么问题？若存在一些些问题，说明明有哪些处理理方法可以考考虑？4-30在研研究生产中的的劳动在增加加值中所占的的份额（即劳劳动份额）的的变动时，有有以下模型：模型A：模型B：其中，Y为劳动动份额，t为为劳动时间。根根据该研究时时期内的155年数据进行行参数估计，得得到模型结果果为：模型A： 模型B： 其中：括号中的的数字是

28、t检检验值。要求：（1）模模型A中有没没有自相关？模型B呢？（2）如何解释释自相关的存存在？（3）你会怎样样区分“纯粹”自相关和模模型形式设定定错误？四、习题解答 4-11答： = 1 * GB2 异方方差性指对于于不同的样本本值，随机扰扰动项的方差差不再是常数数，而是互不不相同的。 = 2 * GB2 序列列相关性指对对于不同的样样本值，随机机扰动项之间间不再是完全全相互独立，而而是存在某种种相关性。 （3）多重重共线性指两两个或多个解解释变量之间间不再彼此独独立，而是出出现了相关性性。 = 4 * GB2 偏回回归系数指：在三变量线线性回归模型型中，当其中中一个解释变变量为常量时时，另一个

29、解解释变量对被被解释变量均均值的影响。 = 5 * GB2 完全全多重共线性性指：在有多多个解释变量量模型中，其其中一个变量量可以表示为为其他多个变变量的完全线线性函数，即即，其中至少少有一个，与等式右边边线性组合的的相关系数为为1，则这种种情况被称为为完全多重共共线性。在此此情况下，不不能估计解释释变量各自对对被解释变量量的影响。 = 6 * GB2 不完完全多重共线线性指：在实实际经济活动动中，多个解解释变量之间间存在多重共共线性问题，但但与等式右边边线性组合的的相关系数不不为1。 = 7 * GB2 随机机解释变量指指：在现实经经济现象中，解解释变量是不不可控的，即即解释变量的的观测值具

30、有有随机性，并并且与模型的的随机误差项项有相关关系系，这样的解解释变量称为为随机解释变变量。 = 8 * GB2 差分分法是一类克克服序列相关关性的有效方方法。它是将将原计量经济济模型变换为为差分模型，分分为一阶差分分法和广义差差分法。 = 9 * GB2 广义义最小二乘法法（GLS）即即最具有普遍遍意义的最小小二乘法。 = 10 * GB2 D.W.检验：全称称杜宾瓦森检验，适适用于一阶自自相关的检验验。该法构造造一个统计量量：，计算该统计量量的值，根据据样本容量和和解释变量数数目查D.W.分布布表，得到临临界值和，然后按照照判断准则考考察计算得到到的D.W.值，以判断断模型的自相相关状态。 4-22答： = 1 * GB2 错错。当存在异异方差情况下下，OLS法法估计量是无无偏的但不具具有有效性。 = 2 * GB2 对。如如果存在异方方差，通常使使用的t检验验和F检验是是无效的。 = 3 * GB2 错错。实际情况况可能是高估估也可能是低低估。 = 4 * GB2 对。通通过将残差对对其相应的观观察值描图，了了解变量与残残差之间是否否存在可以观观察到的系统统模式，就可可以判断数据据中是否存在在异方差。 = 5 * GB2 错。当当存在序列相相关时，OLLS法估计量量是无偏的但但不具有有效效性。