高等数学三重积分的概念和计算方法课件

1、 高等数学 1 第十四讲 高等数学 1 第十四讲2例7. 计算其中D 由所围成.解: 令(如图所示)显然,2例7. 计算其中D 由所围成.解: 令(如图所示)显然,3例8 计算解: 先画D域由:将D域分为D1和D23例8 计算解: 先画D域由:将D域分为D1和D24 设且求证法一交换积分顺序后, x , y互换例94 设且求证法一交换积分顺序后, x , y互换例95 设且求证例9因为连续，故设，所以 5 设且求证例9因为连续，故设，所以 二、利用极坐标计算二重积分6换元积分法是计算定积分的一种常用的方法，在计算重积分中有类似的换元法。一种换元法就是本节所介绍的极坐标。将二重积分的从直角坐标换

2、为积分变量二、利用极坐标计算二重积分6换元积分法是计算定积分的一种常用引例：计算7解：先求曲线的交点引例：计算7解：先求曲线的交点极坐标：8若将直角坐标系中的原点取为极点，轴的正半轴取为极轴。设直角坐标系中点的坐标极坐标系中点的坐标称为极坐标的极径。称为极坐标的极角。二重积分中被积函数把由极轴出发逆时针方向为正。两坐标系中变量间关系：极坐标：8若将直角坐标系中的原点取为极点，轴的正半轴取为极轴求极坐标下的积分元素9在极坐标系下, 用射线 =常数则除包含边界点的小区域外,及同心圆 r =常数, 的表示方法。小区域的面积由图可知：分划区域D 为求极坐标下的积分元素9在极坐标系下, 用射线 =常数则

3、除10即对应有在内取点严格的推导：10即对应有在内取点严格的推导：极坐标中二重积分化为二次积分的方法类似于直角11则特别, 对坐标系中的方法。设：极坐标中二重积分化为二次积分的方法类似于直角11则特别, 对12若 f 1 则由上式可求得D 的面积思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试答: 问 的变化范围是什么?(1)(2)12若 f 1 则由上式可求得D 的面积思考: 下列各图中例1：将13化成极坐标下的二重积分。例1：将13化成极坐标下的二重积分。例1：将14化成极坐标下的二重积分。例1：将14化成极坐标下的二重积分。3.15例1：将化成极坐标下的二重积分。3.15例

4、1：将化成极坐标下的二重积分。4.16例1：将化成极坐标下的二重积分。4.16例1：将化成极坐标下的二重积分。由极坐标计算17例1：计算解：由极坐标计算17例1：计算解：例2. 计算其中D 为由圆所围成的及直线解：平面闭区域.例2. 计算其中D 为由圆所围成的及直线解：平面闭区域.例3：计算19解： 先画D域（分析D域在第一象限）例3：计算19解： 先画D域（分析D域在第一象限）例4. 计算二重积分20其中D为解: 利用极坐标.例4. 计算二重积分20其中D为解: 利用极例5. 21求由曲面柱面以及平面解：该立体向xoy面作投影，投影区域D：所围的立体的体积。例5. 21求由曲面柱面以及平面解

5、：该立体向xoy面作投影，例6. 计算二重积分22其中 D为圆域解: 利用对称性.例6. 计算二重积分22其中 D为圆域解: 23例7.解：积分域是圆域，关于x,y轴 对称23例7.解：积分域是圆域，关于x,y轴 对称例8. 计算24其中D 是由曲线所围成的平面域 .与解和被积函数的奇偶性利用积分区域的对称性2004 考研 D例8. 计算24其中D 是由曲线所围成的平面域 .与解和被25例9解25例9解作业26习题册第九章第二节作业26习题册第九章第二节第三节27一、三重积分的概念 二、三重积分的计算三重积分的概念和计算方法 第十章 第三节27一、三重积分的概念 二、三重积分的计算三重积分的2

6、8一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的物质,求分布在 内的物质的可得“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”解决方法:质量 M .密度函数为28一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用29定义. 设存在,称为体积元素, 若对 作任意分割: 任意取点则称此极限为函数在上的三重积分.在直角坐标系下常写作下列“乘积和式” 极限记作由定义可知,引例中物体的质量为:特别若在那么三重积分在数值上就等于区域的体积即:29定义. 设存在,称为体积元素, 若对 作任意分割:性质: 30三重积分的性质与二重积分相似.例如 中值定理.在

7、有界闭域 上连续,则存在使得V 为 的体积, 三重积分存在定理:当函数在区域上的三重积分必定存在,此时称函数性质: 30三重积分的性质与二重积分相似.例如 中值定理.在31二、三重积分的计算1） 利用直角坐标计算三重积分方法1 . 投影法 (“先一后二”)方法2. 截面法 (“先二后一”) 先假设连续函数 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算最后, 推广到一般可积函数的积分计算. 的密度函数 , 方法:31二、三重积分的计算1） 利用直角坐标计算三重积分方法1 32方法1. 投影法 (“先一后二” ) 该物体的质量为细长柱体微元的质量为微元线密度记作32方法1. 投影法 (“先一后二” ) 该物体的质量为细33例1: 计算及抛物面所围成的区域.解法一:采用先对积分,将33例1: 计算及抛物面所围成的区域.解法一:采用先对积分34解法二;采用先对积分,将例1: 计算及抛物面所围成的区域.34解法二;采用先对积分,将例1: 计算及抛物面所围成的区35积分,将解法三;采用先对例1: 计算及抛物面所围成的区域.35积分,将解法三